อะไรที่ทำให้ปัญหาระดับโลกง่าย ๆ จากปัญหาระดับโลกที่ยากลำบากในกราฟของความกังวลที่ จำกัด

ความอุดมสมบูรณ์ของปัญหากราฟยากแก้ปัญหาได้ในเวลาพหุนามในกราฟของ treewidth แท้จริงตำรามักจะใช้เช่น independet ชุดเป็นตัวอย่างซึ่งเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นในท้องถิ่น โดยทั่วไปปัญหาในพื้นที่เป็นปัญหาที่โซลูชันสามารถตรวจสอบได้โดยการตรวจสอบพื้นที่ใกล้เคียงเล็ก ๆ ของจุดสุดยอดทุกจุด

ที่น่าสนใจแม้กระทั่งปัญหา (เช่นเส้นทางของแฮมิลตัน) ของธรรมชาติของโลกก็ยังสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพสำหรับกราฟ treewidth ที่ จำกัด ขอบเขต สำหรับปัญหาดังกล่าวอัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกตามปกติจะต้องติดตามทุกวิธีในการแก้ปัญหาที่สามารถสำรวจแยกที่สอดคล้องกันของการสลายตัวของต้นไม้ (ดูเช่น [1]) อัลกอริธึมแบบสุ่ม (ขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรียกว่า cut'n'count) ได้รับใน [1] และอัลกอริธึมที่ปรับปรุงแล้ว (แม้จะกำหนดขึ้น) ได้รับการพัฒนาใน [2]

ฉันไม่รู้ว่ามันยุติธรรมหรือไม่ที่จะบอกว่าหลายคน แต่อย่างน้อยปัญหาระดับโลกบางอย่างสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพสำหรับกราฟของความกังวลที่ จำกัด แล้วปัญหาเกี่ยวกับกราฟที่เหลืออยู่นั้นยากแค่ไหน? ฉันสมมติว่าพวกเขาเป็นธรรมชาติของโลก แต่มีอะไรอีกบ้าง อะไรที่ทำให้ปัญหาระดับโลกเหล่านี้แยกจากปัญหาระดับโลกที่สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ ยกตัวอย่างเช่นวิธีการและวิธีการที่รู้จักกันจะทำให้เรามีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับพวกเขาอย่างไรและทำไม?

ตัวอย่างเช่นอาจพิจารณาปัญหาต่อไปนี้:

ขอบ precoloring ขยายกำหนดกราฟ$G$มีขอบบางสีตัดสินใจว่าสีนี้สามารถขยายไปยังที่เหมาะสม -edge ระบายสีของกราฟG$k$$G$

ส่วนขยายการตกตะกอนของขอบ (และตัวแปรการระบายสีขอบของรายการ) คือ NP-complete สำหรับกราฟอนุกรมขนานสองชุด [3] (กราฟดังกล่าวมีความกังวลมากที่สุด 2)

การระบายสีขอบผลรวมขั้นต่ำรับกราฟค้นหาการระบายสีขอบเช่นนั้นถ้าและมีจุดยอดทั่วไปแล้ว(e_2) วัตถุประสงค์คือเพื่อลด , ผลรวมของการระบายสี$G=(V,E)$$\chi : E \to \mathbb{N}$$e_1$$e_2$$\chi(e_1) \neq \chi(e_2)$$E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e)$

กล่าวอีกนัยหนึ่งเราต้องกำหนดจำนวนเต็มบวกให้กับขอบของกราฟเพื่อให้ขอบที่อยู่ติดกันได้รับจำนวนเต็มที่แตกต่างกันและผลรวมของตัวเลขที่กำหนดนั้นน้อยมาก ปัญหานี้เป็นปัญหา NP-hard สำหรับต้นไม้ 2 ต้นบางส่วน [4] (เช่นกราฟของ treewidth ที่มากที่สุด 2)

ปัญหาที่ยากอื่น ๆ นั้น ได้แก่ ปัญหา path-disjoint path, ปัญหา subgraph isomorphism และปัญหา bandwidth (ดูเช่น [5] และการอ้างอิงในนั้น) สำหรับปัญหาที่ยังคงยากแม้บนต้นไม้ดูคำถามนี้

[1] Cygan, M. , Nederlof, J. , Pilipczuk, M. , van Rooij, JM, & Wojtaszczyk, JO (2011, ตุลาคม) การแก้ปัญหาการเชื่อมต่อที่กำหนดค่าพารามิเตอร์โดย treewidth ในเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลครั้งเดียว ในรากฐานของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ (FOCS), 2011 การประชุมวิชาการประจำปี 2011 ของ IEEE 52 (หน้า 150-159) IEEE

[2] Bodlaender, HL, Cygan, M. , Kratsch, S. , & Nederlof, J. (2013) อัลกอริธึมเวลาแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเดี่ยวแบบกำหนดแน่นอนสำหรับปัญหาการเชื่อมต่อที่กำหนดค่าพารามิเตอร์ด้วยความน่าเชื่อถือ ใน Automata, ภาษาและการเขียนโปรแกรม (pp. 196-207) สปริงเกอร์เบอร์ลินไฮเดลเบิร์ก

