หลักฐานทางเลือกของ Schwartz – Zippel บทแทรก

ฉันรู้แค่หลักฐานสองข้อของ Schwartz – Zippel lemma ครั้งแรก (ร่วมกันมากขึ้น) หลักฐานอธิบายไว้ในรายการวิกิพีเดีย หลักฐานที่สองถูกค้นพบโดย Dana Moshkovitz

มีหลักฐานอื่นใดบ้างที่ใช้แนวคิดที่แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญ?

นี่คือแนวคิดอื่นที่ฉันมีสำหรับการพิสูจน์เชิงเรขาคณิต มันใช้เรขาคณิต projective ในวิธีที่จำเป็น

ให้เป็นจุดเลียนแบบนอก hypersurface S ฉายไฮเปอร์สเปซลงบนไฮเปอร์เพลนที่ระยะอนันต์โดยใช้cเป็นจุดศูนย์กลาง นั่นคือแผนที่ทุกx ∈ Sลงบนp ( x ) , จุดตัดของเส้นที่ไม่ซ้ำกันผ่านcและxด้วยไฮเปอร์เพลนที่ไม่สิ้นสุด preimages ภายใต้pของจุดที่อนันต์ทั้งหมดอยู่ในบรรทัดเดียวกันและดังนั้น (อีกครั้งลดปัญหาเป็นมิติที่ 1) มีdที่สุดของพวกเขา ไฮเปอร์เพลนที่อินฟินิตี้มี cardinality | F ม$c \in \mathbb F^m$$S$$c$$x \in S$$p(x)$$c$$x$$p$$d$ดังนั้นเราจึงได้ขอบเขตที่คุ้นเคย | S | ≤d | F m - 1 | .$|\mathbb F^{m-1}|$$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$

จากการติดตามผลของคำตอบของ Per Vognsen การพิสูจน์ของ Dana Moshkovitz ได้แสดงให้เห็นถึงการพิสูจน์ที่ง่ายมากสำหรับ Schwartz-Zippel Lemma รุ่นที่อ่อนแอกว่าเล็กน้อยซึ่งฉันคิดว่าเพียงพอสำหรับการใช้งานส่วนใหญ่

ให้เป็นไม่ใช่ศูนย์พหุนามของปริญญาdที่Fเป็นฟิลด์ จำกัด ของการสั่งซื้อคิวและให้x ∈ ข้อ จำกัด ของfต่อแต่ละบรรทัดเหล่านี้คือดีกรี$f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$เป็นจุดดังกล่าวว่าF(x)≠0 มี( q n -1) / (q-1)บรรทัดที่แตกต่างจำนวนมากผ่านxเช่นที่พวกเขาแบ่งพาร์ติชัน F n -{x$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$$f$$d$ univariateพหุนามซึ่งเป็นเลขเพราะมันจะไม่ใช่ศูนย์ที่และเพื่อให้มีที่มากที่สุดdศูนย์ ดังนั้นจำนวนของศูนย์ของFที่มากที่สุดd ( Q n - 1 ) / ( คิว- 1 ) Schwartz-ZIPPEL สำหรับการเปรียบเทียบให้แข็งแกร่งผูกพันบนของd Q n - 1$x$$d$$f$$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

ด้วยหลักฐานของความสะดวกสบายนี้ฉันแน่ใจว่ามันเป็นคติชนวิทยา ถ้าไม่มันควรจะเป็น :) ฉันจะขอบคุณถ้ามีคนสามารถให้การอ้างอิง

หลักฐานของ Moshkovitz ขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่าย แต่กระดาษไม่ชัดเจนเกินไป นี่คือแนวคิด:

ระดับพหุนามในม.ตัดตัวแปรออก hypersurface ในF$d$$m$$\mathbb F^m$มจุดตัดของ hypersurface และเส้นอิสระ (เช่นจุดตัดไม่ใช่เส้นทั้งหมด) มีจุด d มากที่สุด หากคุณสามารถหาทิศทางที่เป็นอิสระจาก hypersurface ทุกที่คุณสามารถ foliate โดยเส้นคู่ขนานในทิศทางนั้นและนับการแยกภายในแต่ละบรรทัด foliation จะแปรโดยสมบูรณ์ orthogonal ทิศทางซึ่งเป็นไฮเปอร์เพล isomorphic เพื่อF ม. - 1ดังนั้นจำนวนของจุด hypersurface ในทุกFมที่มากที่สุดd | $\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$ 1$d\ |F|^{m-1}$

นี่แสดงให้เห็นว่าหลักฐานอื่น ๆ ตามแนวเส้นที่คล้ายกันสามารถใช้ได้

แก้ไข: ฉันต้องการจะพูดเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการพิสูจน์ของ Arnab เกี่ยวข้องกับ Moshkovitz เขาใช้จุดนอก hypersurface และพิจารณาดินสอของเส้นผ่านจุดนั้น Moshkovitz พิจารณาครอบครัวของเส้นขนาน มันดูแตกต่าง แต่มันก็เหมือนกันจริงๆ! ครอบครัวคู่ขนานคือดินสอของเส้นผ่านจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด พีชคณิตของ Arnab จะใช้คำต่อคำหากคุณทำการ homogenization ของพหุนามและ จำกัด ไฮเปอร์เพลนที่ระยะอนันต์โดยการเสียบซึ่งจะลบล้างคำศัพท์ที่ไม่นำทั้งหมด$w = 0$

