การสลายตัวของกราฟสำหรับการรวมฟังก์ชั่น "ท้องถิ่น" ของการติดฉลากจุดสุดยอด

\sum_{x} \prod_{i j \in E} f (x_{i}, x_{j})

$\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

max_{x} \prod_{i j \in E} f (x_{i}, x_{j})

$\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

เมื่อมีการใช้ค่าสูงสุดหรือผลรวมเหนือการติดฉลากทั้งหมดของผลิตภัณฑ์จะถูกยึดเหนือขอบทั้งหมดสำหรับกราฟและเป็นฟังก์ชันโดยพลการ ปริมาณนี้หาได้ง่ายสำหรับกราฟความกว้างของต้นไม้ที่ถูกล้อมรอบและโดยทั่วไป NP-hard สำหรับกราฟระนาบ จำนวนสีที่เหมาะสมชุดอิสระสูงสุดและจำนวนกราฟย่อย Eulerian เป็นกรณีพิเศษของปัญหาข้างต้น ฉันสนใจแผนการประมาณเวลาพหุนามสำหรับปัญหาประเภทนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับกราฟระนาบ กราฟย่อยสลายแบบใดที่มีประโยชน์ $V$ $E$ $G=\{V,E\}$ $f$

แก้ไข 11/1 : เป็นตัวอย่างฉันสงสัยเกี่ยวกับการย่อยสลายที่อาจคล้ายกับการขยายกลุ่มของฟิสิกส์เชิงสถิติ (เช่นการขยายเมเยอร์) เมื่อ $f$ แสดงถึงการตอบโต้ที่อ่อนแอการขยายการบรรจบกันซึ่งหมายความว่าคุณสามารถบรรลุความแม่นยำที่กำหนดด้วยเงื่อนไขการขยายตัว $k$ โดยไม่คำนึงถึงขนาดของกราฟ สิ่งนี้จะไม่แสดงถึงการมีอยู่ของ PTAS สำหรับปริมาณหรือไม่?

อัปเดต 02/11/2011

การขยายตัวที่อุณหภูมิสูงเขียนฟังก์ชันพาร์ติชัน $Z$ เป็นผลรวมของคำที่เงื่อนไขการสั่งซื้อที่สูงขึ้นนั้นขึ้นอยู่กับการโต้ตอบคำสั่งที่สูงขึ้น เมื่อ "correlations ผุ" คำสั่งซื้อที่สูงจะสลายตัวเร็วพอที่มวลของเกือบทั้งหมด $Z$ จะถูกบรรจุในจำนวน จำกัด ของคำที่มีลำดับต่ำ

สำหรับอินสแตนซ์สำหรับ Ising model ให้พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้ของฟังก์ชันพาร์ติชัน

Z = \sum_{x \in X} \exp J \sum_{i j \in E} x_{i} x_{j} = c \sum_{A \in C} (\tanh J)^{| A |}

$Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i x_j = c \sum_{A\in C} (\tanh J)^{|A|}$

นี่คงที่เรียบง่าย,คือชุดของ subgraphs Eulerian ของกราฟของเราคือจำนวนของขอบใน subgraph $c$ $C$ $|A|$ $A$

เราได้เขียนฟังก์ชันพาร์ติชันเป็นผลรวมเหนือกราฟย่อยซึ่งแต่ละคำในผลรวมนั้นถูกลงโทษแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลโดยขนาดของกราฟย่อย ตอนนี้กลุ่มที่มีข้อตกลงร่วมกันสัญลักษณ์เดียวกันและประมาณโดยการใช้ครั้งแรกเงื่อนไข เมื่อจำนวนของ subgraphs Eulerian ขนาดไม่เติบโตเร็วเกินไปข้อผิดพลาดของการประมาณของเราสูญสลายชี้แจงกับk $Z$ $k$ $p$ $k$

โดยทั่วไปการนับนั้นทำได้ยากโดยทั่วไป แต่ง่ายสำหรับอินสแตนซ์ "การสลายตัวของความสัมพันธ์" ยกตัวอย่างเช่นในกรณีของ Ising แบบที่มีการสลายตัวของความสัมพันธ์เมื่อเติบโตช้ากว่าที่คือจำนวนของ subgraphs Eulerian ขนาดkฉันเชื่อในกรณีดังกล่าวการตัดทอนการขยายตัวที่อุณหภูมิสูงให้ PTAS สำหรับ $f(k)$ $(\tanh J)^k$ $f(k)$ $k$ $Z$

