ความกว้างของต้นไม้ขั้นต่ำของวงจรสำหรับ MAJORITY

ความกว้างของต้นไม้น้อยที่สุดของวงจรเหนือสำหรับการคำนวณ MAJ คืออะไร? $\{\wedge,\vee,\neg\}$

นี่ MAJขาออก 1 IFF ครึ่งน้อยของปัจจัยการผลิตที่มี1 $:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ $1$

ฉันสนใจเฉพาะขนาดของวงจร (ควรเป็นพหุนาม) และควรอ่านอินพุตเพียงครั้งเดียวแม้ว่าพัดลมที่ออกจากประตูทางเข้านั้นสามารถทำได้ตามอำเภอใจ โปรแกรมที่ได้รับจากทฤษฎีบทของ Barrington จาก MAJตีความว่าเป็นวงจรเอียงไม่ช่วย) และแน่นอนความกว้างของต้นไม้เป็นสิ่งสำคัญที่สุด ฉันไม่สนใจเกี่ยวกับความลึกหรือพารามิเตอร์อื่น ๆ $\in$ $\mathsf{NC}^1$

บางส่วนของวงจรทั่วไปสำหรับ MAJ รวมถึง:

วงจรต้นไม้วอลเลซ (egTheorem 8.9 ที่นี่ ) ซึ่งใช้เคล็ดลับที่ 3 ต่อ 2 ไปยังสถานที่ MAJ ใน ? $\mathsf{NC}^1$
เสียงเดียวของ Valiantวงจรสำหรับ MAJ (เช่นทฤษฎีบท 4 ที่นี่ ) $\mathsf{NC}^1$
$\log^{O(1)}{n}$ เครือข่ายการเรียงลำดับเชิงลึกเช่นการเรียงลำดับแบทช์
เครือข่ายคัดแยกAKS

มีคนใดบ้างที่มีข้อ จำกัด หรือแม้กระทั่งความกว้างของต้นไม้โพลี

หรือในความเป็นจริง

มีเหตุผลที่เชื่อได้หรือไม่ว่าไม่มีวงจรความกว้างของต้นไม้สำหรับ MAJ?

ขอให้สังเกตว่าทุกฟังก์ชันคำนวณโดยวงจรมีต้นไม้ล้อมรอบกว้างสามารถคำนวณได้โดย $\mathsf{NC}^1$ วงจรแม้ในขณะที่ไม่มีการอ่านครั้งเดียวผ่านข้อตกลงJansenSarma ดังนั้นความไม่แน่นอนของตระกูลวงจรดังกล่าวจะบ่งบอกว่าขอบเขตนี้สามารถทำให้รัดกุมขึ้นในกรณีของวงจรอ่านครั้งเดียว

— samid
แหล่งที่มา

ทำไมสิ่งนี้จึงไม่สำคัญสำหรับภาษา

ใด ๆ เท่าที่ฉันเห็นสูตร (เช่นต้นไม้) มีความกว้างของต้นไม้

หรือฉันหายไปบางอย่าง

{N C}^{1}

$\mathrm{NC}^1$

1

$1$

— Emil Jeřábek

ฉันคิดว่า OP ระบุใบไม้ทั้งหมดของทรีสูตรที่ตรงกับตัวแปรเดียวกันซึ่งสร้างรอบ

— Sasho Nikolov

วงจรสำหรับเสียงข้างมากสามารถนำมาใช้ใน treewidth O (log n) วงจรจะจำลองอัลกอริธึมออนไลน์ที่อ่านหนึ่งบิตทีละครั้งและเพิ่ม 1 เป็นจำนวนที่มีบิต O (log n) ถ้าหากว่าอินพุตเป็น 1 เท่านั้นโปรดทราบว่าความลึกของวงจรคือ O (n) ดูรูปที่ 1 จาก ( arxiv.org/pdf/1404.5565v1.pdf ) วงจรที่มีความลึกขนาดเล็กไม่จำเป็นต้องมีความกังวลเล็กน้อยเพราะอย่างที่ Sasho Nikolov ชี้ให้เห็นว่าคุณต้องระบุโหนดที่สอดคล้องกับตัวแปรอินพุตเดียวกัน

— Mateus de Oliveira Oliveira

@MateusdeOliveiraOliveira การก่อสร้างที่คุณชี้ให้เห็นนั้นดีและเรียบง่ายและเกือบจะเป็นสิ่งที่ฉันต้องการ สิ่งที่ฉันต้องการจริงๆคือการก่อสร้างที่ใช้ความกว้างของต้นไม้ล้อมรอบ ฉันจะรอสองสามวันเพื่อดูว่ามีคำตอบอื่น ๆ หรือไม่ (ถ้าคุณแปลงความคิดเห็นของคุณเป็นคำตอบ) ฉันจะอนุมัติ

