ไม่

$\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{TC^0_d} \subsetneq \mathsf{TC^0_{d+1}}$ $d$

รายการ Zoo สำหรับ $\mathsf{TC^0}$ กล่าวถึงการแยกระหว่างความลึก 2 และ 3 เท่านั้น

มีการอ้างอิงมาตรฐานสำหรับข้อเท็จจริงที่ว่า $\mathsf{AC^0_d}$ ลำดับชั้นไม่ยุบใช่หรือไม่

คำถามที่เกี่ยวข้องจะเป็นวิธีการที่หลายฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันจะมีใน / ? ขอบเขตล่างที่สมเหตุสมผลของปริมาณเหล่านี้จะตอบคำถามของคุณ นอกจากนี้ยังมีหลักฐานของความเข้มงวดสำหรับบทแทรกของ Hastad อาจจะตอบคำถามที่สองของคุณ

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$

T C_{d}^{0}

$TC_d^0$

— Mahdi Cheraghchi

สำหรับคำถามที่สองผมเชื่อว่ามันได้พิสูจน์ครั้งแรกในSipser ของ STOC 83 กระดาษ "ชุดโบเรลและความซับซ้อนของวงจร" นี่เป็นเพียงการลดขอบเขตของพหุนามแบบพิเศษ การแจกแจงขอบเขตล่างแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลครั้งแรกนั้นได้รับจาก Yao ซึ่งได้รับการปรับปรุงโดยHåstad

— Robin Kothari

@MCH คุณหมายถึงเขียน

T C_{d}^{0} / A C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}/\mathsf{AC^0_d}$ หรือไม่ หรือคุณหมายถึงจำนวนคลาสที่เทียบเท่าของปัญหาใน

T C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}$ wrt

A C_{d}^{0}

$\mathsf{AC^0_d}$ การลดลง?

— Kaveh

สิ่งที่ฉันหมายถึงง่ายมาก: มีฟังก์ชันที่แตกต่างกันกี่คลาสของ

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$ ขนาดของวงจรที่

s

$s$ ตัวแทน? (เราสามารถประมาณจำนวนวงจรได้ง่ายมาก แต่เราควรระวังว่าบางส่วนอาจคำนวณฟังก์ชั่นเดียวกัน) เมื่อคุณแสดงว่าปริมาณนี้เพิ่มขึ้นด้วย

d

$d$ คุณก็ทำเสร็จแล้ว

— Mahdi Cheraghchi

@Dilworth ไม่ใช่แบบฟอร์ม การนับดูเหมือนจะไม่ทำงานอย่างอื่นที่ฉันได้ระบุไว้ด้านล่างเราสามารถแยกออกจากซึ่งเปิดอยู่

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— Kaveh

คำตอบ:

เราไม่รู้จักขอบเขตล่างที่ดี (แปลว่าขอบเขตล่างแบบสำหรับภาษาใน ) สำหรับวงจรขีด จำกัด ระดับความลึก 2 (น้ำหนักไม่ จำกัด ) วงจรความลึก 3 วงจรที่สร้างจากประตูเสียงส่วนใหญ่คือมีคลาสนี้และทำให้เราไม่ทราบขอบเขตที่ต่ำกว่าของคลาสนี้ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^0_3$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
แหล่งที่มา

นี่ตอบคำถามของฉัน ขอบคุณ Kristoffer

— Kaveh

ตามที่ฉันเขียนไว้ในความคิดเห็นข้างต้นแม้ว่าจะไม่มีปัญหาใน NEXP ที่อยู่นอก TCมันเป็นไปได้ไหมที่ลำดับชั้นTCที่ไม่สม่ำเสมอนั้นมีความเหมาะสมผ่านการนับอาร์กิวเมนต์ที่ต่ำกว่า?

_{2}^{0}

$^0_2$

^{0}

$^0$

— Dilworth

นอกจากนี้ฉันขอถามด้วยว่าสิ่งนี้สอดคล้องกับขอบเขตล่างเลขชี้กำลังที่รู้จักบน TCและการแยกความลึก 3 จากวงจรขีด จำกัด ความลึก 2 ตามที่รายงานในสวนสัตว์ซับซ้อนหรือไม่ ฉันพลาดอะไรไปรึเปล่า?

_{2}^{0}

$_2^0$

— Dilworth

@Dilworth ฉันคิดว่าเป็นเพราะมีการกำหนดโดยใช้ส่วนใหญ่ไม่เกณฑ์

— Kaveh

อืม .. คุณหมายถึงอะไรอย่างแม่นยำ? สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับบันทึกของ Kristoffer เกี่ยวกับ "น้ำหนักที่ไม่ได้ จำกัด " หรือไม่?

— Dilworth

ถ้าฉันไม่ได้ทำผิดดูเหมือนว่าการพิสูจน์ว่าลำดับชั้นไม่ยุบอย่างน้อยก็ยากพอ ๆ กับการแยกจาก : $\mathsf{TC^0_d}$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{TC^0}$

ขอแสดงถึงบูลีนสูตรปัญหาการประเมินผลโดยBFEเป็นที่สมบูรณ์แบบสำหรับภายใต้ลด $BFE$ $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0}$

โดย Manindra Agrawal เอริค Allender และสตีเวนรูดิช " ในการลดความซับซ้อนของวงจร: มอร์ฟทฤษฎีบทและ Gap ทฤษฎีบท " ปี 1999เป็นที่สมบูรณ์แบบสำหรับภายใต้ลด $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0_2}$

สมมติ0} จากนั้นสำหรับบางdดังนั้น2}} ซึ่งหมายความว่า2}} $\mathsf{NC^1}=\mathsf{TC^0}$ $BFE \in \mathsf{TC^0_d}$ $d$ $\mathsf{NC^1} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$

ดังนั้นสำหรับเรามี $d$

$\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{TC^0_d}$ หมายถึงและ0_d} $\mathsf{NC^1} \not\subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $BFE \notin \mathsf{TC^0_d}$

— Kaveh
แหล่งที่มา