อีกตัวอย่างหนึ่งคือการนับชุดอิสระถ่วงน้ำหนัก - มันสามารถนำไปใช้กับกราฟใดก็ได้หากน้ำหนักต่ำพอเพราะคุณสามารถทำให้ปัญหามีความสัมพันธ์แบบผุพัง ปริมาณจะถูกประมาณด้วยการนับชุดอิสระในขอบเขตขนาดขอบเขต ฉันเชื่อว่าผลลัพธ์ของ STOR'06 ของ Dror Weitz บ่งบอกว่าการนับชุดอิสระที่ไม่ถ่วงน้ำหนักนั้นเป็นไปได้สำหรับกราฟใด ๆ ที่มีระดับสูงสุด 4

ฉันพบครอบครัวย่อยสลายสองแห่งคือ "กลุ่มกราฟ Bethe และกราฟภูมิภาค Kikuchi การย่อยสลายเบ ธ เป็นหลักบอกให้คุณนับจำนวนในภูมิภาคและหารด้วยจำนวนในพื้นที่ทับซ้อน วิธีการปรับปรุงกราฟภูมิภาคของ Kikuchi เกี่ยวกับเรื่องนี้โดยคำนึงถึงว่าการทับซ้อนของพื้นที่สามารถทับซ้อนกันได้โดยใช้การแก้ไขแบบ "รวม - การแยก"

แนวทางอื่นคือการแยกปัญหาออกเป็นส่วนที่สามารถโลกได้เช่น "การอนุมานเชิงซ้อนเหนือ Combinatorial Spaces" อย่างไรก็ตามการย่อยสลายในท้องถิ่นช่วยให้คุณสามารถควบคุมคุณภาพการประมาณโดยการเลือกขนาดพื้นที่

— Yaroslav Bulatov
แหล่งที่มา

สิ่งที่ฉันต้องการจะพูดยาวเกินไปสำหรับ (แต่ควรเป็น) ความคิดเห็น

ถ้าฉันอ่านคำถามอย่างถูกต้องคุณต้องการ FPRAS (แบบแผนพหุนามแบบสุ่มสมบูรณ์) สำหรับปริมาณที่กล่าวมาข้างต้นซึ่งแต่ละข้อนั้นมีปัญหา # P-complete หลายกรณีเป็นกรณีพิเศษ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณต้องการ FPRAS ทั่วไปในกรณีของกราฟระนาบโดยใช้การขยายคลัสเตอร์

ฉันสงสัยว่าสิ่งนี้เป็นไปได้เนื่องจากความจริงที่ว่าปัญหาความสมบูรณ์ของปัญหาการดำรงอยู่ (เช่นสีที่เหมาะสม) แสดงว่าปัญหาการนับที่สอดคล้องกัน (เช่นจำนวนสีที่เหมาะสม) เสร็จสมบูรณ์ใน #P ด้วยความเคารพต่อ AP-reducibility การรักษา) ดู Dyer, Goldberg, Greenhill และ Jerrum, Algorithmica (2004) 38: 471-500

แต่บางทีฉันอาจจะผิดคำถาม

(ที่จริงแล้วคุณจะสามารถอธิบายความหมายของการขยายตัวที่อุณหภูมิสูงได้หรือไม่)

— RJK
แหล่งที่มา

ฉันได้ตอบคำถามของฉันแล้ว

— Yaroslav Bulatov

@Yaroslav: ขอบคุณสำหรับการชี้แจงที่กว้างขวาง! BTW โดย "region" คุณหมายถึง "vertex subset" หรือไม่ (นี่คือสิ่งที่ฉันเห็นเมื่อฉันดู Heske, JAIR 26 (2006), 153-190) ดังนั้นในความเป็นจริงดูเหมือนว่าคุณจะมองหา FPRAS เฉพาะ (นั่นคือมีตัวเลือกเฉพาะของ f) สำหรับชั้นเรียนเฉพาะ (เช่นระดับที่ ส่วนใหญ่ 4) ของกราฟระนาบโดยใช้สิ่งที่คุณอ้างถึงว่า "การสลายตัวของกราฟ" (ซึ่งเป็นคำที่มากเกินไปที่จะยุติธรรม) ถูกต้องหรือไม่

— RJK

ใช่ภูมิภาคนั้นเป็นเซตย่อยของจุดยอดและฉันสนใจ PTAS สำหรับคลาส "กราฟที่เข้าใจง่าย" BTW นี่เป็นตัวอย่างการทำงานออกจากการสลายตัวของกลุ่มที่จะนับอิสระชุดซึ่งผมคิดว่าจะกลายเป็น PTAS สำหรับกรณีที่มีการสลายตัวของความสัมพันธ์ - yaroslavvb.blogspot.com/2011/02/...

— ยาโรสลาฟ Bulatov