คำอธิบายกราฟเชิงทฤษฎีอย่างหมดจดของการลดจาก Unique Label Cover ถึง Max-Cut

ฉันกำลังศึกษาการคาดเดาเกมที่ไม่ซ้ำใครและการลดลงของ Max-Cut ของ Khot et al จากบทความของพวกเขาและที่อื่น ๆ บนอินเทอร์เน็ตผู้เขียนส่วนใหญ่ใช้ (สิ่งที่ฉันเป็น) ความเท่าเทียมกันโดยนัยระหว่างการลด MAX-CUT และการสร้างการทดสอบโดยเฉพาะสำหรับรหัสยาว เนื่องจากขาดความชัดเจนเกี่ยวกับความเท่าเทียมนั้นเองฉันจึงพยายามติดตามความคิดนี้

นอกจากนี้ยังเห็นได้ชัดจากการอธิบายเหล่านี้ว่าเราสามารถอธิบายการลดลงอย่างหมดจดในแง่ของกราฟ แต่โดยความบังเอิญหรือความชอบไม่มีใครเลือกที่จะทำอย่างนั้น ตัวอย่างเช่นในบันทึกการบรรยายเหล่านี้ของ O'Donnell เขาบอกเป็นนัยว่าการทดสอบโค้ดแบบยาวนั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความตามธรรมชาติของขอบในกราฟที่กำลังสร้าง แต่เนื่องจากไม่มีการสะกดคำออกมา เพื่อกำหนดฟังก์ชั่นบูลีนที่กำลังทดสอบและมันทำให้ฉันค่อนข้างสับสน

ดังนั้นฉันขอให้ใครบางคนอธิบายการลดลงของ "เพียงแค่" ในทางทฤษฎี ฉันคิดว่าสิ่งนี้จะช่วยให้ฉันเข้าใจความเท่าเทียมกันระหว่างมุมมองทั้งสอง

ให้ฉันดูว่าฉันสามารถชี้แจงเรื่องนี้ในระดับสูง สมมติว่า UG อินสแตนซ์เป็นกราฟสองฝ่าย , bijections , โดยที่ , และm คุณต้องการสร้างกราฟใหม่เพื่อให้ถ้าอินสแตนซ์ UG เป็นพอใจแล้วจะมีการตัดขนาดใหญ่และถ้าอินสแตนซ์ UG นั้นไม่ได้เป็นแม้แต่พอใจก็มีเพียงการตัดที่เล็กมาก$G = (V \cup W, E)$$\{\pi_e\}_{e \in E}$$\pi_e\colon \Sigma \to \Sigma$$|\Sigma| = m$$H$$1-\delta$$H$$\delta$$H$

กราฟมีสำหรับแต่ละจุดสุดยอดใน , เมฆจุดแต่ละป้ายบาง1 ความตั้งใจคือการที่คุณควรจะสามารถที่จะตีความรหัสยาวเข้ารหัสของป้ายของเป็นตัดของHจำได้ว่าการเข้ารหัสด้วยโค้ดแบบยาวคุณใช้ฟังก์ชันบูลีน ; โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นฟังก์ชั่นเผด็จการx_ มาสร้างคัต (เช่น bi-partition ของจุดยอด) จากการเข้ารหัสรหัสแบบยาวดังนี้ ถ้า$H$$W$$2^m$$x \in \{-1, 1\}^\Sigma$$W$$H$$\sigma \in \Sigma$$f\colon \{-1, 1\}^\Sigma \to \{-1, 1\}$$f(x) = x_\sigma$$S\cup T$$w \in W$มีป้ายเข้ารหัสโดยฟังก์ชั่นบูลไปที่ระบบคลาวด์ของจุดในสอดคล้องกับ , และใส่ในจุดทั้งหมดในระบบคลาวด์ที่มีความโดดเด่นโดยบางที่1 คนอื่น ๆ ทั้งหมดไปTคุณสามารถทำย้อนกลับนี้เพื่อกำหนดฟังก์ชั่นบูลทุกขึ้นอยู่กับการตัดของH$f$$H$$w$$S$$x$$f(x) = 1$$T$$w \in W$$H$

เพื่อลดการทำงานคุณจะต้องสามารถบอกได้เพียงโดยดูที่ค่าของการตัด$S\cup T$ว่าฟังก์ชันบูลีนที่สอดคล้องกับการตัดนั้นใกล้กับการเข้ารหัสรหัสแบบยาวของการกำหนดฉลากให้ที่ตอบสนองความต้องการจำนวนมากของข้อ จำกัด ของ UG Gดังนั้นคำถามคือสิ่งที่ข้อมูลที่เราจะได้รับจากมูลค่าของการตัดT พิจารณาจุดยอดสองจุดใด ๆมีป้ายกำกับในคลาวด์ที่สอดคล้องกับและกับป้ายกำกับในคลาวด์ที่สอดคล้องกับ (ในการลดลงเราดูที่เท่านั้น$W$$G$$S \cup T$$a$$x$$w$$b$$y$$w'$$w$,ในก้อนเมฆที่ต่างกัน) เราบอกว่าตัดที่สามารถใช้ฟังก์ชั่นการสืบทอดมาบูลและ'} ตอนนี้ถ้ามีขอบในแล้วถูกตัดถ้าหาก(y) ดังนั้นการใช้ค่าของการตัดเท่านั้นที่จะบอกได้ว่าฟังก์ชั่นบูลีนที่เจือจางเป็น "ดี" เหมือนกับการทดสอบที่ได้รับฟังก์ชั่นบูลีนเพียงถามถึงสิ่งที่ ส่วนของรายการที่ระบุบางส่วนของคู่เรามี(y)$w'$$f_w$$f_{w'}$$(a,b)$$H$$(a, b)$$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$$\{f_w\}_{w \in W}$$((w, x), (w', y))$$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$

กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อใดก็ตามที่ไรอันกล่าวในบันทึกย่อ "ทดสอบว่า " สิ่งที่เขาหมายถึงจริงๆคือ "ในเพิ่มขอบระหว่างจุดยอดในคลาวด์ของมีข้อความ โดยและจุดยอดในกลุ่มเมฆที่มีเครื่องหมาย " คือทุกทุกสองประเทศเพื่อนบ้านและทุกรวมถึงขอบระหว่างจุดสุดยอดในระบบคลาวด์ของป้ายและจุดยอดในคลาวด์ของกำกับโดยและกำหนดน้ำหนักขอบ$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$$H$$w$$x$$w'$$y$$v\in V$$w, w'$$x,y \in \{-1, 1\}^n$$w$$x\circ \pi_{v,w}$$w'$$y \circ \pi_{v,w'}$$(({1-\rho})/{2})^d(({1+\rho})/{2})^{n-d}$ที่คือระยะทางที่ Hamming ระหว่างและy ที่ด้วยวิธีนี้ค่าของการตัดหารด้วยน้ำหนักขอบทั้งหมดเท่ากับความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จของการทดสอบ$d$$x$$y$