มีงานวิจัยเกี่ยวกับ

25

ลักษณะที่รู้จักกันดีของกรณี -SAT คืออัตราส่วนของจำนวนข้อที่มากกว่าจำนวนของตัวแปรคือหาร n สำหรับทุก ๆจะมีค่าเกณฑ์ st \ forอินสแตนซ์ส่วนใหญ่น่าพอใจและสำหรับอินสแตนซ์ส่วนใหญ่ไม่น่าพอใจ มีการทำวิจัยจำนวนมากสำหรับปัญหาที่และสำหรับปัญหาที่มีขนาดเล็กพอ , $k$ $m$ $n$ $\rho = m/n$ $k$ $\alpha$ $\rho \ll \alpha$ $\rho \gg \alpha$ $\rho \ll \alpha$ $\rho$ $k$ -SAT สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม ดูตัวอย่างจากบทความสำรวจของ Dimitris Achlioptas จากหนังสือคู่มือความพึงพอใจ ( PDF )

ฉันสงสัยว่างานใดที่ทำไปในทิศทางอื่น (โดยที่ ) เช่นถ้าเราสามารถแปลงปัญหาจาก CNF เป็น DNF ในกรณีนี้เพื่อแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็ว $\rho \gg \alpha$

โดยพื้นฐานแล้วสิ่งที่เป็นที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับ SAT โดยที่ ? $\rho = m/n \gg \alpha$

— Matt Groff
แหล่งที่มา

10

มันน่าสังเกตว่า

เป็นหน้าที่ของk

α

$\alpha$

k

$k$

— Huck Bennett

อาจมีการเปลี่ยนแปลงบางอย่างที่แสดงให้เห็นถึงความสมมาตรระหว่างทั้งสองภูมิภาคของทั้งสองด้านของจุดเปลี่ยน ดูเหมือนจะเป็นไปได้ อยู่แล้วคำถามคือค่อนข้างกว้างในแง่ที่มีการทดลองมาก / การศึกษาทางทฤษฎีของจุดเปลี่ยนแปลงที่ไม่ได้มุ่งเน้นมากในหนึ่ง "ด้าน" หรืออื่น ๆ ...

— vzn

26

ใช่แล้ว Moshe Vardi ได้ให้สัมภาษณ์เมื่อเร็ว ๆ นี้ที่BIRS Theatetical Foundations of Applied SAT Solving workshop :

Moshe Vardi การเปลี่ยนเฟสและความซับซ้อนในการคำนวณ 2014

(Moshe แสดงกราฟของการทดสอบของพวกเขาสักเล็กน้อยหลังจากเวลา 14:30 น. ในคำพูดของเขาที่ลิงก์ด้านบน)

ลองแทนอัตราส่วนอนุประโยค เมื่อค่าของเพิ่มขึ้นเกินกว่าระดับมาตรฐานปัญหาจะกลายเป็นเรื่องง่ายขึ้นสำหรับนักแก้ปัญหา SAT ที่มีอยู่ แต่ไม่ง่ายอย่างที่เคยเป็นมาก่อนถึงขีด จำกัด มีความยากลำบากเพิ่มขึ้นอย่างมากในขณะที่เราเข้าใกล้เกณฑ์จากด้านล่าง หลังจากจุดเริ่มต้นปัญหาจะกลายเป็นง่ายขึ้นเมื่อเทียบกับเกณฑ์ แต่การลดลงของความยากลำบากจะสูงชันน้อยกว่ามาก $\rho$ $\rho$

ให้หมายถึงความยากลำบากในการ WRT ปัญหากับ (ในการทดลองของพวกเขาเป็นค่ามัธยฐานวิ่งเวลาของการเข้าใจในกรณี 3SAT สุ่มที่มีอัตราส่วนข้อ ) Moshe แนะนำว่าเปลี่ยนแปลงดังนี้: $T_\rho(n)$ $n$ $T_\rho(n)$ $\rho$ $T_\rho(n)$

เกณฑ์:เป็นพหุนามใน , $\rho \ll$ $T_\rho(n)$ $n$
อยู่ใกล้เกณฑ์:คือชี้แจงใน , $\rho$ $T_\rho(n)$ $n$
เกณฑ์:ยังคงชี้แจงในแต่เลขชี้กำลังลดลงเมื่อเพิ่มขึ้น $\rho \gg$ $T_\rho(n)$ $n$ $\rho$

— Kaveh
แหล่งที่มา

1

ควรสังเกตว่าผลลัพธ์ข้างต้นเป็นผลการทดลอง (จากประมาณ 2000) โดยใช้ SAT-solver เฉพาะ (GRASP) แต่ในทางทฤษฎีก็เป็นที่รู้จักกันว่ามีขนาดใหญ่พอที่

(พูด,

) ความละเอียดยังมี refutations เล็ก ๆ ของ unsatisfiability และอย่างที่ Jan Johannsem เขียนไว้ก่อนการ refuting 3-SAT นั้นง่าย (โดยเฉลี่ยแล้ว) เมื่อ

ρ

$\rho$

Ω (n)

$\Omega(n)$

)

ρ = Ω (\sqrt{n})

