อัลกอริธึมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเวลาที่แน่นอนสำหรับ 0-1 โปรแกรมที่มีข้อมูลที่ไม่เป็นลบ

9

มีอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีสำหรับปัญหาต่อไปนี้ที่เอาชนะอัลกอริทึมไร้เดียงสาหรือไม่?

อินพุต: เมทริกซ์ $A$ และเวกเตอร์ $b,c$ ที่ทุกรายการของ $A,b,c$ เป็นจำนวนเต็มไม่ใช่ค่าลบ

ผลลัพธ์: ทางออกที่ดีที่สุด $x^*$ ถึง $\max \{ c^T x : Ax \le b, x \in \{ 0,1\}^n \}$ .

คำถามนี้เป็นรุ่นที่กลั่นจากคำถามก่อนหน้าของฉันแน่นอนขั้นตอนวิธีการชี้แจงครั้งเดียวสำหรับ 0-1 การเขียนโปรแกรม

np-hardness integer-programming exp-time-algorithms

— ออสตินบูคานัน
แหล่งที่มา

5

ถ้าจำนวนของที่ไม่ใช่ศูนย์สัมประสิทธิ์ในเป็นเส้นตรงใน , มีขั้นตอนวิธีที่แก้ปัญหานี้ในเวลาน้อยกว่าเวลา $A$ $n$ $2^n$

นี่คือวิธีการทำงาน เราใช้การเชื่อมต่อมาตรฐานระหว่างปัญหาการปรับให้เหมาะสมและปัญหาการตัดสินใจที่เกี่ยวข้อง เพื่อทดสอบว่ามีอยู่แก้ปัญหาที่และเราจะเป็นปัญหาการตัดสินใจ: เราจะติดข้อ จำกัดกับเมทริกซ์และการทดสอบ ไม่ว่าจะมีอยู่ใด ๆดังกล่าวว่าและ- โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราจะสร้างเมทริกซ์ใหม่โดยการและเพิ่มแถวพิเศษที่มีและเราจะสร้างโดยการ $x$ $Ax\le b$ $c^T x \ge \alpha$ $c^T x\ge \alpha$ $A$ $x$ $Ax \le b$ $-c^T x \le -\alpha$ $A'$ $A$ $-c^T$ $b'$ $b$ และที่อยู่ติดกันแถวพิเศษกับ-เราได้รับปัญหาการตัดสินใจ: มีเช่นนั้นหรือไม่? คำตอบของปัญหาการตัดสินใจนี้บอกเราว่ามีวิธีแก้ไขปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดดั้งเดิมของค่าหรือสูงกว่า ยิ่งกว่านั้นดังที่อธิบายไว้ในคำตอบของคำถามก่อนหน้านี้ปัญหาการตัดสินใจนี้สามารถแก้ไขได้ในเวลาน้อยกว่าหากจำนวนสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ในเป็นเส้นตรงใน (และถ้าจำนวนไม่ใช่ - สัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ในคือเส้นตรงใน ) ตอนนี้เราสามารถใช้การค้นหาแบบไบนารีบน $-\alpha$ $x \in \{0,1\}^n$ $A' x \le b'$ $\alpha$ $2^n$ $A'$ $n$ $A$ $n$ $\alpha$ ในการแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพของคุณในเวลาน้อยกว่าเวลา $2^n$

ฉันขอขอบคุณ Austinicutanan และ Stefan Schneider ที่ช่วยแก้ปัญหาคำตอบนี้ในเวอร์ชันก่อนหน้านี้

— ใบสำคัญแสดงสิทธิอนุพันธ์
แหล่งที่มา

คุณสามารถให้คำตอบที่แข็งแกร่งกว่า: เช่น "มีเวลาอัลกอริทึม" หรือ "อัลกอริทึมเร็วกว่าจะหักล้าง ... "?

