ความซับซ้อนวงจรของฟังก์ชันส่วนใหญ่

ให้เป็นฟังก์ชันส่วนใหญ่เช่นถ้าหากว่า . ฉันสงสัยว่ามีการพิสูจน์ความจริงต่อไปนี้ (โดย "ง่าย" ฉันหมายถึงการไม่พึ่งพาวิธีความน่าจะเป็นเช่น Valiant 84 ได้หรือในเครือข่ายการเรียงลำดับ; โดยเฉพาะอย่างยิ่งการสร้างวงจรที่ชัดเจนและตรงไปตรง):f ( x ) = 1 ∑ n i = 1 x i > n /$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f(x) = 1$$\sum_{i = 1}^n x_i > n/2$

$f$สามารถคำนวณได้โดยตระกูลวงจรที่มีความลึก , ขนาดโพลี (n) โดยที่ประตูประกอบด้วยประตูไม่, 2-input หรือประตูและ 2-input และประตู$O(\log(n))$

คำตอบของ Kaveh ให้คำตอบทำคำถามตามที่คุณระบุไว้ (และนี่เป็นข้อพิสูจน์ตามปกติสำหรับแสดงว่ามีอยู่ใน ) แต่ฉันคิดว่าคุณอาจต้องการถามคำถามที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย สำหรับสูตรmonotoneขนาดโพลิโนเมียอย่างชัดเจนสำหรับคนส่วนใหญ่$\mathsf{TC}^0$$\mathsf{NC}^1$

เนื่องจากเสียงส่วนใหญ่เป็นเสียงเดียวเราจึงรู้ว่ามันสามารถคำนวณได้ด้วยสูตรเสียงเดียว มีการสร้างสูตรโมโนโพเน่ขนาดเดียวกับที่รู้จักกันในชื่อพหุนามคือสองสิ่งที่คุณพูดถึงการสร้างความน่าจะเป็นของ Valiant และการก่อสร้างผ่านเครือข่ายการเรียงลำดับ เท่าที่ฉันรู้ว่าเราไม่มีโครงสร้างการกำหนดที่ง่ายกว่าการจัดเรียงเครือข่าย

ที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้ก็มีดังต่อไปนี้ แต่กลับกลายเป็นส่วนใหญ่ที่สามารถคำนวณโดยสูตรที่ประกอบด้วยเพียง ประตู (และคงไม่!) การปรับความน่าจะเป็นของ Valiant สามารถปรับให้สูตรดังกล่าวมีความลึกอย่างไรก็ตามที่นี่เรารู้ว่าไม่มีการก่อสร้างที่แน่นอน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเครือข่ายการเรียงลำดับไม่เหมาะสำหรับเรื่องนี้ (เหตุผลทางเทคนิค: พวกเขาจะให้ฟังก์ชันขีด จำกัด ทั้งหมดและมีเพียงฟังก์ชันส่วนใหญ่เท่านั้นที่สามารถคำนวณได้โดยประตู) อย่างไรก็ตามมีความคืบหน้าเมื่อเร็ว ๆ นี้สำหรับคำถามนี้ที่ให้ไว้ในกระดาษMultiparty Protocols ที่มีประสิทธิภาพผ่านสูตรเกณฑ์ความลึกของการบันทึก$\mathsf{MAJ}_3$$O(\log(n))$$\mathsf{MAJ}_3$โดย Cohen et al. ที่นี่สูตรดังกล่าวมีการก่อสร้างตามสมมติฐานความซับซ้อนทางทฤษฎีหรือการเข้ารหัสลับมาตรฐาน

การคำนวณเกตเกต จำกัด ( ) เป็นหลักเรียงลำดับบิตอินพุต$\sum_i x_i \geq k$

หากคุณสามารถเรียงลำดับบิตได้ง่าย ๆ เปรียบเทียบผลลัพธ์กับและคำนวณขีด จำกัด ที่คำนวณได้$k$

ในอีกทางหนึ่งสมมติว่าเรามีวงจรในการคำนวณขีด จำกัด ที่ถูก จำกัด เราสามารถทำการค้นหาแบบขนานเพื่อค้นหาจำนวนของสิ่งที่อยู่ในอินพุทและเอาท์พุทรายการเรียงลำดับ