[3] Marx, D. (2005) NP ‐ ความสมบูรณ์ของการลงสีของรายการและการขยายสีไว้ล่วงหน้าบนขอบของกราฟระนาบ วารสารทฤษฎีกราฟ 49 (4), 313-324

[4] Marx, D. (2009) ผลลัพธ์ที่ซับซ้อนสำหรับการระบายสีขอบผลรวมขั้นต่ำ คณิตศาสตร์ประยุกต์ไม่ต่อเนื่อง, 157 (5), 1034-1045

[5] Nishizeki, T. , Vygen, J. , & Zhou, X. (2001) ปัญหาพา ธ แบบแยกส่วนขอบคือ NP-complete สำหรับกราฟอนุกรมและขนาน คณิตศาสตร์ประยุกต์ไม่ต่อเนื่อง, 115 (1), 177-186

อัลกอริธึมส่วนใหญ่สำหรับกราฟของ treewidth ที่ล้อมรอบอยู่บนพื้นฐานของการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก เพื่อให้อัลกอริทึมเหล่านี้มีประสิทธิภาพเราจำเป็นต้อง จำกัด จำนวนสถานะในตารางการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก: หากคุณต้องการอัลกอริทึมแบบพหุนามเวลาคุณต้องมีจำนวนสถานะพหุนาม (เช่น n ^ tw) หากคุณต้องการ แสดงให้เห็นว่าปัญหาคือ FPT คุณมักจะต้องการแสดงให้เห็นว่าจำนวนของรัฐคือฟังก์ชั่นของความกังวลบางอย่าง โดยทั่วไปจำนวนสถานะจะสอดคล้องกับจำนวนของวิธีการแก้ปัญหาบางส่วนที่แตกต่างกันเมื่อแบ่งกราฟที่ตัวคั่นขนาดเล็กบางตัว ดังนั้นปัญหาจึงเป็นเรื่องง่ายในกราฟที่มีขอบเขต - ความน่าจะเป็นเพราะการแก้ปัญหาบางส่วนมีปฏิสัมพันธ์กับโลกภายนอกผ่านจำนวนจุดยอดมีขอบเขตเพียงประเภทเท่านั้น ตัวอย่างเช่น, ในปัญหาชุดอิสระประเภทของการแก้ปัญหาบางส่วนขึ้นอยู่กับการเลือกจุดยอดขอบเขต ในปัญหาวัฏจักรแฮมิลตันประเภทของการแก้ปัญหาบางส่วนถูกอธิบายโดยวิธีการที่ subpaths ของการแก้ปัญหาบางส่วนตรงกับจุดยอดของขอบเขตซึ่งกันและกัน ตัวแปรของทฤษฎีบทของ Courcelle ให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับปัญหาที่จะมีคุณสมบัติที่การแก้ปัญหาบางส่วนมีจำนวนประเภทที่ จำกัด ไว้เท่านั้น

หากปัญหาเกิดขึ้นอย่างหนักในกราฟที่ จำกัด ขอบเขตความน่าจะเป็นเพราะหนึ่งในสามเหตุผลต่อไปนี้

1. มีการโต้ตอบในปัญหาที่กราฟไม่ถูกจับ ตัวอย่างเช่น Steiner Forest คือ NP-hard บนกราฟของ treewidth 3 โดยสังหรณ์ใจเนื่องจากคู่ต้นทาง - ปลายทางสร้างการโต้ตอบระหว่างจุดยอดที่ไม่ติดกัน

Elisabeth Gassner: ปัญหาป่า Steiner มาเยือน J. ขั้นตอนวิธีแบบไม่ต่อเนื่อง 8 (2): 154-163 (2010)

MohammadHossein Bateni, Mohammad Taghi Hajiaghayi, Dániel Marx: แผนการประมาณสำหรับ Steiner Forest บนกราฟระนาบและกราฟของ Treewidth ที่ถูกล้อมรอบ J. ACM 58 (5): 21 (2011)

2. ปัญหาถูกกำหนดที่ขอบของกราฟ จากนั้นแม้ว่าส่วนหนึ่งของกราฟจะถูกแนบไปกับส่วนที่เหลือของกราฟผ่านจำนวนจุดยอดที่ถูก จำกัด ขอบเขตอาจมีหลายเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับจุดยอดเหล่านี้ไม่กี่และจากนั้นสถานะของการแก้ปัญหาบางส่วนสามารถอธิบายได้โดยการอธิบายสถานะของ ขอบเหล่านี้ทั้งหมด นี่คือสิ่งที่ทำให้ปัญหาใน [3,4] ยาก

3. จุดสุดยอดแต่ละจุดสามารถมีสถานะแตกต่างกันจำนวนมาก ตัวอย่างเช่นปก Capacitive Vertex เป็น W [1] - แก้ไขพารามิเตอร์โดย treewidth อย่างสังหรณ์ใจเพราะคำอธิบายของการแก้ปัญหาบางส่วนเกี่ยวข้องกับไม่เพียง แต่ระบุว่าจุดยอดของตัวแยกถูกเลือก แต่ยังระบุจำนวนจุดยอดที่เลือกของตัวแยกแต่ละตัว ใช้เพื่อปกปิดขอบ

