เมื่อใดที่ -Nash กลยุทธ์ดุลยภาพมาบรรจบกับกลยุทธ์ Nash Equilibrium?

Nash Equilibria ไม่สามารถคำนวณได้โดยทั่วไป -Nash สมดุลคือชุดของกลยุทธ์ที่กำหนดกลยุทธ์ของฝ่ายตรงข้ามแต่ละ Obtains เล่นภายในของผลตอบแทนที่คาดว่าจะเป็นไปได้สูงสุด การหาสมดุลของแนชที่กำหนดและเกมคือ - สมบูรณ์$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\mathsf{PPAD}$

การทำตามคำจำกัดความอย่างเคร่งครัดดูเหมือนจะไม่มีเหตุผลใดที่จะเชื่อได้ว่ากลยุทธ์ของ -Nash equilibrium ที่ใดก็ตามอยู่ใกล้กับกลยุทธ์ของแนชดุลใด ๆ อย่างไรก็ตามเรามักจะเห็นวรรณกรรมค่อนข้างลื่นไหลใช้วลีเช่น "คำนวณสมดุลแนช" เมื่อมันหมายถึงการพูดว่า "คำนวณสมดุลประมาณแนช"$\epsilon$

ดังนั้นฉันสงสัยว่าเมื่อสองหมายถึงแรก; นั่นคือเกมที่เราคาดหวัง -Nash equilibria ว่า "ใกล้" กับ Nash equilibria?$\epsilon$

อย่างเป็นทางการมากขึ้นสมมติว่าฉันมีเกมสำหรับผู้เล่นคนและลำดับของโปรไฟล์กลยุทธ์\$n$$(s_1^{(1)},\dots,s_n^{(1)}), (s_1^{(2)},\dots,s_n^{(2)}), (s_1^{(3)},\dots,s_n^{(3)}), \dots$

แต่ละคือ -Nash ดุลยภาพและลำดับบรรจบกันเป็นศูนย์$(s_1^{(i)},\dots,s_n^{(i)})$$\epsilon_i$$\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,\dots$

คำถามของฉัน:

1. เมื่อใด (ภายใต้เงื่อนไข / สมมุติฐาน) กลยุทธ์ทั้งหมดมาบรรจบกันเมื่อใด นั่นคือสำหรับผู้เล่นแต่ละคน ,จำเป็นต้องมาบรรจบกัน$j$$s_j^{(1)},s_j^{(2)},s_j^{(3)},\dots$

2. ภายใต้เงื่อนไขอะไรเพิ่มเติมขีด จำกัด ของลำดับนี้จริง ๆ แล้วดุลของเกมแนช? (สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าไม่จำเป็นต้องมีข้อสมมติฐานเพิ่มเติมเช่นหากกลยุทธ์ทั้งหมดมาบรรจบกันขีด จำกัด ควรเป็น NE)

3. เมื่อใดที่อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณ -Nash equilibria จำเป็นต้องมีความหมายถึงอัลกอริธึมสำหรับกลยุทธ์การคำนวณโดยประมาณของสมดุลของแนช? เงื่อนไขข้างต้นเพียงพอหรือไม่$\epsilon$

ขอบคุณมาก ๆ!

แก้ไข 2014-03-19

หลังจากอ่านการอ้างอิงในคำตอบของราหุลแล้วมันก็สมเหตุสมผลกว่าที่จะคิดในแง่ของระยะทางระหว่างการแจกแจงมากกว่าการวนเวียนมาบรรจบกัน ดังนั้นฉันจะพยายามใช้ถ้อยคำใหม่อีกครั้งและใส่ความคิดล่าสุด$\ell_1$

1. (ดีนี้เป็นมากเกินไปขั้นตอนวิธีการขึ้นอยู่จริงๆมีคำตอบ. โดยไม่มีข้อ จำกัด ในขั้นตอนวิธีการที่คุณสามารถมีสองสมดุลของแนชที่แตกต่างกันแล้วตามที่คุณเสียบขนาดเล็กและขนาดเล็กเข้าสู่ขั้นตอนวิธีการที่ระยะห่างระหว่างเนื่อง ผลลัพธ์อาจยังคงมีขนาดใหญ่เนื่องจากผลลัพธ์จะแกว่งระหว่างสมดุล)$\epsilon$$\ell_1$