เหล่านี้รักษาความลึกของวงจร ดังนั้นถ้าคุณคิดหาวงจรมาคำนวณขีด จำกัด ที่ จำกัด มันจะให้วงจรการจัดเรียงเชิงลึกดังนั้นหากเรามีข้อโต้แย้งง่ายๆในการแสดงเสียงส่วนใหญ่อยู่ใน คุณจะพบวงจรการเรียงลำดับความลึกแบบง่าย (นอกเหนือจากที่ใช้เครือข่ายการเรียงลำดับ AKS)$\mathsf{NC^1}$$O(\lg n)$$\mathsf{NC^1}$$O(\lg n)$

โปรดทราบว่ามันเป็นเรื่องง่ายที่จะปรับใช้ threshold ที่ จำกัด โดยใช้เสียงส่วนใหญ่โดยการเพิ่มอินพุต 1 และ 0 ใหม่ให้กับ gate ส่วนใหญ่

ก่อนหน้านี้คำตอบนี้อ้างว่ามันสามารถทำได้โดยใช้แบ่งและพิชิตและความจริงที่ว่านอกจากไบนารีอยู่ใน0} นั่นแสดงให้เห็นว่าเสียงส่วนใหญ่อยู่ในและเนื่องจากเรามีประตูแบบ fan-in ที่ไม่มีข้อ จำกัด ในการเพิ่มไบนารีหากเราทำโดยตรง อย่างไรก็ตามมันสามารถทำได้ด้วยการทำงานอีกเล็กน้อย$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^1}$$\mathsf{NC^2}$

เราต้องใช้เคล็ดลับที่เรียกว่าสามสำหรับสองจะยังคงอยู่ในเชิงลึกn)$O(\lg n)$

สามสำหรับสองไบนารีนอกจาก:
รับสามเลขฐานสองเราสามารถคำนวณตัวเลขสองไบนารีเช่นที่ y ที่x , y a + b + c = x + $a,b,c$$x,y$$a+b+c = x+y$

อีกวิธีหนึ่งคือการใช้การแทนตัวเลขจำนวนเต็มซึ่งสามารถทำได้ในเชิงลึกและ fan-in 2 (แนวคิดคือการใช้ความยืดหยุ่นที่ตัวเลขสามารถแสดงได้มากกว่าหนึ่งวิธีเพื่อให้แน่ใจว่า อย่านำติดตัวไปด้วย)$O(1)$

ดูหัวข้อ 4 และแบบฝึกหัด 4 ใน

• David Mix Barrington และ Alexis Maciel " หลักสูตรขั้นสูงเกี่ยวกับความซับซ้อนในการคำนวณ ", บทที่ 6, IAS / PCMI, 2000

หลักฐาน (เนื่องจาก Miller และ Preparata, 1975) ว่าฟังก์ชันสมมาตรใด ๆ สามารถคำนวณได้โดยวงจรเหนือ {AND, OR, NOT} ในความลึกลอการิทึมเช่นในความซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีนโดย Ingo Wegener (Theorem 4.1, หน้า 76) วงจรที่เกี่ยวข้องมีขนาดเชิงเส้น และเนื่องจากความลึกเป็นลอการิทึมจึงสามารถเปลี่ยนเป็นสูตรขนาดพหุนาม หลักฐานเป็นระดับประถมศึกษาและให้การก่อสร้างที่ชัดเจน โดยพื้นฐานแล้วมันจะแสดงวิธีการคำนวณการแสดงเลขฐานสองของผลรวมของบิตอินพุตในระดับความลึกแบบลอการิทึม (การมีผลรวมนี้ตรงไปตรงมาเพื่อคำนวณส่วนใหญ่)$n$

หลักฐานทางเลือกที่จะได้รับจาก Brodal และ Husfeldt: การสื่อสารที่ซับซ้อนหลักฐานที่ฟังก์ชั่นสมมาตรมีความลึกลอการิทึม อีกครั้งหลักฐานเป็นระดับประถมศึกษาและให้การก่อสร้างที่ชัดเจน