ความซับซ้อนของการนับจำนวนการครอบคลุมขอบของกราฟ

ใบปะหน้าขอบเป็นชุดย่อยของขอบของกราฟที่จุดยอดของกราฟทุกอันอยู่ติดกับขอบอย่างน้อยหนึ่งขอบของฝาครอบ ต่อไปนี้สองเอกสารบอกว่าขอบนับครอบคลุมเป็น#Pสมบูรณ์: FPTAS ง่ายสำหรับปกนับขอบและปกผลิตขอบกราฟเส้นทาง อย่างไรก็ตามหากฉันไม่ได้รับสิ่งใดพวกเขาไม่ได้ให้การอ้างอิงสำหรับการอ้างสิทธิ์นี้หรือหลักฐาน (การอ้างอิง 3 ของบทความแรกดูเหมือนว่าจะมีแนวโน้ม แต่ฉันไม่พบสิ่งที่ฉันต้องการเช่นกัน)

ฉันจะหาข้อมูลอ้างอิงหรือหลักฐานความจริงที่ว่าการนับจำนวนการครอบคลุมขอบของกราฟคือ # P-complete

ฉันไม่ทราบว่าสิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรก แต่เนื่องจาก EdgeCover มีการแสดงออกว่าเป็นปัญหาโฮลโดเมนบูลีนมันจึงรวมอยู่ในทฤษฎีบทการแบ่งขั้ว Holant จำนวนมาก

EdgeCover รวมอยู่ในทฤษฎีบทการแบ่งขั้วใน (1) ทฤษฎีบท 6.2 (ในเวอร์ชันเจอร์นัลหรือทฤษฎีบท 6.1 ใน preprint) แสดงให้เห็นว่า EdgeCover คือ # P-hard over กราฟระนาบ 3 ปกติ หากต้องการดูสิ่งนี้นิพจน์สำหรับ EdgeCover เป็นปัญหาของ Holant มากกว่ากราฟ 3 ตัวคือ (หรือแทนที่[ 0 , 1 , 1 , 1 ]ด้วย[ 0 , 1 , … , 1 ]บรรจุk 1 สำหรับปัญหาเดียวกันมากกว่า$\operatorname{Holant}([0,1,1,1])$$[0,1,1,1]$$[0,1,\dotsc,1]$$k$$k$กราฟปกติ) นี้โน้ตรายการการส่งออกของที่ฟังก์ชั่นสมมาตรในการสั่งซื้อของน้ำหนัก Hamming การป้อนข้อมูล สำหรับเซตย่อยบางส่วนของชุดขอบ (ซึ่งเราคิดว่าเป็นการกำหนด 1 และชุดประกอบที่ได้รับมอบหมาย 0) ข้อ จำกัด ในแต่ละจุดสุดยอดคืออย่างน้อยหนึ่งขอบถูกกำหนด 1 ซึ่งเป็นสิ่งที่ฟังก์ชั่น[ 0 , 1 , 1 , 1 ] สำหรับเซตย่อยของขอบคงที่น้ำหนักของมันคือผลผลิตของผลลัพธ์ของ[ 0 , 1 , 1 , 1 $[0,1,1,1]$$[0,1,1,1]$$[0,1,1,1]$ที่แต่ละจุดสุดยอด หากจุดสุดยอดใด ๆ ที่ไม่ครอบคลุมก็ก่อให้เกิดปัจจัยของ0หากทุกจุดได้รับความคุ้มครองแล้วจุดทั้งหมดนำปัจจัยของ1ดังนั้นน้ำหนักยังเป็นที่1 จากนั้น Holant จะรวมผลรวมของทุก ๆ เซ็ตของขอบที่เป็นไปได้และเพิ่มน้ำหนักที่สอดคล้องกับแต่ละเซ็ตย่อย ค่า Holant นี้จะเหมือนกันทุกประการถ้าเราแบ่งทุกขอบและกำหนดข้อ จำกัด ที่ขอบเหตุการณ์ทั้งสองไปยังจุดยอดใหม่เหล่านี้จะต้องเท่ากัน การใช้ฟังก์ชั่นสัญกรณ์สมมาตรฟังก์ชั่นความเสมอภาคนี้ไบนารี[ 1 , 0 , 1 ] กราฟนี้เป็นสองฝ่าย จุดยอดในส่วนหนึ่งมี[ 0 , 1 $0$$1$$1$$[1,0,1]$ข้อ จำกัด ในขณะที่จุดยอดในส่วนอื่นมีข้อ จำกัด [ 1 , 0 , 1 ] การแสดงออกสำหรับเรื่องนี้เป็นปัญหา Holant เป็น Holant ( [ 0 , 1 , 1 , 1 ] | [ 1 , 0 , 1 ] ) จากนั้นคุณสามารถตรวจสอบด้วยตนเองว่าแถว " [ 0 , 1 , 1 , 1 ] " และคอลัมน์ " [ 1 , $[0,1,1,1]$$[1,0,1]$$\operatorname{Holant}([0,1,1,1]|[1,0,1])$$[0,1,1,1]$ "ของตารางใกล้กับทฤษฎีบทที่อ้างถึงข้างต้นมี" H "ซึ่งหมายความว่าปัญหาคือ # P-hard แม้กราฟอินพุตจะต้องเป็นภาพถ่าย$[1,0,1]$

