ย่อชุดโซลูชันของอินสแตนซ์ SAT

คำถามนี้ได้เพิ่มขึ้นในใจของฉันหลังจากที่ได้อ่านผลงานของแอนดราสซาลามอนและโคลิน McQuillan ของคำถามของฉันก่อนหน้าการแก้ปัญหาการนับของสูตร Monotone-2CNF

แก้ไข 30 ^thมีนาคม 2011
เพิ่มคำถาม n ° 2

แก้ไข 29 ^thตุลาคม 2010
คำถาม rephrased หลังจากข้อเสนอของAndrásที่จะทำให้เป็นทางการผ่านความคิดของการเป็นตัวแทนที่ดีของชุดโซลูชั่น (ฉันได้ปรับความคิดของเขาเล็กน้อย)

ให้เป็นสูตร CNF ทั่วไปที่มีตัวแปรให้เป็นชุดของการแก้ปัญหา ชัดเจนอาจจะชี้แจงในnให้n S | S | n R S $F$$n$$S$$|S|$$n$$R$จะเป็นตัวแทนของSถูกกล่าวว่าดีถ้าหากข้อเท็จจริงต่อไปนี้เป็นจริงทั้งหมด:$S$$R$

1. $R$มีขนาดพหุนามในn$n$
2. $R$ช่วยให้การแจกแจงโซลูชั่นในมีความล่าช้าพหุนาม$S$
3. | S $R$อนุญาตให้กำหนดในเวลาพหุนาม (เช่นโดยไม่ต้องแจกแจงโซลูชั่นทั้งหมด) $|S|$

มันจะดีถ้าเป็นไปได้ในเวลาพหุนามเพื่อสร้างสำหรับสูตรทุกสูตร$R$

คำถาม:

1. มีใครเคยพิสูจน์ให้เห็นว่ามีสูตรของตระกูลที่ไม่มีตัวแทนที่ดีเช่นนี้หรือไม่?
2. ไม่มีใครศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างการเป็นตัวแทนของและสมมาตรที่จัดแสดงโดยหรือไม่? สังหรณ์ใจสมมาตรจะช่วยให้ดานแทนเพราะพวกเขาหลีกเลี่ยงการเป็นตัวแทนอย่างชัดเจนของการแก้ปัญหาเซตเมื่อจริงเดือดลงไปเพียงหนึ่งในการแก้ปัญหา (เช่นจากทุกคุณสามารถกู้คืนอื่น ๆ ทุกโดยใช้สมมาตรที่เหมาะสมดังนั้นทุกจึงเป็นตัวแทนของทั้งหมด)F S S ' ⊂ S S ' s ฉัน ∈ S ' s J ∈ S ' s ฉัน ∈ S ' S $S$$F$$S$$S' \subset S$$S'$$s_i \in S'$$s_j \in S'$$s_i \in S'$$S'$

ตามที่ระบุไว้ (แก้ไข 3) คำถามมีคำตอบง่ายๆ: ไม่

เหตุผลก็คือถึงแม้จะมีชั้นเรียนที่มีข้อ จำกัด สูงในการเป็นตัวแทนของวงจรบูลีนที่มี AND, OR และประตูไม่ไม่มีขอบเขตต่ำกว่าที่ไม่เป็นที่รู้จัก (เห็นได้ชัดว่าวงจรที่แสดงถึงจะเป็นตัวแทนของโดยปริยายและมันเป็นเรื่องง่ายที่จะระบุโซลูชั่นโดยการเปลี่ยนอินพุตไปยังวงจร)$F$$S$

สำหรับการนำเสนอที่ จำกัด ยิ่งขึ้นเช่นวงจรโมโนโทนหรือวงจรเชิงลึกคงที่จึงเป็นที่รู้จักขอบเขตล่างของเลขชี้กำลัง นอกจากนี้ยังมีขอบเขตล่างแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับการแสดงสูตรในรูปแบบ CNF หรือ DNF แม้ว่าสิ่งเหล่านี้สามารถมองเห็นเป็นกรณีพิเศษของวงจรความลึกคงที่ ในที่สุดการเป็นตัวแทน BDD สามารถมองเห็นเป็นรูปแบบกะทัดรัดของ DNF แต่มีสูตรที่ BDD ต้องการขนาดที่ชี้แจงสำหรับการสั่งซื้อตัวแปรใด ๆ

เพื่อให้คำถามของคุณแม่นยำยิ่งขึ้นโปรดพิจารณาคำตอบของ @Juaua ในรายละเอียดและโปรดอธิบายสิ่งที่คุณหมายถึงโดย "ไม่สำคัญที่จะแจกแจงทุกวิธีแก้ปัญหา"

สำหรับการแก้ไข 4 ให้สังเกตคำสั่งเกี่ยวกับขนาด BDD ส่วนหนึ่งของสิ่งที่คุณดูเหมือนจะถามคือ: มีการแสดงสูตร DNF ที่กะทัดรัดกว่า BDDs หรือไม่? ให้ "BDDมีขนาดพหุนามสูง" หมายถึง "ทุก BDD ที่เป็นตัวแทนของฟังก์ชั่นเดียวกับโดยไม่คำนึงถึงการเรียงลำดับตัวแปรมีขนาดพหุนามสูง" และให้ "ตัวแทนดี" หมายถึง "ตัวแทนที่ดี" หมายถึง คำถามที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นนี้จะกลายเป็น:$B$$B$

มีครอบครัวของสูตรและการแสดงที่ดีที่มีขนาดพหุนามในขณะที่ BDDs มีขนาด superpolynomial?

