อะไรคือขอบเขตบนและล่างที่รู้จักกันดีในปัจจุบันในเกณฑ์ความพึงพอใจ (un) สำหรับการสุ่ม k-sat และ / หรือ 3-sat

ฉันต้องการทราบสถานะปัจจุบันของการเปลี่ยนเฟสสำหรับสุ่ม k-sat, เมื่อได้รับตัวแปร n และคำสั่ง m, สิ่งที่รู้จักกันดีที่สุดคือ c = m / n สำหรับขอบเขตบนและล่าง

Dimitris Achlioptas ครอบคลุมบทความนี้ในบทความสำรวจของเขาจาก Handbook of Satisfiability ( PDF )

มีการคาดคะเนว่าจะมีขีด จำกัด เดียวสำหรับแต่ละk ≥ 3ดังนั้นเมื่อm / n > r kดังนั้นสูตรk -SAT แบบสุ่มที่มีคำสั่งmและตัวแปรnไม่น่าพอใจกับความน่าจะเป็นสูงและเมื่อm / n < r kจากนั้นเป็นแบบสุ่มm -clause, n -variable k -SAT สูตรเป็นที่พอใจกับความน่าจะเป็นสูง (แม่นยำยิ่งขึ้นการคาดคะเนก็คือขีด จำกัด ที่$r_k$$k \ge 3$$m/n > r_k$$k$$m$$n$$m/n < r_k$$m$$n$$k$$n$ มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดความน่าจะเป็นที่น่าพอใจคือ 0 หรือ 1 ในสองระบบนี้ตามลำดับ)

สมมติว่าเกณฑ์การตอบสนองความพอใจถือเป็นขอบเขตที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับคือ$r_k$

k 3 4 5 7 10 20
ขอบเขตที่ดีที่สุดบน 4.51 10.23 21.33 87.88 708.94 726,817
ขีด จำกัด ล่างที่ดีที่สุด 3.52 7.91 18.79 84.82 704.94 726,809

(ตารางนี้ปรากฏบนหน้าที่ระบุว่าเป็น 247 ในแบบร่าง)

ในต้นฉบับเมื่อเร็ว ๆ นี้ (arXiv: 1411.0650 ) เจี้ยน Ding, อัลลันเจ้าเล่ห์และ Nike อาทิตย์แสดงให้เห็นว่าทุกขนาดใหญ่พอมีในความเป็นจริงเกณฑ์เดียวR k = 2 k LN 2 - ( 1 + LN 2 ) / 2 + o ( 1 )และคำผิดพลาดo ( 1 )ในนิพจน์นี้ไปที่ศูนย์เนื่องจากkมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด$k$$r_k = 2^k\ln 2 - (1+\ln 2)/2 + o(1)$$o(1)$$k$