หมายเหตุด้านข้าง: โปรดทราบว่า Pinyan Lu เป็นผู้เขียนทั้งบทความนี้และบทความแรกที่คุณอ้างถึง ฉันคาดเดาว่าเมื่อกระดาษของพวกเขากล่าวว่า "การนับขอบครอบคลุมเป็นปัญหา # P-complete แม้ว่าเราจะ จำกัด การป้อนข้อมูลให้กับ 3 กราฟปกติ" พวกเขาอ้างถึงโดยนัย (1) พวกเขาอาจไม่ได้กล่าวถึงความแข็งยังคง จำกัด เมื่อกราฟกราฟระนาบเนื่องจาก FPTAS ของพวกเขาไม่ต้องการข้อ จำกัด นี้

ต่อมาทฤษฎีบทการแบ่งขั้ว Holant เช่นใน (2,3) --- รุ่นการประชุมและวารสารที่มีผลงานเดียวกัน --- พิสูจน์ได้มากกว่า ทฤษฎีบทที่ 1 (ในทั้งสองเวอร์ชัน) บอกว่า EdgeCover เป็น # P-hard over planar กราฟที่ไม่สม่ำเสมอสำหรับk ≥ 3 หากต้องการดูสิ่งนี้เราต้องใช้การแปลงภาพสามมิติ ตามที่อธิบายไว้ข้างต้นการแสดงออกสำหรับ EdgeCover เป็นปัญหา Holant กว่าkกราฟ -regular เป็นHolant ( [ 0 , 1 , ... , 1 ] )ที่[ 0 , 1 , ... , 1 ]มี$k$$k \ge 3$$k$$\operatorname{Holant}([0,1,\dotsc,1])$$[0,1,\dotsc,1]$$k$1 และนอกจากนี้จะเทียบเท่ากับ ) ตอนนี้เราใช้การแปลงโฮโลแกรมโดยT = [ 1 e π i / k 1 0$\operatorname{Holant}([1,0,1]|[0,1,\dotsc,1])$$T = \begin{bmatrix} 1 & e^{\pi i / k} \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$(หรือตรงกันข้ามมันขึ้นอยู่กับมุมมองของคุณ) โดยทฤษฎีบท Holant ของ Valiant (4,5) สิ่งนี้ไม่เปลี่ยนความซับซ้อนของปัญหา (อันที่จริงปัญหาทั้งสองเป็นปัญหาเดียวกันเพราะพวกเขาเห็นด้วยกับผลลัพธ์ของอินพุตทุกตัว ... การแสดงออกของปัญหาเปลี่ยนไปเท่านั้น ) นิพจน์ทางเลือกสำหรับปัญหานี้คือ

