ความซับซ้อนที่แน่นอนของปัญหาใน

ปล่อยสำหรับโดยสัญญาว่า (โดยที่ผลรวมมากกว่า ) แล้วความซับซ้อนในการพิจารณาว่าคืออะไร?$x_i \in \{-1,0,+1\}$$i \in \{1,\ldots,n\}$$x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}$$\mathbb{Z}$$x = 1$

ขอให้สังเกตว่านิดปัญหาอยู่ในเพราะ IFF1 คำถามคือ: ปัญหาอยู่ใน หรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นวงจรเป็นพยานในสิ่งนี้คืออะไร? ถ้าไม่อย่างนั้นจะพิสูจน์ได้อย่างไร$\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}$$x \equiv 1\bmod{m}$$x = 1$$\mathsf{AC}^0$

คุณสามารถใช้อาร์กิวเมนต์บทแทรกสลับปกติ คุณยังไม่ได้อธิบายว่าคุณเป็นตัวแทนการป้อนข้อมูลแบบไบนารีอย่างไร แต่ภายใต้การเข้ารหัสที่สมเหตุสมผลฟังก์ชันต่อไปนี้คือ AC - เทียบเท่ากับฟังก์ชันของคุณ: (เราคิดว่าคือแม้.) ติดตามบันทึกการบรรยายเหล่านี้สมมติว่าสามารถคำนวณได้โดยความลึกวงจรขนาดข จากนั้นข้อ จำกัด แบบสุ่มของอินพุตทำให้ฟังก์ชั่นของความซับซ้อนของโครงสร้างการตัดสินใจไม่เกิน$^0$

$$f(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} 0 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 0, \\ 1 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 1, \\ ? & \text{otherwise.} \end{cases}$$ $n$$f$$d$$n^b$$n - n^{1/2^d}$$2^d(b+1)+1$กับความน่าจะเป็นอย่างน้อย(3n) การคำนวณอาจแสดงให้เห็นว่านี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของ (บนขนาดอินพุตที่เล็กกว่า) พร้อมความน่าจะเป็นและมีข้อ จำกัด แบบสุ่มซึ่งให้ทั้งอินสแตนซ์ของบนอินพุตและฟังก์ชันที่มีความซับซ้อนของโครงสร้างการตัดสินใจคงที่ซึ่งนำไปสู่ความขัดแย้ง อาร์กิวเมนต์เดียวกันควรให้ขอบเขตที่ต่ำกว่าแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล$1-1/(3n)$$f$$\Theta(1/\sqrt{n})$$f$$n^{1/2^d}$

ฉันไม่คิดว่านี่เป็น AC0 และฉันสามารถแสดงขอบเขตล่างสำหรับปัญหาสัญญาที่เกี่ยวข้องในการแยกแยะระหว่าง $\sum x_i = 0$ และ $\sum x_i = 2$, เมื่อไหร่ $x \in \{-1, 1\}^n$. เทคนิคฟูริเยร์ที่คล้ายกันควรใช้กับปัญหาของคุณ แต่ฉันยังไม่ได้ตรวจสอบ หรืออาจจะมีการลดลงอย่างง่าย

สมมติว่ามีขนาด $s$ ความลึก $d$ วงจรที่คำนวณฟังก์ชัน $f: \{-1, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$ ดังนั้น $f(x) = \sum_i x_i$ เมื่อไรก็ตาม $\sum_i x_i \in \{0,2\}$. เพราะสำหรับการสุ่ม$x$ความน่าจะเป็นที่ $\sum_i x_i = 0$ คือ $2^{-n} {n \choose n/2} \approx n^{-1/2}$และสำหรับแต่ละอย่างเช่น $x$ มี $n/2$ พิกัดที่เปลี่ยนค่าของ $f$อิทธิพลทั้งหมดของ $f$ คือ $\Omega(n^{1/2})$ซึ่งใกล้เคียงกับเสียงส่วนใหญ่ (เนื่องจากคุณรวมอินพุตที่มีความละเอียดอ่อนส่วนใหญ่) ตามทฤษฎีของ Hastad (ดู Colorraly 2.5 ในบันทึกของ Ryan O'Donnel ) นี่ก็หมายความว่า

$$s \geq 2^{\Omega(n^{1/(2d-2)})}.$$