การตีความทางเรขาคณิตของการคำนวณ

มาจากวิชาฟิสิกส์ฉันได้รับการฝึกฝนให้มองปัญหามากมายจากมุมมองเชิงเรขาคณิต ตัวอย่างเช่นเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของ manifolds ในระบบพลวัต ฯลฯ เมื่อฉันอ่านพื้นฐานของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ฉันมักจะพยายามค้นหาการตีความทางเรขาคณิต เหมือนการตีความทางเรขาคณิตที่เป็นไปได้ของเซตนับซ้ำ (ฉันทำงานในส่วนที่ฉันพยายามเชื่อมต่อกับ Algebraic Geometry โดยหาประโยชน์จากการเทียบเคียงกับ Diophantine แต่การเชื่อมต่อดูเหมือนบังคับและฉันไม่สามารถหาการแสดงออกของ "ธรรมชาติ" ของข้อเท็จจริง formulation) หรือผลลัพธ์ทางเรขาคณิตที่สวยงามสำหรับอัลกอริทึมแบบง่ายสำหรับการเรียงลำดับตัวเลข แม้ว่าฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญฉันได้อ่านแบบสำรวจเกี่ยวกับทฤษฎีความซับซ้อนทางเรขาคณิตและเป็นโปรแกรมที่น่าสนใจ แต่ฉันสนใจที่จะมีมุมมองทางเรขาคณิตของแนวคิดพื้นฐานที่ยิ่งใหญ่เช่นการเปลี่ยนแปลงของ Turing Machine แลมบ์ดาแคลคูลัสหรือโครงสร้างของ ( un) เซตที่คำนวณได้ (แทนที่จะเป็นปัญหาเฉพาะ) มันเป็นงานที่ไม่มีความหวังในการค้นหาโครงสร้างทางเรขาคณิตในวัตถุเหล่านี้หรือเราสามารถคาดหวังผลลัพธ์ที่ซับซ้อนได้หรือไม่? มีสูตรของ TCS ใดบ้างที่ใช้กับเรขาคณิต?

ความหมายของโปรแกรมคอมพิวเตอร์สามารถเข้าใจในเชิงเรขาคณิตได้สามวิธี (และเข้ากันไม่ได้)

• วิธีที่เก่าแก่ที่สุดคือผ่านทางทฤษฎีโดเมน สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังทฤษฎีโดเมนเกิดขึ้นจากความไม่สมดุลหลังการเลิกจ้างและการทำลายล้าง

  เมื่อทำการรักษาโปรแกรมอย่างต่อเนื่อง (เช่นเพียงดูที่พฤติกรรม I / O ของพวกเขาและไม่ใช่โครงสร้างภายใน) มันเป็นไปได้เสมอที่จะยืนยันในเวลา จำกัด ที่โปรแกรมหยุด - คุณรอจนกว่ามันจะหยุด อย่างไรก็ตามเป็นไปไม่ได้ที่จะยืนยันว่าโปรแกรมไม่หยุดเพราะไม่ว่าคุณจะรอนานแค่ไหนก็ตามจะมีโปรแกรมหยุดอยู่เสมอที่จะทำงานตามขั้นตอนมากกว่าที่คุณรอ

  เป็นผลให้การหยุดและการวนซ้ำสามารถดูเป็นการสร้างพื้นที่ทอพอโลยี ( พื้นที่Sierpiński ) สิ่งนี้ยกให้แนวคิดการสังเกตที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น (ผ่านโทโพโลยีสก็อต) และคุณสามารถตีความโปรแกรมเป็นองค์ประกอบของปริภูมิโทโพโลยี ช่องว่างเหล่านี้โดยทั่วไปค่อนข้างน่าแปลกใจจากมุมมองแบบดั้งเดิม - โดยทั่วไปแล้วโดเมนจะไม่ใช่ Hausdorff

  แนะนำทอพอโลยีดีที่สุดที่ฉันรู้เพื่อความคิดเหล่านี้คือสตีฟวิคเกอร์สั้นและสามารถเข้าถึงได้มากโทโพโลยีทางลอจิก มันสามารถเข้าใจได้เป็นประเภทอบอุ่นขึ้นสำหรับปีเตอร์สโตนอย่างมีนัยสำคัญที่น่ากลัวมากขึ้นSpaces หิน

  หากคุณกำลังมองหาเอกสารประกอบการบรรยายออนไลน์ให้ฉันขอแนะนำให้มาร์ติน Escardo ของโทโพโลยีสังเคราะห์ของชนิดข้อมูลและคลาสสิก Spaces