ที่ = kเป็นฟังก์ชันความเท่าเทียม

$$\operatorname{Holant}([1,0,1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes k} [0,1,\dotsc,1]) = \operatorname{Holant}([2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]|=_k),$$ $=_k$อินพุต เมื่อต้องการใช้ทฤษฎีบท 1 เราจะต้องปกติ [ 2 , อีπ ฉัน/ k , อี2 π ฉัน/ k ]ไป [ 2 E - π ฉัน/ k , 1 , อีπ ฉัน/ k ]โดยการหารฟังก์ชั่นเดิมโดยอีπ i / kซึ่งไม่ได้เปลี่ยนความซับซ้อนของปัญหาเนื่องจากค่านี้ไม่ใช่ศูนย์ จากนั้นค่า Xและ$k$$[2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]$$[2 e^{-\pi i / k}, 1, e^{\pi i / k}]$$e^{\pi i / k}$$X$$Y$ในงบทฤษฎีบทที่มีและY = - 2 k - 1 สำหรับk ≥ 3เราสามารถตรวจสอบได้ว่าปัญหานี้ดังนั้น EdgeCover ก็เช่นกันคือ # P-hard over planar k-กราฟที่ไม่สม่ำเสมอสำหรับk ≥ $X = 2$$Y = -2^k - 1$$k \ge 3$$k$$k \ge 3$

บันทึก Side: หนึ่งยังสามารถดูทฤษฎีบทนี้และหลักฐานในวิทยานิพนธ์ของไมเคิล Kowalczyk ของ

ฉันจะค้นหาวรรณกรรมของฉันต่อไปเพื่อดู EdgeCover แสดงว่าเป็น # P-hard ก่อนหน้า (1)

(1) การลดลงของโฮโลแกรมการแก้ไขและความแข็งโดย Jin-Yi Cai, Pinyan Lu และ Mingji Xia ( วารสาร , preprint )

$k$$\{0,1\}$

$k$$\{0,1\}$

(4) อัลกอริทึมโฮโลแกรมโดย Leslie G. Valiant

(5) ทฤษฎีบท Holant ของ Valiant และ matchgate เทนเซอร์โดย Jin-Yi Cai และ Vinay Choudhary

หลังจากที่บางค้นหาวรรณกรรมมากขึ้นก็ปรากฏว่าความซับซ้อนของการนับครอบคลุมขอบในกราฟได้แสดงให้เห็นว่า # P-สมบูรณ์ใน bordewich2008path ภาคผนวก A.1 (ซึ่งถือว่ากราฟโดยพลการเป็นอินพุตคือพวกเขาไม่สามารถบังคับใช้สมมติฐานใด ๆ บนกราฟอินพุตยกเว้นว่าพวกเขาสังเกตเห็นว่าระดับที่น้อยที่สุดสามารถทำให้มีขนาดใหญ่โดยพลการ) (bordewich2008 พา ธ เพิ่มเติมบ่งชี้ว่าผลลัพธ์นั้นถูกอ้างสิทธิ์โดยไม่มีข้อพิสูจน์ใน bubley1997graph) ผลลัพธ์นี้มาจากคำว่า Cai, Lu และ Xia ที่อ้างถึงเป็น (1) ในคำตอบของ Tyson Williams และไม่พึ่งพาทฤษฎีโฮโลกราฟิก

ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับ # P-hardness ของชุดอิสระนับในกราฟ 3 แบบปกติที่แสดงเป็นสีเขียว Hill2000complexity (การปรับปรุงผลลัพธ์แบบอะนาล็อกสำหรับกราฟที่มีระดับสูงสุด 4 แสดงใน vadhan1997 คอมเพล็กซี่) และพิสูจน์ผลลัพธ์โดยใช้เทคนิคของ bubley1997graphraph .