$\rho=\Omega(\sqrt{n})$

— Iddo Tzameret

19

มีงานวิจัยอย่างน้อยสองบรรทัดเกี่ยวกับการสุ่มสำหรับสูตรที่มีอัตราส่วน / อัตราส่วนของตัวแปรที่ใหญ่กว่าเกณฑ์ความพึงพอใจ: $k\text-\mathsf{SAT}$

สำหรับสูตรดังกล่าวลดขอบเขตระยะเวลาของการ refutations ในความละเอียดและแข็งแรงระบบพิสูจน์ประพจน์ได้รับการแสดงเริ่มต้นด้วยกระดาษ " ตัวอย่างที่ยากมากสำหรับความละเอียด " โดย Chvatal และSzemerédi ขอบเขตความละเอียดที่ต่ำกว่านี้หมายถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าในการรันไทม์ของ SAT-solvers ของ DPLL- และ CDCL ที่แข็งแกร่งขอบเขตล่างมีการพหุนามแคลคูลัสเนื่องจากเบน Sasson และ Impagliazzo
สำหรับสูตรดังกล่าวมีอัลกอริธึมที่กำหนดค่าได้อย่างมีประสิทธิภาพสำหรับการรับรองความไม่พึงพอใจเช่นอัลกอริธึมที่เอาท์พุท "UNSAT" หรือ "ไม่ทราบ" ซึ่งคำตอบ "UNSAT" จำเป็นต้องถูกต้อง สูตรที่ไม่น่าพอใจและมีโอกาสสูง ผลที่แข็งแกร่งที่สุดในทิศทางที่เกิดจากFeige และ Ofek

— Jan Johannsen
แหล่งที่มา

มันอาจจะเป็นที่น่าสังเกตว่าChvátal / Szemerédiแสดงให้เห็นว่าการสุ่มสูตร

SAT ด้วย

ไม่น่าพอใจ Feige และ Ofek ให้สเปกตรัมอัลกอริทึมเมื่อ

2

ดังนั้นยังคงมี

k

$k$

m / n \geq c_{1}

$m/n \ge c_1$

m / n \geq c_{2} n^{1 / 2}

$m/n \ge c_2n^{1/2}$

ช่องว่างระหว่าง

และ

ที่เกือบทุกสูตร unsatisfiable แต่เราไม่ทราบวิธีการที่จะตัดสินใจว่าเป็นเช่นนี้

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

c_{1} n

$c_1n$

c_{2} n^{3 / 2}

$c_2n^{3/2}$

— András Salamon

2

นี่คือการศึกษา / มุมที่เก่ากว่า แต่มีความเกี่ยวข้องโดยผู้เชี่ยวชาญชั้นนำ

คมมีดแบบมีข้อ จำกัดวอลช์ 1998

เขาแสดงพารามิเตอร์ประมาณจำนวนโซลูชันและการวัด "ข้อ จำกัด " และสหสัมพันธ์ / แนวโน้มคร่าว ๆ กับอัตราส่วนอนุประโยคต่อตัวแปร ดู p3 รูปที่ 4 โดยเฉพาะ $\kappa$

ในรูปที่ 4 เราวางแผนข้อ จำกัด โดยประมาณลงที่ฮิวริสติกสำหรับปัญหาสุ่ม 3-SAT สำหรับ L / N <4.3 ปัญหาภายใต้ข้อ จำกัด และละลายได้ เมื่อการค้นหาดำเนินไปเรื่อย ๆลดลงเมื่อมีปัญหามากขึ้นภายใต้ข้อ จำกัด และละลายได้อย่างชัดเจน สำหรับ L / N> 4.3 ปัญหามีมากเกินไปและไม่สามารถแก้ไขได้ เมื่อการค้นหาดำเนินไปเรื่อย ๆเพิ่มขึ้นเมื่อมีปัญหามากเกินความจำเป็นและไม่สามารถแก้ไขได้อย่างชัดเจน $\kappa$ $\kappa$

คำถามที่ถามเกี่ยวกับ αแต่สิ่งนี้เป็นที่รู้จักกันดีจากการวิเคราะห์เชิงประจักษ์ที่จะทำให้เกิดข้อ จำกัด อย่างมากดังนั้นโดยทั่วไปแล้วการเข้าใกล้ P-time อินสแตนซ์ (ผู้แก้ปัญหา "เร็ว" ค้นพบว่าพวกมันแก้ตัวไม่ได้) และดังนั้นจึงไม่น่าสนใจตามหลักเหตุผล - พฤติกรรมการแก้ปัญหาโดยเฉลี่ย) แม้กระนั้นไม่ได้เห็นเอกสาร / การเปลี่ยนแปลง / ทฤษฎีส่วนตัวที่พิสูจน์เรื่องนี้ในเชิงทฤษฎี / อย่างจริงจัง (นอกเหนือจากบทความนี้เป็นการเริ่มต้นในเรื่องนั้น) $m/n \gg\alpha$

— vzn
แหล่งที่มา

ในทางตรงกันข้ามคงเป็นไปได้ที่จะสร้าง "ยาก" อินสแตนซ์ของ m / n "อินสแตนซ์" มันก็มีความเป็นไปได้น้อยกว่าสถิตินอก "P-NP-P" ช่วงเปลี่ยนผ่าน

— vzn