• อีกมุมมองที่เกิดขึ้นจากทฤษฎีการเกิดพร้อมกัน โปรแกรมที่เกิดขึ้นพร้อมกันนั้นสามารถเข้าใจได้ว่ามีการประมวลผลที่ถูกต้องหลายครั้ง (ลำดับของรัฐ) ขึ้นอยู่กับการแก้ไขของเผ่าพันธุ์ จากนั้นชุดการดำเนินการสามารถดูเป็นช่องว่างโดยแต่ละลำดับสถานะที่เป็นไปได้เข้าใจว่าเป็นเส้นทางผ่านช่องว่างนี้ จากนั้นวิธีการจากทอพอโลยีเชิงพีชคณิตและทฤษฎี homotopy สามารถนำมาใช้กับค่าคงที่ที่ได้จากการประมวลผลโปรแกรม

  Nir Shavit และ Maurice Herlihy ใช้ความคิดนี้เพื่อพิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ของอัลกอริทึมแบบกระจายซึ่งพวกเขาได้รับรางวัลGödelปี 2004 (ดูโครงสร้าง Topological ของ Asynchronous คำนวณ .) เอริค Goubault มีกระดาษสำรวจอธิบายความคิดที่เกี่ยวข้องในบางมุมมองทางเรขาคณิตในทฤษฎี Concurrency

• เมื่อไม่นานมานี้มีการสังเกตว่าโครงสร้างของชนิดของตัวตนในทฤษฎีแบบพึ่งพานั้นสอดคล้องกับแนวคิดของ homotopy type ในทฤษฎี homotopy อย่างใกล้ชิด - ในความเป็นจริงแล้วทฤษฎีชนิดที่พึ่งพานั้นสามารถถูกมองว่าเป็นชนิดของ "ทฤษฎี homotopty สังเคราะห์"! (วลาดิมีร์ Voevodsky พูดติดตลกว่าเขาใช้เวลาหลายปีในการพัฒนาแคลคูลัสใหม่สำหรับทฤษฎี homotopy เพียงเพื่อค้นพบว่าเพื่อนร่วมงานของเขาในแผนก CS ได้สอนให้กับนักศึกษาปริญญาตรีแล้ว)

  ดูการเชื่อมโยงของโคดี้กล่าวต่อหนังสือประเภททฤษฎีฮอมอโท

น่าสนใจมุมมองทั้งสามนี้ดูเหมือนจะไม่เข้ากันหรืออย่างน้อยก็ยากที่จะกระทบยอด ทฤษฎีประเภทขึ้นอยู่กับภาษาทั้งหมดดังนั้นการไม่กำจัด (และทอพอโลยีทอพอโลยี) จึงไม่เกิดขึ้นในนั้น นอกจากนี้ยังไหลมารวมกันดังนั้นมุมมองของการคำนวณแบบช่องว่างไม่ได้เกิดขึ้นเช่นกัน ในทำนองเดียวกันการกำหนดรูปแบบการทำงานพร้อมกันในแง่ของทฤษฎีโดเมนได้พิสูจน์แล้วว่าดุร้ายและบัญชีที่น่าพอใจอย่างสมบูรณ์ยังคงเป็นปัญหาที่เปิดอยู่

ในขณะที่มันเกิดขึ้นเพียงเพื่อได้มีการพัฒนาล่าสุดในทฤษฎีของประเภทขึ้นอยู่ซึ่งในประเภทซึ่งเป็นประเพณีที่เป็นตัวแทนของความคงที่คงที่สำหรับโปรแกรมคอมพิวเตอร์สามารถตีความให้เป็นพื้นที่ทอพอโลยีหรือค่อนข้างชั้นสมมูลดังกล่าว ช่องว่าง ( ประเภท homotopy )

นี้ได้รับเรื่องของการวิจัยที่รุนแรงในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาซึ่ง culminated ในหนังสือ

$\lambda$

คุณทราบถึง GCT แต่คุณอาจไม่ทราบถึงงานก่อนหน้าของ Mulmuleyในการแสดงการแยกระหว่างชุดย่อยของการคำนวณ PRAM และ P ซึ่งใช้แนวคิดทางเรขาคณิตของวิธีการคำนวณที่สามารถดูเป็นการแกะสลักพื้นที่

ขอบเขตที่ต่ำกว่าจำนวนมากสำหรับปัญหาในโมเดลการตัดสินใจเชิงพีชคณิตจะลดการให้เหตุผลเกี่ยวกับทอพอโลยีของช่องว่างพื้นฐานของการแก้ปัญหา (ตัวเลข Betti แสดงเป็นพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้อง)

ในแง่หนึ่งการปรับให้เหมาะสมทั้งหมดเป็นรูปทรงเรขาคณิต: โปรแกรมเชิงเส้นเกี่ยวข้องกับการค้นหาจุดต่ำสุดของโพลีท็อปในมิติที่สูง SDP เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นในพื้นที่ของเมทริกซ์กึ่งไม่มีที่สิ้นสุดและอื่น ๆ เรขาคณิตถูกใช้อย่างหนักในการออกแบบอัลกอริทึมที่นี่