ผลลัพธ์ที่ดีกว่าคือความแข็งของการนับขอบครอบคลุมในกราฟสองส่วนขององศาที่มากที่สุดสี่ (การกำหนดเพิ่มเติมว่าการแบ่งขอบสามารถแบ่งออกเป็นสี่คู่) ได้ศึกษาอย่างอิสระใน khanna2011quares ภาคผนวก B.1 อีกครั้งโดยไม่ใช้เครื่องมือโฮโลแกรม . พวกเขาพึ่งพาความแข็งของการนับชุดอิสระในกราฟสองฝ่ายแบบปกติ 3 ชุด (แสดงใน xia2006regular โดยการปรับแต่งวิธีการแก้ไขของ vadhan1997 คอมไพล์ซิตี) แล้วจึงใช้เทคนิคการปรับแต่งของ bordewich2008path

ผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งยิ่งขึ้น (ความแข็งของการนับขอบครอบคลุมในกราฟปกติสองฝ่าย 2-3 กราฟนั่นคือกราฟ bipartite ที่จุดยอดทั้งหมดในด้านหนึ่งมีระดับ 2 และจุดยอดทั้งหมดอีกด้านมีระดับ 3 ซึ่งเป็นระนาบเพิ่มเติม) แสดงโดยใช้ผลลัพธ์ของ xia2006regular และ cai2008holographic คำอธิบายสำหรับเรื่องนี้ปรากฏเป็นภาคผนวก D ของรุ่นล่าสุดของกระดาษ PODS'17 ของเรา ในกรณีนี้เราตรวจสอบอย่างรอบคอบว่าผลลัพธ์นั้นเป็นกราฟอย่างง่ายเช่นสำหรับกราฟที่ไม่มีการวนรอบเองหรือหลายขอบ (ดูความคิดเห็นต่อคำตอบของ Tyson Williams)

สำหรับความแข็งในกราฟระนาบ 3 ระนาบจะมีการโต้แย้งในคำตอบของ Tyson Williams แต่ดูเหมือนว่ามันจะช่วยให้หลายขอบและห่วงตัวเองในกราฟ

อ้างอิง:

• bordewich2008path: Magnus Bordewich, Martin Dyer, Marek Karpinski, Coupling Path โดยใช้เวลาหยุดและการนับชุดอิสระและการระบายสีใน Hypergraphs , 2008
• bubley1997graph: Russ Bubley, Martin Dyer, การวางแนวกราฟโดยไม่มีอ่างล้างจานและการประมาณค่าสำหรับกรณีที่ยากลำบากของ #SAT , 1997 ดูเหมือนจะไม่มีรุ่นเปิดเข้าถึงออนไลน์ :-(
• cai2008holographic: J. Cai, P. Lu, M. Xia, การลดโฮโลแกรม, การแก้ไขและความแข็ง , 2008
• greenhill2000complexity: Catherine Greenhill, ความซับซ้อนของการนับสีและชุดอิสระในกราฟกระจัดกระจายและกราฟิค , 2000
• khanna2011 แบบสอบถาม: Sanjeev Khanna, Sudeepa Roy, Val Tannen, แบบสอบถามที่มีความแตกต่างในฐานข้อมูลที่น่าจะเป็น , 2011
• vadhan1997complexity: Salil P. Vadhan, ความซับซ้อนของการนับใน Sparse, Regular, และ Planar Graphs , 1997. ผลบางอย่างน่าจะปรากฎในวิทยานิพนธ์ แต่ฉันไม่ได้ตรวจสอบ
• xia2006regular: Mingji Xia, Wenbo Zhao, # 3-Normal Bipartite Planar Vertex Cover คือ # P-Complete , 2006 ดูเหมือนว่าจะไม่มีเวอร์ชันการเข้าถึงแบบออนไลน์ :-( โปรดทราบว่าผู้แต่งคนแรกเป็นผู้เขียน (1) ในคำตอบของ Tyson Williams

การปฏิเสธความรับผิดชอบ: ฉันดูเพียงผิวเผินที่เอกสารเหล่านี้และฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในสาขานี้ดังนั้นอาจมีข้อผิดพลาดในการสรุปของฉันด้านบน

ขอบคุณผู้ตัดสิน PODS'17 นิรนามที่ชี้ให้ฉันไปที่ khanna2011 คำถามซึ่งเป็นสิ่งที่กระตุ้นให้ฉันเขียนคำตอบนี้