CSP ที่มีความกว้างของไฮเพอร์เซทของเศษส่วนไม่ จำกัด

HH∈PTฉันM$\acute{\rm a}$$H$$H$$\in PTIME$

คำจำกัดความ ฯลฯ

สำหรับการสำรวจที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับการสลายตัวของต้นไม้มาตรฐานและความกังวลดูที่นี่ (ขอบคุณล่วงหน้า JeffE!)

ให้เป็นไฮเปอร์กราฟ$H$

จากนั้นสำหรับกราฟไฮเปอร์และการแมป ,γ : E ( H ) → [ 0 , ∞ $H$$\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty)$

$B(\gamma) =$ { }$v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1$

นอกจากนี้ให้น้ำหนัก ( ) =(จ)∑ e ∈ E γ ( e $\gamma$$\sum_{e \in E}\gamma(e)$

จากนั้นการสลายตัวของ ความแบบเศษส่วนของคือสามโดยที่:( T , ( B t ) t ∈ V ( T ) , ( γ t ) t ∈ V ( T )$H$$(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$

• $(T, (B_t)_{t \in V(T)})$เป็นการย่อยสลายต้นไม้ของและ $H$
• $(\gamma_t)_{t \in V(T)}$เป็นตระกูลการแมปจากถึงเซนต์สำหรับทุก . [ 0 , ∞ ) t ∈ V ( T ) , B t ⊆ B ( γ t$E(H)$$[0, \infty)$$t \in V(T), B_t \subseteq B(\gamma_t)$

จากนั้นเราพูดความกว้างของคือ {น้ำหนัก }สูงสุด( γ t ) , t ∈ V ( T $(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$$\max$$(\gamma_t), t \in V(T)$

ในที่สุดความกว้าง hypertree เศษส่วนของ $H$ , fhw ( $H$ ) เป็นขั้นต่ำที่มีความกว้างมากกว่าเป็นไปได้ทั้งหมด decompositions hypertree เศษส่วนของH$H$

คำถาม

ตามที่ระบุไว้ข้างต้นหากความกว้างของกราฟไฮเพอร์เชียลของเศษส่วนของ CSP ถูกล้อมรอบด้วยค่าคงที่จะมีอัลกอริธึมเวลาพหุนามเพื่อแก้ CSP อย่างไรก็ตามมันถูกทิ้งไว้เป็นปัญหาเปิดในตอนท้ายของบทความที่เชื่อมโยงว่ามีครอบครัวแบบพหุนามเวลาใด ๆ ที่แก้ไขได้ของอินสแตนซ์ CSP ที่มีความกว้างของความดันโลหิตสูงไม่ จำกัด (ฉันควรจะชี้ให้เห็นคำถามนี้ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ในกรณีที่มีขอบเขตการแข่งขันและ treewidth ที่ไม่ จำกัด ( การอ้างอิง ACM ) ภายใต้สมมติฐานที่ว่า ) เนื่องจากมีเวลาพอสมควรตั้งแต่กระดาษที่เชื่อมโยงครั้งแรก รวมทั้งฉันค่อนข้างไม่ทราบสถานะทั่วไปของสาขาย่อยนี้คำถามของฉันคือ:$FPT \ne W[1]$

มีอะไรเป็นที่รู้กันบ้างเกี่ยวกับความสามารถในการรองรับของ CSP บนกราฟที่มีความกว้างของไฮเพอร์เซทที่มีเศษส่วนไม่ จำกัด หรือไม่

คุณเชื่อมโยงกับเอกสารสองฉบับทั้งที่มีการคาดเดา ฉันคิดว่าคุณหมายถึงการคาดเดาของ Grohe ในปี 2007

คำถามนี้ตอบในปี 2008:

ทฤษฎีบทที่ 5 CSP (C , _) อยู่ใน NP แต่ไม่ใช่ใน P หรือ NP-complete (ยกเว้น P = NP) ยิ่งไปกว่านั้นเซต Cสามารถตัดสินใจได้ในเวลาพหุนามที่กำหนด$_0$$_0$

• Manuel Bodirsky และ Martin Grohe, Non-dichotomies ในความซับซ้อนของข้อ จำกัด ความพึงพอใจ , ICALP 2008. Doi: 10.1007 / 978-3-540-70583-3_16 ( PDF )

ความคิดคือการเป่าหลุมในขนาดอินสแตนซ์ของ CLIQUE โดยเทคนิคการทแยงมุมแบบเดียวกับที่ Ladner แนะนำสำหรับทฤษฎีของเขา โปรดทราบว่าชุด Cมีชมรมที่มีขนาดใหญ่โดยพลการและความกว้าง hypertree เศษส่วนของ -clique เป็น 2 ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะมี CSP ของ CSP ของรูปแบบ (A, _) ที่มีความซับซ้อนระดับกลางโดยที่ A มีความกว้างของไฮเพอร์เซทที่มีเศษส่วนไม่ จำกัด คำตอบนี้เป็นการคาดเดาของ Grohe ในแง่ลบ n n /$_0$$n$$n/2$

ในการประชุมเดียวกันเฉินเทอร์เลย์และไวเยอร์มีกระดาษที่มีผลลัพธ์คล้ายกัน แต่จำเป็นต้องมีงานแต่งงานที่แข็งแกร่งดังนั้นในทางเทคนิคแล้วรูปแบบที่ไม่เหมาะสมสำหรับการคาดเดา

• Yijia Chen, Marc Thurley และ Mark Weyer ทำความเข้าใจกับความซับซ้อนของการเหนี่ยวนำให้เกิด Isomorphisms Subgraph , ICALP 2008 doi: 10.1007 / 978-3-540-70575-8_48 ( PDF )

ในที่สุดคลาสของอินสแตนซ์ CSP ใด ๆสามารถเปลี่ยนเป็นการแสดงด้วยความกว้างของตัวแปร ในหลายกรณีการเปลี่ยนแปลงนี้ถูก จำกัด ขนาดพหุนามและสามารถทำได้ในเวลาพหุนาม ซึ่งหมายความว่ามันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้าง CSPs ที่มีความกว้างของไฮเพอร์เซทของเศษส่วนที่ไม่มีขอบเขตแม้กระทั่งโมดุลโล homomorphic CSP เหล่านี้จะไม่อยู่ในรูปแบบ CSP (A, _) เนื่องจากโครงสร้างเป้าหมายนั้นมีความพิเศษ แต่พวกเขามีเหตุผลที่สมเหตุสมผลว่าเหตุใด CSP ที่กำหนดโดยการ จำกัด เพียงแค่โครงสร้างของแหล่งที่มานั้นไม่น่าสนใจทั้งหมด: บ่อยครั้งเพียง ง่ายเกินไปที่จะซ่อนโครงสร้างแบบต้นไม้ของอินสแตนซ์ CSP โดยการเปลี่ยนการแสดงเพื่อให้โครงสร้างต้นฉบับมีความกว้างขนาดใหญ่ (สิ่งนี้ถูกกล่าวถึงในบทที่ 7 ของวิทยานิพนธ์ของฉัน)