อัลกอริธึมที่แน่นอนสำหรับชุด r-Dominating บนกราฟ Treewidth ที่ถูกผูกไว้

กำหนดกราฟผมต้องการที่จะหาที่ดีที่สุด -domination สำหรับGนั่นคือฉันต้องการเซตของดังกล่าวว่าจุดทั้งหมดในอยู่ที่ระยะห่างอย่างที่สุดจากจุดสุดยอดบางอย่างในSในขณะที่ลดขนาดของS$G = (V, E)$$r$$G$$S$$V$$G$$r$$S$$S$

จากสิ่งที่ผมได้ตรวจสอบเพื่อให้ห่างไกลผมได้ดังต่อไปนี้: มีปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการนี้ในการหาคือ$(k,r)$ -Center ในกราฟซึ่งเป็นส่วนย่อย$S$ขนาดที่มากที่สุด$k$ดังกล่าวว่าทุกจุดในกราฟที่มี ที่ระยะห่างจาก atmost $r$จากจุดสุดยอดบางอย่างใน$S$ (ที่นี่ทั้งสอง$|S| \leq k$และ$r$เป็นส่วนหนึ่งของการป้อนข้อมูล) ซึ่งDemaine et al, มีอัลกอริทึม FPT สำหรับกราฟระนาบ มิฉะนั้นปัญหาคือ$W[2]$ -hard สำหรับแม้แต่$r = 1$1

มีสิ่งใดที่ทราบเกี่ยวกับความซับซ้อนที่แน่นอนของปัญหา$r$ -domination สำหรับกราฟความกว้างของต้นไม้ที่ถูกล้อมรอบหรือแม้แต่แค่ต้นไม้? ( $r$ -domination MSO สามารถกำหนดได้หรือไม่ปัญหาชุด$k$ -dominating ปกติคือ MSO สามารถกำหนดได้ - ซึ่งจะอนุญาตให้หนึ่งใช้ทฤษฎีบทของ Courcelle เพื่อสรุปว่ามีอัลกอริธึมเชิงเส้นเวลาสำหรับปัญหา) ทราบความแข็งแบบมีเงื่อนไขเกี่ยวกับปัญหานี้หรือไม่

อัน (ดีที่สุด) -domination สำหรับGเป็น (ดีที่สุด) การปกครองสำหรับRอำนาจ th G Rและในทางกลับกัน ( G Rจะได้รับจากGโดยการเพิ่มขอบใหม่ระหว่างจุดที่แตกต่างของระยะทางที่มากที่สุดR )$r$$G$$r$$G^r$$G^r$$G$$r$

ข้อเท็จจริงต่อไปนี้เป็นที่รู้จักกันดี: (1) พลังทั้งหมดของกราฟ chordal อย่างยิ่งเป็น chordal อย่างยิ่ง (A. Lubiw, วิทยานิพนธ์ปริญญาโท; ดู Dahlhaus & Duchet, บนกราฟ chordal ที่รุนแรง, Ars Combin 24 B (1987) 23-30 ) และ (2) การครอบงำสามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้นสำหรับกราฟคอร์ดที่รุนแรง (M. Farber. การปกครองการปกครองแบบอิสระและความเป็นคู่ในกราฟคอร์ดที่รุนแรง, Discrete Appl. Math., 7 (1984) 115–130) ดังนั้น -domination สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามสำหรับกราฟคอร์ดที่รุนแรงโดยเฉพาะสำหรับต้นไม้ ( rคงที่หรือไม่)$r$$r$

Gurski & Wanke พิสูจน์ในกระดาษนี้ ว่าคณะที่มีความกว้างของที่มากที่สุด2 ⋅ ( R + 1 ) tw ( G ) + 1 - 2ที่tw ( G )เป็นต้นไม้ที่มีความกว้างของG ดังนั้นสำหรับการแก้ไขr , พลังที่rของกราฟความกว้างของต้นไม้ที่ล้อมรอบได้ล้อมรอบความกว้างกลุ่ม ดังนั้นสำหรับการแก้ไขr , r -domination สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามสำหรับกราฟความกว้างของต้นไม้ล้อมรอบ (โดยทฤษฎีบทของ Courcelle) $G^r$$2\cdot (r+1)^{\text{tw}(G)+1}−2$$\text{tw}(G)$$G$$r$$r$$r$$r$