O (2^{n / 2})

$O(2^{n/2})$

O (2^{n})

$O(2^n)$

— Austin Buchanan

@AustinBuchanan ถ้าจำนวนมิติของก็พอขนาดเล็กมีขั้นตอนวิธีการตามที่ระบุไว้ในคำตอบของฉันไปที่คำถามอื่น ๆ นั่นเป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่ฉันรู้ว่าต้องทำอย่างไร ฉันไม่รู้จะทำยังไงดีกว่านั้น บางทีคนอื่นจะสามารถให้คำตอบที่แข็งแกร่งกว่า!

b

$b$

O^{*} (2^{n / 2})

$O^*(2^{n/2})$

— DW

O^{*} (2^{n / 2})

$O^*(2^{n/2})$ ถือเวลาเมื่อใดก็ตามที่มีข้อ จำกัด จำนวน ?

O (1)

$O(1)$

— Austin Buchanan

4

หากเราพิจารณาปัญหาการย่อขนาดจากนั้นการลดลงต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมทำงานในเวลาสำหรับจะหักล้าง SETH การปฏิรูปพิสูจน์ผลลัพธ์เดียวกันสำหรับปัญหาที่ตั้งใจไว้ (เวอร์ชันขยายใหญ่สุด) $\min_y \{c^T y : Ay \ge b, y \in \{ 0,1\}^n \}$ $O(2^{\delta n/2})$ $\delta <1$

รับอินสแตนซ์ของ CNF-SAT ที่มีตัวแปร , กำหนด 0-1 IP ด้วยสองตัวแปรสำหรับแต่ละตัวแปรในอินสแตนซ์ SAT ตามปกติประโยคจะแสดงเป็น1 จากนั้นทุกตัวแปรในกรณี SAT, เพิ่มข้อ จำกัด1 โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อลด_j) วัตถุประสงค์ของ IP จะเป็นถ้าอินสแตนซ์ SAT นั้นน่าพอใจ $\Phi = \wedge_{i=1}^m C_i$ $\{x_j \}_{j=1}^n$ $y_j, \overline{y}_j$ $x_j$ $(x_1 \vee \overline{x}_2 \vee x_3)$ $y_1 + \overline{y}_2 + y_3 \ge 1$ $x_j$ $y_j + \overline{y}_j \ge 1$ $\sum_{j=1}^n (y_j + \overline{y}_j)$ $n$

ขอบคุณ Stefan Schneider สำหรับการแก้ไข

อัปเดต: ในเมื่อมีปัญหาอย่างหนักเท่ากับ CNF-Satผู้เขียนคาดเดาว่า SET COVER ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลา ,โดยที่อ้างถึงจำนวนชุด หากเป็นจริงสิ่งนี้จะแสดงว่าปัญหาของฉันไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาเช่นกัน $O(2^{\delta n})$ $\delta <1$ $n$ $O(2^{\delta n})$

อัปเดต 2 เท่าที่ฉันสามารถบอกได้โดยสมมติว่า SETH ปัญหาของฉันจะไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาเนื่องจากมันแสดงให้เห็นว่า Hitting Set (ที่มีชุดขนาด ) ไม่สามารถแก้ไขได้ แก้ไขได้ในเวลาเดลต้า) $O(2^{\delta n})$ $n$ $O(2^{\delta n})$

— ออสตินบูคานัน
แหล่งที่มา

3

เนื่องจากคุณเพิ่มจำนวนตัวแปรเป็นสองเท่าฉันคิดว่านี่เป็นเพียงการแสดงว่าอัลกอริทึมสำหรับปัญหานี้กับรันไทม์จะขัดแย้งกับ SETH

O (2^{δ n / 2})

$O(2^{\delta n/2})$

— Stefan Schneider

รอสักครู่ ... ผู้แต่งจาก On Problems as Hard as CNF-SAT ระบุว่า "สำหรับทุก ๆ , อัลกอริทึมสำหรับการกดปุ่ม Setจะเป็นการละเมิด SETH" มันใช้ไม่ได้เหรอ

ϵ < 1

$\epsilon <1$

O (2^{ϵ n})

$O(2^{\epsilon n})$

\dots

$\dots$

— Austin Buchanan