เราสามารถตัดสินใจได้ว่าถาวรมีคำที่ไม่ซ้ำกันหรือไม่

สมมติว่าเราได้รับเมทริกซ์ n คูณ n, M พร้อมรายการจำนวนเต็ม เราสามารถตัดสินใจใน P ไม่ว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงเช่นว่าพีชคณิตทั้งหมดเรามี ?$\sigma$$\pi\ne\sigma$$\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)}$

หมายเหตุ. แน่นอนหนึ่งสามารถแทนที่สินค้าด้วยผลรวมปัญหายังคงเหมือนเดิม

หากเมทริกซ์สามารถมีเพียง 0/1 รายการเราจะได้รับปัญหา Bipartite-UPM ซึ่งอยู่ใน NC

แก้ไข: การตัดสินใจว่าคำที่เล็กที่สุดนั้นไม่เหมือนใครคือ NP-hard หรือไม่ถ้าเรายอมให้มีการลดแบบสุ่ม ที่จริงแล้วฉันต้องการตั้งคำถามนี้เพราะจะช่วยแก้ปัญหานี้ได้ ตอนนี้ปรากฎว่านี่เป็นปัญหาที่สมบูรณ์ดังนั้นขอผมร่างการลดลงของปัญหาของเรา ลองนึกภาพว่าอินพุตเป็นเมทริกซ์ศูนย์หนึ่ง (เราสามารถสมมติได้) และแทนที่รายการศูนย์ด้วยตัวเลขจริงแบบสุ่มระหว่าง 2 ถึง 2 + 1 / n ตอนนี้ในเมทริกซ์ใหม่ที่มีความน่าจะเป็นสูงคำที่เล็กที่สุดจะไม่ซ้ำกันหากเมทริกซ์ดั้งเดิมได้รับอนุญาตให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมมุมบน

แก้ไข: คำถามที่คล้ายกัน:

ในกราฟน้ำหนักขอบมีวงจร Hamiltonian ที่มีน้ำหนักไม่ซ้ำกันหรือไม่?

หากเรามี CNF ที่มีการกำหนดน้ำหนักให้กับทุกตัวแปร / การมอบหมายที่น่าพอใจ

แน่นอนว่าอย่างน้อย NP-hard ปัญหาเหล่านี้เทียบเท่ากับต้นฉบับหรือยากกว่านี้หรือไม่

เป็นปัญหาที่ดี! ไม่ยากที่จะลดการแสดงให้เห็นว่าหากใครสามารถแก้ปัญหาของคุณได้แล้วคนหนึ่งก็สามารถแก้ปัญหาต่อไปนี้ได้เช่นกันเรียกมันว่าผลรวมย่อยย่อย

จำนวนเต็มได้รับ₁ ... เป็น_nจะมีเซตของที่_ฉัน 's รวมที่ไม่ได้ใช้ร่วมกันโดยส่วนย่อยอื่น ๆ ?

การลดการทำงานโดยการลด SUBSET SUM ย่อยลงในการจับคู่ ISOLATED PERFECT ที่ซึ่งให้กราฟ Bipartite ถ่วงน้ำหนัก G เราต้องการหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบซึ่งไม่มีการแบ่งปันน้ำหนักที่ตรงกันโดยการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบอื่น ๆ การลดลงนี้เป็นเรื่องง่าย: สำหรับแต่ละ i, สร้าง 2x2 subgraph สมบูรณ์ G _ฉันใน G เช่นว่าที่ของทั้งสองจ้อเป็นไปได้ที่เราเลือกสำหรับ G _ฉัน encodes ทางเลือกของหรือไม่ว่าเรา_ฉันอยู่ในชุดเอส

จากนั้นลดการจับคู่ที่ไม่สมบูรณ์แบบให้เป็นปัญหาของคุณดังนี้:

1. สำหรับ i, j หากขอบ (i, j) มีอยู่และมีน้ำหนัก w _ijให้ตั้ง M _ij : = exp (w _ij ) (นี่จะเปลี่ยนจำนวนเป็นผลิตภัณฑ์)
2. สำหรับทั้งหมด i, j, ถ้า edge (i, j) ไม่มีอยู่ให้ตั้งค่า M _ij : = 0
3. Pad M เพื่อให้แน่ใจว่ามีการเปลี่ยนลำดับสองครั้งขึ้นไปπเช่นΠ M _{i, π (i)} = 0 (กฎนี้ออกมาเป็นคำตอบที่ไม่ตรงกับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบใน G. )

ทีนี้ SUBSET SUM ที่แยกออกมาก็รู้สึกว่ามันเป็น NP-hard อย่างน้อยและบางทีก็อาจจะยากกว่านั้น (ขอบเขตบนที่เห็นได้ชัดคือΣ ₂ P)! ยิ่งไปกว่านั้นบางทีใคร ๆ ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่า SUBSET SUM ที่แยกย่อยได้นั้นคือ NP-hard โดยใช้การลดแบบสุ่มของ Valiant-Vazirani อย่างไรก็ตามนี่เป็นความท้าทายที่ฉันปล่อยให้คนอื่น ...