แก้ไข: ดูคำตอบอื่น ๆ ของฉันสำหรับหลักฐานใหม่ (แต่ไม่เกี่ยวข้องทั้งหมด)

ความพยายามที่ 1:

คุณเคยดูเลมม่า A.36 (หน้า 529) ของหนังสือของArora / Barakหรือไม่? เกือบครึ่งหน้าและอิงตามการชักนำ

หากคุณไม่มีสิทธิ์เข้าถึงหนังสือฉันสามารถดำเนินการพิสูจน์ได้ที่นี่

พยายาม 2:

สิ่งที่เกี่ยวกับประวัติความอยากรู้อยากเห็นของ Schwartz-ZIPPEL แทรก ? ในบรรดาคนอื่น ๆ มันอ้างถึงกระดาษของ DeMillo-Liptonย้อนหลังไปถึงปี 1977 เอกสารอื่น ๆ ที่มีชื่อและเปรียบเทียบเช่นกัน

ความพยายามที่ 3:

หัวข้อ MathOverflow ต่อไปนี้อาจจะเป็นที่สนใจเช่นกัน: P / ขั้นตอนวิธีการโพลีสำหรับการทดสอบตัวตนของพหุนาม

Schwartz-Zippel บทแทรกเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของ Noga Alon และ Zoltan Fürediดังแสดงในส่วนที่ 4 ของบทความนี้: บน Zeros ของพหุนามในตาราง จำกัดและด้วยเหตุนี้การพิสูจน์ทฤษฎีบทใหม่ให้พิสูจน์ใหม่ของ Schwartz -Zippel ณ ตอนนี้ฉันรู้หลักฐานที่แตกต่างกันหกประการซึ่งสองข้อที่ปรากฏในเอกสารและอื่น ๆ มีการอ้างอิงที่นั่น

ทฤษฎี Alon-Furedi กล่าวว่าต่อไปนี้:

ปล่อยให้เป็นสนามให้A = ∏ n i = 1 A i ⊂ F nเป็นกริด จำกัด และให้f ∈ F [ t _ ] = F [ t 1 , … , t n ]เป็นพหุนามซึ่งไม่ หายไปเหมือนกันใน จากนั้นf ( x ) ≠ 0เป็นองค์ประกอบอย่างน้อยmin ∏ y ฉัน x ∈ $F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$$f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$$f(x) \neq 0$$\min \prod y_i$$x \in A$ที่ต่ำสุดที่จะนำไปจำนวนเต็มบวกทั้งหมดกับΣ n ฉัน= 1 Y ฉัน = Σ n ฉัน= 1 # ฉัน - องศา F$y_i \leq \# A_i$$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

ในกรณีนี้ถ้าคุณถือว่าและหาค่าต่ำสุด (ซึ่งสามารถทำได้อย่างง่ายดายโดยใช้ Balls ใน Bins ที่กล่าวถึงในกระดาษ) จากนั้นคุณจะได้รับ Schwartz-Zippel lemma เหนือสนาม (หรือโดเมน) .$\deg f < \min \#A_i$

สูตรดั้งเดิมของบทแทรก Schwartz – Zippel ใช้กับฟิลด์เท่านั้น:

เล็มม่า (Schwartz, Zippel)
Let เป็นที่ไม่ใช่ศูนย์พหุนามของปริญญารวมd ≥ 0กว่าสนามเรนไฮน์ ให้Sเป็นเซต จำกัด ของFและให้R 1 , R 2 , ... , R nได้รับการคัดเลือกโดยการสุ่มอิสระและสม่ำเสมอจากS จากนั้น Pr [ P ( $P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$F$$S$$F$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

เราสามารถจัดรูปแบบของบทแทรกดังกล่าวว่าเหมาะสมสำหรับวงสับเปลี่ยนกำลังพลแบบสุ่ม:

เล็มม่า (Jeřábek)
Let เป็นที่ไม่ใช่ศูนย์พหุนามของปริญญารวมd ≥ 0มากกว่าสับเปลี่ยนแหวน, R ให้Sเป็นเซตย่อยของR ที่มี∀ s , t ∈ S : ( ( ∃ u ∈ R : ( คุณ≠ 0 ∧ s u u $P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$R$$S$$R$และปล่อยให้ R 1 , R 2 , ... , R nได้รับการคัดเลือกโดยการสุ่มอิสระและสม่ำเสมอจากS จากนั้น Pr [ P ( r 1 , r 2 , … , r n ) = 0 ] ≤ $\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

The advantage of the proof from wikipedia is that it generalizes to show that the reformulation holds true for arbitrary commutative rings, which has been noticed and worked out by Emil Jeřábek here.

This gives an alternative proof of the Schwartz-Zippel lemma, by proving the reformulation for general commutative rings, and obtaining the normal formulation for fields as a corollary.