เมื่อมีการใช้ค่าสูงสุดหรือผลรวมเหนือการติดฉลากทั้งหมดของผลิตภัณฑ์จะถูกยึดเหนือขอบทั้งหมดสำหรับกราฟและเป็นฟังก์ชันโดยพลการ ปริมาณนี้หาได้ง่ายสำหรับกราฟความกว้างของต้นไม้ที่ถูกล้อมรอบและโดยทั่วไป NP-hard สำหรับกราฟระนาบ จำนวนสีที่เหมาะสมชุดอิสระสูงสุดและจำนวนกราฟย่อย Eulerian เป็นกรณีพิเศษของปัญหาข้างต้น ฉันสนใจแผนการประมาณเวลาพหุนามสำหรับปัญหาประเภทนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับกราฟระนาบ กราฟย่อยสลายแบบใดที่มีประโยชน์
แก้ไข 11/1 : เป็นตัวอย่างฉันสงสัยเกี่ยวกับการย่อยสลายที่อาจคล้ายกับการขยายกลุ่มของฟิสิกส์เชิงสถิติ (เช่นการขยายเมเยอร์) เมื่อแสดงถึงการตอบโต้ที่อ่อนแอการขยายการบรรจบกันซึ่งหมายความว่าคุณสามารถบรรลุความแม่นยำที่กำหนดด้วยเงื่อนไขการขยายตัวโดยไม่คำนึงถึงขนาดของกราฟ สิ่งนี้จะไม่แสดงถึงการมีอยู่ของ PTAS สำหรับปริมาณหรือไม่?
อัปเดต 02/11/2011
การขยายตัวที่อุณหภูมิสูงเขียนฟังก์ชันพาร์ติชันเป็นผลรวมของคำที่เงื่อนไขการสั่งซื้อที่สูงขึ้นนั้นขึ้นอยู่กับการโต้ตอบคำสั่งที่สูงขึ้น เมื่อ "correlations ผุ" คำสั่งซื้อที่สูงจะสลายตัวเร็วพอที่มวลของZเกือบทั้งหมดจะถูกบรรจุในจำนวน จำกัด ของคำที่มีลำดับต่ำ
สำหรับอินสแตนซ์สำหรับ Ising model ให้พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้ของฟังก์ชันพาร์ติชัน
นี่คงที่เรียบง่าย,คือชุดของ subgraphs Eulerian ของกราฟของเราคือจำนวนของขอบใน subgraph
เราได้เขียนฟังก์ชันพาร์ติชันเป็นผลรวมเหนือกราฟย่อยซึ่งแต่ละคำในผลรวมนั้นถูกลงโทษแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลโดยขนาดของกราฟย่อย ตอนนี้กลุ่มที่มีข้อตกลงร่วมกันสัญลักษณ์เดียวกันและประมาณโดยการใช้ครั้งแรกเงื่อนไข เมื่อจำนวนของ subgraphs Eulerian ขนาดไม่เติบโตเร็วเกินไปข้อผิดพลาดของการประมาณของเราสูญสลายชี้แจงกับk
โดยทั่วไปการนับนั้นทำได้ยากโดยทั่วไป แต่ง่ายสำหรับอินสแตนซ์ "การสลายตัวของความสัมพันธ์" ยกตัวอย่างเช่นในกรณีของ Ising แบบที่มีการสลายตัวของความสัมพันธ์เมื่อเติบโตช้ากว่าที่คือจำนวนของ subgraphs Eulerian ขนาดkฉันเชื่อในกรณีดังกล่าวการตัดทอนการขยายตัวที่อุณหภูมิสูงให้ PTAS สำหรับ
อีกตัวอย่างหนึ่งคือการนับชุดอิสระถ่วงน้ำหนัก - มันสามารถนำไปใช้กับกราฟใดก็ได้หากน้ำหนักต่ำพอเพราะคุณสามารถทำให้ปัญหามีความสัมพันธ์แบบผุพัง ปริมาณจะถูกประมาณด้วยการนับชุดอิสระในขอบเขตขนาดขอบเขต ฉันเชื่อว่าผลลัพธ์ของ STOR'06 ของ Dror Weitz บ่งบอกว่าการนับชุดอิสระที่ไม่ถ่วงน้ำหนักนั้นเป็นไปได้สำหรับกราฟใด ๆ ที่มีระดับสูงสุด 4
ฉันพบครอบครัวย่อยสลายสองแห่งคือ "กลุ่มกราฟ Bethe และกราฟภูมิภาค Kikuchi การย่อยสลายเบ ธ เป็นหลักบอกให้คุณนับจำนวนในภูมิภาคและหารด้วยจำนวนในพื้นที่ทับซ้อน วิธีการปรับปรุงกราฟภูมิภาคของ Kikuchi เกี่ยวกับเรื่องนี้โดยคำนึงถึงว่าการทับซ้อนของพื้นที่สามารถทับซ้อนกันได้โดยใช้การแก้ไขแบบ "รวม - การแยก"
แนวทางอื่นคือการแยกปัญหาออกเป็นส่วนที่สามารถโลกได้เช่น "การอนุมานเชิงซ้อนเหนือ Combinatorial Spaces" อย่างไรก็ตามการย่อยสลายในท้องถิ่นช่วยให้คุณสามารถควบคุมคุณภาพการประมาณโดยการเลือกขนาดพื้นที่