นิพจน์ความกว้างกลุ่มความลึกลอการิทึม

เมื่อเราได้รับการย่อยสลายต้นไม้ของกราฟมีความกว้างมีหลายวิธีที่เราสามารถทำให้มัน "ดี" โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นที่รู้จักกันว่ามันเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนมันเป็นการสลายตัวของต้นไม้ที่เป็นต้นไม้ไบนารีและความสูงของมันคือn) นี้สามารถทำได้ขณะที่การรักษาความกว้างของการสลายตัวในที่สุด3w(ดูเช่น "อัลกอริธึมแบบขนานพร้อมการเร่งความเร็วที่ดีที่สุดสำหรับความเสี่ยงแบบ จำกัด ขอบเขต" โดย Bodlaender และ Hagerup) ความลึกลอการิทึมเป็นคุณสมบัติของการสลายตัวของต้นไม้ซึ่งเราสามารถรับได้ฟรี$G$$w$$O(\log n)$$3w$

คำถามของฉันคือถ้ามีผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับความกว้างกลุ่มหรืออาจเป็นตัวอย่างเคาน์เตอร์ กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อกำหนดนิพจน์ความกว้างกลุ่มสำหรับโดยใช้ป้ายจะมีนิพจน์ความกว้างกลุ่มความสูงสำหรับซึ่งใช้กับป้ายส่วนใหญ่หรือไม่ ที่นี่ความสูงถูกกำหนดโดยธรรมชาติเป็นความสูงของต้นไม้การแยกวิเคราะห์ของการแสดงออกความกว้างกลุ่มk O ( บันทึกn ) G f ( k $G$$k$$O(\log n)$$G$$f(k)$

ถ้าเป็นคำสั่งที่คล้ายกับข้างต้นไม่เป็นที่รู้จักมีตัวอย่างของการเป็นนักการ -vertex กราฟGมีขนาดเล็กก๊กกว้างkเช่นว่าวิธีเดียวที่จะสร้างGกับF ( k )ป้ายคือการใช้การแสดงออกที่มีขนาดใหญ่ ความลึก?$n$$G$$k$$G$$f(k)$

หลังจากนั้นไม่นานฉันพบคำตอบในวรรณคดีฉันจึงโพสต์ไว้ที่นี่ในกรณีที่มีประโยชน์กับคนอื่น

ในความเป็นจริงเป็นไปได้ที่จะปรับสมดุลการแสดงออกทางความกว้างกลุ่มเพื่อให้พวกเขามีความลึกลอการิทึม ผลที่ได้รับในกระดาษ "การทำงานของกราฟแสดงลักษณะของความกว้างของอันดับและนิพจน์กราฟที่สมดุล" โดย Courcelle และKanté, WG '08 ฉันอ้างทฤษฎีบท 4.4 จากกระดาษ:

$k$$k \times 2^{k+1}$

สิ่งที่จับได้คือจำนวนฉลากเพิ่มขึ้นอย่างชัดเจนในการสร้างสมดุล ดูเหมือนว่าสำหรับความกว้างแบบ clique ยังไม่ทราบผลที่ดีกว่า บทความเดียวกันให้ผลลัพธ์ที่คล้ายกันโดยมีเพียงการระเบิดอย่างต่อเนื่องสำหรับแบนด์วิดท์ แต่สิ่งนี้ไม่ได้ช่วยเนื่องจากความแตกต่างระหว่าง clique-width และ rankwidth สามารถชี้แจงได้ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด