การระบุขอบไร้ประโยชน์สำหรับเส้นทางที่สั้นที่สุด

พิจารณากราฟ (ปัญหาเหมาะสมสำหรับทั้งกราฟกำกับและไม่ระบุทิศทาง) โทรหาเมทริกซ์ของระยะทางของ :เป็นระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดยอดถึงจุดยอดในสำหรับฟังก์ชันการรวมคงที่ (เช่นหรือ ) $G$ $M_G$ $G$ $M_G[i, j]$ $i$ $j$ $G$ $+$ $\max$

ผมบอกว่า subgraph $G'$ ของ $G$ (กับชุดยอดเดียวกัน) เป็นSP-เทียบเท่าเพื่อ $G$ ถ้า $M_G = M_{G'}$ {G'} กล่าวอีกนัยหนึ่งการเอาขอบเพื่อไปจาก $G$ ถึง $G'$ จะไม่เปลี่ยนความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุด ขอบที่ถูกลบนั้นไม่จำเป็นสำหรับเส้นทางที่สั้นที่สุด

โดยทั่วไปจะไม่มีกราฟย่อยที่เทียบเท่า sp ของเพียงตัวเดียว $G$ ซึ่งน้อยที่สุดสำหรับการรวม ตัวอย่างเช่นถ้า $G$ ไม่ได้ถูกบอกทิศทางและขอบทั้งหมดมีน้ำหนัก $0$ , ต้นไม้ใด ๆ ที่ขยายตัวของ $G$ เป็น subgraph ที่เทียบเท่า sp น้อยที่สุด (จริง ๆ แล้ว, ขอบใด ๆ ในวัฏจักรสามารถถูกลบออกได้ อย่างไรก็ตามฉันยังสามารถเรียกใช้ขอบของ $G$ ไร้ประโยชน์หากพวกเขาอยู่ใน subgraph ที่ไม่เทียบเท่า sp น้อยที่สุด, จำเป็นถ้าพวกเขาอยู่ใน subgraphs ที่เทียบเท่า sp น้อยที่สุด (เช่น, ในทางแยก) และเป็นทางเลือกถ้าพวกมันอยู่ในบางส่วนของพวกเขา (เช่น ในสหภาพของพวกเขา)

คำถามแรกของฉันคือ: ความคิดเหล่านี้มีชื่อมาตรฐานหรือไม่?

คำถามที่สองของฉัน: อะไรคือความซับซ้อนของการจำแนกขอบของ $G$ ในแบบนี้ขึ้นอยู่กับว่า $G$ ไม่ได้บอกทิศทางหรือกำกับและในฟังก์ชันการรวม?

(ตัวอย่างเช่นสำหรับ $G$ ไม่ได้บอกทิศทางและสำหรับ $\max$ กราฟย่อยที่มีค่าเทียบเท่า sp น้อยที่สุดนั้นจะครอบคลุมต้นไม้ที่มีน้ำหนักต่ำสุดดังนั้นอย่างน้อยถ้าน้ำหนักขอบทั้งหมดแตกต่างกันการจัดหมวดหมู่นั้นคำนวณได้ง่าย ฉันไม่ทราบว่าสิ่งต่าง ๆ ทำงานอย่างไร)

— a3nm
แหล่งที่มา

"ตัวอย่างเช่นหาก G ไม่ได้ถูกบอกทิศทางและไม่ได้ถ่วงโครงสร้างการขยายใด ๆ ของ G จะเป็นกราฟย่อยที่มีค่าเทียบเท่า sp น้อยที่สุด" สิ่งนี้ดูเหมือนจะไม่เป็นจริง: ในระยะทางทั้งหมดเป็นแต่ไม่มีต้นไม้ที่ทอดของมีคุณสมบัตินี้ ในความเป็นจริงไม่มีกราฟิคย่อย ยิ่งกว่านี้เสียงเหมือนประแจen.wikipedia.org/wiki/Graph_spanner# ระยะทาง

K_{n}

$K_n$

1

$1$

K_{n}

$K_n$

— Sasho Nikolov

อันที่จริงแล้วสำหรับกราฟที่ไม่มีการถ่วงน้ำหนักไม่มีทิศทางใด ๆ จะไม่มีกราฟย่อยเทียบเท่า sp: หากกราฟย่อยไม่รวมขอบดังนั้นวี]

G

$G$

G^{'}

$G'$

(u, v)

$(u, v)$

1 = M_{G} [u, v] < M_{G^{'}} [u, v]

$1 = M_G[u, v] < M_{G'}[u, v]$

— Sasho Nikolov

ฉันคิดว่าอย่างน้อยเราก็สามารถบอกได้ว่าการระบุตัวตนเป็นเรื่องง่ายเหมือนทุกคู่เส้นทางที่สั้นที่สุด: หากมีขอบแต่เส้นทางที่สั้นที่สุดจากถึงนั้นสั้นกว่าขอบนั้นขอบนั้นจะไร้ประโยชน์ (เราควรใช้เส้นทางที่สั้นกว่านั้นแทนขอบนี้ในทุกสถานการณ์); ตรงกันข้ามถ้าขอบคือ "ไร้ประโยชน์" จากนั้นจะต้องมีเส้นทางที่สั้นลงกว่าความยาวขอบจากจะวีดังนั้นแค่วนซ้ำขอบและตรวจสอบว่ามีเส้นทางที่สั้นกว่าขอบนั้นหรือไม่ (ข้างต้นเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดตามปกติไม่ได้คิดเกี่ยวกับกฎการรวม )

(u, v)

$(u,v)$

u

$u$

v

$v$

u

$u$

v

$v$

max

$\max$

— usul

คุณอาจต้องการที่จะมองขึ้น "Preservers ระยะทาง"

— Arnab

Sasho Nikolov: ขออภัยสำหรับกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางและไม่มีน้ำหนักฉันหมายถึงขอบของน้ำหนัก 0 ไม่ใช่ 1 ลบล้างสิ่งนี้ในคำถาม

— a3nm

หากคุณกำลังมองหาวิธีที่จะตั้งชื่อ (หรือเปลี่ยนลักษณะ) ขอบเหล่านี้ที่คุณเรียกว่า "ไร้ประโยชน์" และ "จำเป็น" คุณสามารถอ้างถึงพวกเขาว่าเป็นขอบที่มีความเป็นศูนย์กลาง = 0 และ = 1 ตามลำดับ ขอบทุกประเภทสามารถจำแนกได้ว่ามี = 0, = 1 หรือในระหว่างการวัดความเป็นอันหนึ่งอันใด (0,1) ในช่วงเวลาของเส้นทางแบบคู่ทั้งหมดที่สั้นที่สุด

นี่เป็นมาตรวัดขอบเครือข่ายที่ได้รับการศึกษาเป็นอย่างดีและมีอัลกอริธึมที่รวดเร็วสำหรับการอัปเดตคะแนนศูนย์กลางทั้งหมดของขอบจากการลบขอบ (แต่ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับการรบกวนอื่น ๆ )

ฟังก์ชั่นศูนย์กลางมีอยู่ในตัวเพื่อการวิเคราะห์เครือข่ายส่วนใหญ่ที่ฉันได้เห็นและมีคำจำกัดความที่ใช้กับกราฟกำกับเช่นกัน:

(แก้ไข: ลิงก์ที่ฉันให้ไว้ตอนแรกเท่านั้นที่พูดถึงโหนดระหว่างnessness centrality แต่นี่เป็นบทความวิกิพีเดียเดียวที่ฉันสามารถค้นหาได้ที่กล่าวถึง edge-betweenness centrality: http://en.wikipedia.org/wiki/Girvan%E2%80%93Newman_algorithm ยังคงขอบระหว่างความเป็นตัวชี้วัดมาตรฐานที่มักจะพบได้ในแพคเกจการวิเคราะห์เครือข่าย)

— JimN
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าความแตกต่างระหว่างโหนดระหว่างnessness centrality และ edge betweenness centrality นั้นเป็นสิ่งที่ไม่จำเป็นเพราะคุณสามารถเพิ่มโหนดกลางไปยังขอบหรือคัดลอกโหนดและเพิ่มขอบหนึ่งจากหนึ่งสำเนาไปยังอีกเพื่อลดคำจำกัดความหนึ่งไปยังอีก นี่คือตัวชี้ที่มีประโยชน์ขอบคุณที่ทำให้ฉันตระหนักถึงสิ่งนี้!

— a3nm