2. สมมติว่าเป็นโปรไฟล์กลยุทธ์เช่นการกระจายผลิตภัณฑ์ผ่านกลยุทธ์ของผู้เล่น สำหรับเกมใดที่เราสามารถพูดได้ว่าคือ -Nash equilibrium หมายถึงสำหรับ Nash equilibriumที่เป็น ? (โปรดทราบว่าการสนทนาถือหากการจ่ายเงินถูก จำกัด ด้วย )$p$$p$$\epsilon$$\|p - q\|_1 \leq \delta$$q$$\delta \to 0$$\epsilon \to 0$$1$

   นี่เป็นเรื่องยุ่งยากเพราะเราอยู่ในการตั้งค่าความซับซ้อนสิ่งที่เราเรียกว่า "เกม" นั้นจริง ๆ แล้วเป็นลำดับของเกมที่กำหนดพารามิเตอร์โดยจำนวนกลวิธีที่บริสุทธิ์ ("การกระทำ") ดังนั้นที่และอัตราสัมพัทธ์มีความสำคัญ นี่คือตัวอย่างง่ายๆในการแสดงคำตอบไม่ใช่ "ทุกเกม" สมมติว่าเราแก้ไขลำดับของการลด\จากนั้นสำหรับแต่ละเกมสร้างผู้เล่นสองคนในการกระทำโดยที่หากผู้เล่นเล่นการกระทำแรกพวกเขาจะได้รับผลตอบแทนโดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่ผู้เล่นคนอื่นเล่น หากผู้เล่นเล่นการกระทำที่สองพวกเขาจะได้รับผลตอบแทน$n$$n \to \infty$$\epsilon \to 0$$\epsilon_1,\epsilon_2,\dots$$\epsilon_n$$n$$1$$1-\epsilon_n$โดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่ผู้เล่นคนอื่นเล่น; และหากผู้เล่นเล่นการกระทำอื่นใดพวกเขาจะได้รับผลตอบแทนเป็นโดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่ผู้เล่นคนอื่นเล่น$0$

   ดังนั้นแต่ละเกมมี -equilibrium (ทั้งสองเล่นแอ็คชั่นที่สอง) ซึ่งอยู่ไกลที่สุดในระยะไกลจากแนชเท่านั้นที่สมดุล (ทั้งคู่เล่นแอคชั่นแรก)$n$$\epsilon_n$$\ell_1$

   ดังนั้นคำถามย่อยสองคำถามที่น่าสนใจ:

   1. สำหรับเกมที่ตายตัวและตายตัวไม่ว่าจะเป็น "เล็กพอ"เงื่อนไขดังกล่าวถือ (ทั้งหมด Equilibria อยู่ใกล้กับ Nash equilibria)$n$$\epsilon$$\epsilon$
   2. บางทีคำถามเดียวกันเป็นหลัก แต่ไม่ว่าจะอยู่ในสภาพที่ถือถ้าความแตกต่างในผลตอบแทนจะถูกล้อมรอบด้วยคงเป็น\$n \to \infty$

3. คำถามเดียวกันกับ (2) แต่เกี่ยวข้องกับดุลยภาพที่คำนวณโดยอัลกอริทึม ฉันเดาว่าบางทีเราอาจจะได้คำตอบอัลกอริธึม / เชิงสร้างสรรค์หรือไม่มีเลยดังนั้นความแตกต่างก็ไม่สำคัญอะไร

กระดาษต่อไปนี้อย่างน้อยเป็นทางการทำให้แนวคิดเรื่องความสมดุลโดยประมาณใกล้เคียงกับความสมดุลที่แน่นอนและพิสูจน์ผลลัพธ์เชิงโครงสร้างที่เกี่ยวข้อง

Pranjal Awasthi, Maria-Florina Balcan, Avrim Blum, หรือ Sheffet และ Santosh Vempala (2010) ใน Nash สมดุลของเกมที่มีความเสถียรโดยประมาณ ในการประชุมนานาชาติครั้งที่สามเรื่องทฤษฎีเกมอัลกอริทึม (SAGT'10), 78-89

โดยเฉพาะอย่างยิ่งกระดาษให้ตัวอย่างของคลาสของเกมสำหรับคำถาม 3