มันค่อนข้างง่ายที่จะทำการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกบนกราฟของ treewidth สำหรับปัญหานี้ หนึ่งสามารถเก็บสำหรับแต่ละจุดสุดยอดในถุงระยะทางที่สั้นที่สุดเพื่อจุดสุดยอดบางส่วนในการแก้ปัญหาบางส่วนและระยะทางไปสู่การแก้ปัญหาในอนาคตที่จำเป็นในการครองจุดยอดที่ไม่ถูกตรึง$k$

ทั้งหมดนี้จะให้ขนาดตารางของดังนั้นสำหรับการแก้ไขrปัญหานี้คือพารามิเตอร์ FPT โดย treewidth อย่างไรก็ตามหากrไม่ได้รับการแก้ไขจะกลายเป็นอัลกอริธึม XP เท่าที่ฉันรู้คำถามว่าปัญหานี้เป็น FPT สำหรับค่าทั้งหมดของrเปิดอยู่หรือไม่$O(r^k)$$r$$r$$r$

Dawar และ Kreutzerแสดงให้เห็นว่าปัญหาได้รับการแก้ไขพารามิเตอร์ที่สามารถใช้งานได้ในชั้นเรียนที่ไม่มีความหนาแน่นของกราฟซึ่งรวมถึงกราฟระนาบกราฟของกราฟความกว้างของต้นไม้ (ในท้องถิ่น) และชั้นเรียนทั้งหมดที่มี

Dvorakได้แสดงให้เห็นว่ามีการประมาณปัจจัยคงที่เวลาพหุนามสำหรับคลาสของการขยายขอบเขตซึ่งรวมถึงกราฟระนาบกราฟของความกว้างของต้นไม้ล้อมรอบและชั้นเรียนทั้งหมดที่มีผู้เยาว์ที่ไม่รวม

มีรายงานล่าสุดโดย Glencora Borradaile, Hung Le: โปรแกรมไดนามิกที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหา r-Domination ในเรื่องการย่อยสลายต้นไม้ (IPEC 2016) ที่นี่พวกเขาแสดงให้เห็นว่ามีขั้นตอนวิธีที่ได้รับเป็น input กราฟ , จำนวนเต็มRและต้นไม้การสลายตัวของGของความกว้างWคำนวณที่ดีที่สุดR -dominating ชุดของGในเวลาO ( ( 2 R + 1 ) W n ) นอกจากนี้พวกเขาแสดงให้เห็นว่านี่เป็นวิธีที่ดีที่สุดที่สามารถทำได้ในแง่ต่อไปนี้: อัลกอริทึมที่มีเวลารันO ( ( $G$$r$$G$$w$$r$$G$$O((2r+1)^wn)$สำหรับ ϵ > 0จะขัดแย้งกับสมมุติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลที่คาดเดายาก$O((2r+1-\epsilon)^wn^{O(1)})$$\epsilon > 0$

อัลกอริทึมตามลำดับเชิงเส้นเพื่อคำนวณ r-domin ที่ดีที่สุดสำหรับต้นไม้เกิดจาก Slater:

P. Slater การครอบงำในกราฟ J. ACM, 23 (3): 446–450, กรกฎาคม 1976. ดอย: 10.1145 / 321958.321964

อัลกอริทึมแบบกระจายสำหรับการตั้งค่าเดียวกันนั้นเกิดจาก Turau และKöhler:

Volker Turau และ Sven Köhler อัลกอริทึมแบบกระจายสำหรับการควบคุมระยะทางขั้นต่ำ k ในต้นไม้ สมุดรายวันของอัลกอริทึมกราฟและแอปพลิเคชัน, 19 (1): 223–242,5 (ดูhttp://jgaa.info/getPaper?id=354 )