ในชุดรูปแบบนั้นมีการเชื่อมต่อที่ยาวและลึกระหว่างความสามารถของเราในการเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชั่นบางอย่างบนกราฟและความสามารถของเราในการฝังช่องว่างเมตริกในช่องว่างมาตรฐาน ตอนนี้เป็นวรรณกรรมที่กว้างใหญ่

ในที่สุดในปีที่ผ่านมามีความสนใจอย่างมากในกลไกที่เรียกว่า "การยกและโครงการ" สำหรับการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมและสิ่งเหล่านี้ใช้ประโยชน์อย่างมากจากเรขาคณิตพื้นฐานและลิฟท์ไปยังพื้นที่มิติที่สูงขึ้น: แนวคิดจากการเล่นเชิงเรขาคณิตเชิงพีชคณิต บทบาทสำคัญที่นี่

$T_1$

วิธีหนึ่งในการทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างการประมวลผลข้อมูล (หรือที่เรียกว่า "การคำนวณ") และรูปทรงเรขาคณิตคือการประมวลผลข้อมูลนั้นนำหน้าด้วยรูปทรงเรขาคณิต มุมมองนี้ควรคุ้นเคยจากบางส่วนของฟิสิกส์ ยกตัวอย่างเช่นในทฤษฎีสัมพัทธภาพเราศึกษาทั้งโครงสร้างเชิงสาเหตุของกาลอวกาศ (การประมวลผลข้อมูลของมัน) เช่นเดียวกับโครงสร้างทางเรขาคณิต หลายคนคิดว่าเรื่องหลังเป็นพื้นฐานมากกว่าเดิม

การเชื่อมต่อเหล่านี้ได้รับการสังเกตในอดีตและหลายปีที่ผ่านมามีความพยายามที่จะเชื่อมโยงแง่มุมทางทฤษฎีข้อมูลของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์กับทฤษฎีสัมพัทธภาพ หนึ่งในภารกิจที่ผู้คนต้องการแก้คือเริ่มจากโครงสร้างเวรกรรมของกาลอวกาศ (ซึ่งเป็นเพียงส่วนหนึ่งของกาลอวกาศ) สร้างโทโพโลยีของกาลอวกาศหรืออาจเป็นเรขาคณิตก็ได้เช่นกัน การกู้โทโพโลยีจากคำสั่งบางส่วนเป็นสิ่งที่ทฤษฎีโดเมนดีดังนั้นจึงมีความสำเร็จ

อ้างอิง:

• โครงสร้างการคำนวณสำหรับการสร้างแบบจำลองพื้นที่เวลาและเวรกรรม , สัมมนา Dagstuhl 06341, 20-25 สิงหาคม, 2549

• Key Martin และ Prakash Panangaden: เรขาคณิตอวกาศจากโครงสร้างเชิงสาเหตุและการวัด

$U$

ตีความคำถามของคุณอย่างสร้างสรรค์มีความเป็นไปได้บางอย่างนอกเหนือจาก GCT เมื่อนึกถึง วิธีหนึ่งคือการค้นหาปัญหาที่ไม่อาจตัดสินใจได้ (อาคาทัวริงครบถ้วน) ซึ่งค่อนข้างแพร่หลาย

• aperiodic Tiling the plane & Penrose tiling . มันได้รับการพิสูจน์แล้วว่าคำถามที่ว่ามีการปูกระเบื้องรูรับแสงแบบระนาบไม่สามารถบอกได้หรือไม่

• ออโตเซลลูล่าร์ที่แสดงให้เห็นถึงการเชื่อมต่อกับฟิสิกส์อย่างลึกซึ้งปัญหาที่ไม่อาจคาดเดาได้มากมายที่เกี่ยวข้อง TM ที่ผ่านการพิสูจน์แล้วและถูกตีความโดยธรรมชาติว่าเป็น (และแปลงระหว่าง) ตารางการคำนวณ TM

• ขั้นตอนวิธีการเป็น Fractals พื้นที่ที่ยังไม่พัฒนา (เช่นการวิจัยเชิงรุก / ต่อเนื่อง!) แต่คำถามที่ไม่สามารถตัดสินใจได้หลายอย่างเช่นได้รับจุดที่ซับซ้อน$(x,y)$มันอยู่ในชุด Mandelbrotเหรอ?

• Undecidability ในระบบพลวัต (Hainry) บางครั้งก็เกี่ยวข้องกับฟิสิกส์อีกครั้ง ระบบพลวัตโดยทั่วไปมีการตีความทางเรขาคณิตหลายมิติ

• การเขียนโปรแกรมภาษาภาพ โปรแกรมสามารถถูกมองว่าเป็นกราฟชนิดหนึ่ง (ชี้นำ?) ที่มีจุดยอดต่างประเภท (เช่นการดำเนินการตามเงื่อนไขการคำนวณทางคณิตศาสตร์) เป็นต้น