สิ่งนี้ดึงดูดสาระสำคัญของสิ่งที่คุณถามหรือไม่?

[คำตอบนี้ตอบสนองต่อเวอร์ชั่นก่อนแก้ไข 6 ของ 29 ตุลาคม 2010]

ฉันคิดว่าคำถามนี้มีมากกว่าหรือน้อยกว่า แต่ตอนนี้ยังมีปัญหาทางเทคนิคอยู่ กล่าวคือทำอย่างไรจึงจะทำให้เป็นทางการ "มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแจกแจงทุกวิธีแก้ปัญหาเพียงแค่มองโครงสร้างดังกล่าว" formalization อาจจะไร้เดียงสา ( แต่เพียงคนเดียวที่ฉันสามารถขึ้นมาในขณะนี้) เป็นดังนี้: ให้หมายถึงการเป็นตัวแทนของการแก้ปัญหาชุดS ( φ )ของφ ตอนนี้ฉันไม่มีข้อ จำกัด ในRนอกเหนือจาก| R ( φ ) | ≤ p o l y ( n )โดยที่$R(\varphi)$$S(\varphi)$$\varphi$$R$$|R(\varphi)| \leq poly(n)$$\varphi$คือ CNF บนตัวแปรจากนั้นเราก็ต้องการที่จะมีขั้นตอนวิธีการดังกล่าวว่า( R ( φ ) ) = S ( φ )และกับการป้อนข้อมูลR ( φ ) )วิ่งในเวลาP o L Y ( n , | S | )$n$$A$$A(R(\varphi)) = S(\varphi)$$A$$R(\varphi))$$poly(n, |S|)$

ภายใต้การทำให้เป็นระเบียบนี้มีเพียงกรณีที่ยากเท่านั้นที่เป็นกรณีที่เป็นพหุนามแบบซุปเปอร์ แต่เป็นเลขชี้กำลังย่อย กรณีที่เหลือจะถูกจัดการโดยการแสดงต่อไปนี้Rและอัลกอริทึม: ถ้า| S | ≤ P o L Y ( n )แล้วให้R ( φ ) = ( 0 , S ) ถ้า| S | ≥ 2 Ω ( n )จากนั้นให้R ( φ ) = $S$$R$$A$$|S| \leq poly(n)$$R(\varphi) = (0, S)$$|S| \geq 2^{\Omega(n)}$ ) ( 0 , S )เพียงแค่เอาท์พุท Sและ ( 1 , φ )เพียงคำนวณ Sโดยกำลังดุร้ายจากφ ตั้งแต่ | S | = 2 Ω ( n )ในกรณีหลังนี้ยังคงทำงานในเวลา O ( | S | )$R(\varphi) = (1, \varphi)$$A(0, S)$$S$$A(1, \varphi)$$S$$\varphi$$|S| = 2^{\Omega(n)}$$O(|S|)$

อย่างไรก็ตามกรณีที่ยากลำบากโดยทั่วไปเป็นไปไม่ได้ภายใต้ระเบียบนี้ ถ้าเช่นและAมีอยู่ก็หมายความว่าความซับซ้อนของ Kolmogorov p -time ถูก จำกัด ขอบเขตของทุกSถูกล้อมรอบด้วยp o l y ( n )ซึ่งเป็นเรื่องไร้สาระ (เนื่องจากชุดเกือบทั้งหมดมีS - pสูงสุดความซับซ้อนของ Kolmogorov ได้แก่| S | ) (ที่นี่หน้าเป็นเวลาทำงานของเป็นหน้าที่ของ| S | .)$R$$A$$p$$S$$poly(n)$$S$$p$$|S|$$p$$A$$|S|$

(โปรดทราบว่าหากเราต้องการให้รันในเวลาp o l y ( n , | φ | )ดังนั้นคำตอบของคำถามคือไม่ทั่วไป, สมมติว่าP ≠ P r o m i s E U P : ถ้าφมีวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกันแล้ว( R ( φ ) )จะแก้φและทำงานในเวลาP o L Y ( n )$R$$poly(n, |\varphi|)$$P \neq PromiseUP$$\varphi$$A(R(\varphi))$$\varphi$$poly(n)$