Michael Dom, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, Yngve Villanger: การปกครองและการปกคลุมที่เก็บประจุ: มุมมองแบบพารามิเตอร์ IWPEC 2008: 78-90

ข้อเสนอแนะของฉันจะพิจารณาอย่างรอบคอบที่ทฤษฎีบทของ Courcelleปัญหาที่แสดงออกมาใน (ลำดับที่แน่นอนของ) ลำดับที่สองแบบลอจิกลอจิกมีอัลกอริธึม FPT เมื่อแปรปรวนโดย treewidth ความสงสัยของฉันคือสิ่งนี้ครอบคลุมตัวอย่างปัญหาที่ทราบจำนวนมากของ FPT สำหรับกราฟเหล่านี้ ในมุมมองนี้ความแตกต่างในระดับท้องถิ่น / ระดับโลกของคุณดูเหมือนจะเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความแตกต่างระหว่างปัญหาที่แสดงใน MSO ที่มีอยู่จริงกับปัญหาที่มีปริมาณสูงกว่าในสูตร MSO ของพวกเขา เพื่อกลับไปยังคำถามที่แท้จริงของคุณการขาดการกำหนด MSO (ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่มีเงื่อนไขในหลาย ๆ กรณีโดยใช้แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบท Myhill – Nerode ) จะเป็นหลักฐานต่อการขาดอัลกอริธึม FPT (ยากที่จะพิสูจน์โดยไม่มีสมมติฐานเชิงทฤษฎีที่ซับซ้อน)

ฉันคิดว่าหนึ่งในตัวอย่างเหล่านี้คือปัญหาที่ถูกตัดมากที่สุด ปัญหาการตัดแบบเบาบางแบบสม่ำเสมอสามารถแก้ไขได้บนกราฟของความกว้างของต้นไม้ที่ถูกล้อมรอบ แต่ปัญหาการตัดแบบเบาบางแบบถ่วงน้ำหนักนั้นไม่ได้ใกล้เคียง (ดีกว่า 17/16) ในกราฟของความลึกแบบ จำกัด ขอบเขต

ปัญหาการเจียระไนแตกต่างกันมาก แต่หนึ่งที่รู้จักกันดีมีดังนี้

รับกราฟและฟังก์ชั่นน้ำหนักw : E ( G ) → N , หาคมตัดE ( S , V ∖ S ) ⊆ E ( G )สำหรับS ⊂ Vเช่นW ( E ( S $G=(V,E)$$w:E(G)\rightarrow N$$E(S,V\setminus S) \subseteq E(G)$$S \subset V$$\frac{W(E(S,V\setminus S))}{|S||V\setminus S|}$$E'\subseteq E(G)$$W(E')=\sum_{e\in E'}w(e)$

ส่วนผสมหลักประกอบด้วยสองสิ่ง:

1. ฟังก์ชั่นเพิ่มเติมเช่นที่นี่ฟังก์ชั่นน้ำหนัก แต่ก็ยังมีปัญหาบางประการเกี่ยวกับฟังก์ชั่นน้ำหนักที่ไม่ยากในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางของความกว้างของต้นไม้ที่ถูกล้อมรอบ

2. ลักษณะของปัญหาการตัดแบบเบาบาง มีอยู่จริงมากกว่าหนึ่งการอ้างอิงสำหรับการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกในการกำหนดปัญหา วิธีแก้ปัญหาที่ดีอย่างสังหรณ์ใจคือสิ่งที่เราแบ่งกราฟ (โดยการเอาขอบบางส่วน) ออกเป็นสองขนาดเท่ากันในอีกทางหนึ่งในพาร์ติชันนี้เราจะลบจำนวนขอบที่น้อยที่สุดที่เราใช้ เหตุผลที่ปัญหายากในกราฟ treewidth ที่ล้อมรอบคือเราควรใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกในสองทิศทาง แต่ทั้งสองทิศทางขึ้นอยู่กับแต่ละอื่น ๆ

โดยทั่วไปหากปัญหาอยู่ในลักษณะที่ต้องการมากกว่าหนึ่งมิติสำหรับการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกและมิติเหล่านั้นขึ้นอยู่กับแต่ละอื่น ๆ แล้วปัญหามีศักยภาพที่จะยากในกราฟของความกว้างของต้นไม้ที่ถูก จำกัด เราสามารถเห็นรูปแบบนี้ได้ทั้งปัญหาในคำถามและสำหรับปัญหาการตัดมากที่สุด (ในปัญหาแรกเราต้องการเก็บสีก่อนหน้าในอีกทางหนึ่งให้สีน้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้ในปัญหาที่สองเห็นได้ชัดว่ามีสองฟังก์ชั่นซึ่งขึ้นอยู่กับกันและกัน)