— SamiD

@SamiD ฉันขยายความคิดเห็นนี้เป็นคำตอบ ฉันไม่ได้โพสต์เป็นคำตอบก่อนหน้านี้เพราะมันเป็นเพียงครึ่งหนึ่งของสิ่งที่คุณถาม

— Mateus de Oliveira Oliveira

คำตอบ:

ตอบคำถามของ Samir ครึ่งหนึ่ง

ให้เป็น DAG และจะมีสองส่วนย่อยของจุดของGเราใช้แสดงโดยชุดของขอบทั้งหมดในกับหนึ่งในปลายทางและปลายทางอื่น ๆ ใน 2หาก $G=(V,E)$ $V_1,V_2\subseteq V$ $G$ $E(V_1,V_2)$ $G$ $V_1$ $V_2$ $\omega = (v_1,...,v_n)$ คือการสั่งซื้อรวมของจุดของแล้วเราปล่อยให้ $G$ แสดงความกว้างของ . ความกว้างออนไลน์ของถูกกำหนดให้เป็น

o w (G, ω) = max_{i} | E ({v_{1}, . . ., v_{i}}, {v_{i + 1}, . . ., v_{n}} |

$\mathbf{ow}(G,\omega) = \max_{i}\; |E(\{v_1,...,v_i\},\{v_{i+1},...,v_n\}|$

ω

$\omega$

G

$G$

ที่ต่ำสุดที่จะนำไป orderings ทอพอโลยีทุกจุดของG

โปรดทราบว่าแนวคิดดั้งเดิมของความกว้างของ

มีการกำหนดแบบอะนาล็อกยกเว้นว่าขั้นต่ำจะถูกนำไปใช้กับการเรียงลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ

โดยไม่คำนึงถึงว่าการเรียงลำดับเป็นทอพอโลยีหรือไม่ เรามีลำดับความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

o w (G) = min_{ω} o w (G, ω),

$\mathbf{ow}(G) = \min_{\omega}\; \mathbf{ow}(G,\omega),$

G

$G$

G

$G$

c w (G)

$\mathbf{cw}(G)$

G

$G$

ที่

และ

เป็นลำดับ pathwidth และ treewidth ของG

t w (G) \leq p w (G) \leq c w (G) \leq o w (G),

$\mathbf{tw}(G) \leq \mathbf{pw}(G) \leq \mathbf{cw}(G)\leq \mathbf{ow}(G),$

p w (G)

$\mathbf{pw}(G)$

t w (G)

$\mathbf{tw}(G)$

G

$G$

เราเรียกร้องส่วนใหญ่ของที่บิตสามารถคำนวณได้ในออนไลน์ที่มีความกว้าง , และดังนั้นใน treewidth )วงจรเลียนแบบอัลกอริทึมออนไลน์ที่อ่านบิตอินพุตหนึ่งในเวลาและเพิ่มไปที่เคาน์เตอร์ที่มีบิตและถ้าหาก 1ที่จุดเริ่มต้นตัวนับจะถูกเตรียมใช้งานเป็น $n$ $O(\log n)$ $O(\log n)$ $b$ $b$ $O(\log n)$ $b=1$ $0$ . ในตอนท้ายวงจรจะยอมรับถ้าหากค่าของตัวนับมากกว่า n / 2 มันง่ายที่จะเห็นว่าประตูของวงจรเพิ่มที่เพิ่มหนึ่งในเคาน์เตอร์ลงทะเบียนสามารถสั่งทอพอโลยีในลักษณะที่มีความกว้างออนไลน์คงที่เนื่องจากวงจรนี้เพียงแค่ต้องดำเนินการดำเนินการต่อไป วงจรรวมเป็นลำดับของวงจร ที่การส่งออกของ $C=(ADD_1,ADD_2,...,ADD_n,COMP)$ $ADD_i$ ถูกเสียบเข้ากับอินพุตของและเอาท์พุทของถูกเสียบเข้ากับอินพุตของ COMP ตอนนี้ถ้าเราทอพอโลยีสั่งวงจรรวมในลักษณะดังกล่าวที่ประตูทั้งหมดของปรากฏก่อนที่ประตูของและประตูทั้งหมดของปรากฏก่อนที่ประตูของ COMP แล้วนี้ ลำดับโทโพโลยีมีความกว้างออนไลน์ $ADD_{i+1}$ $ADD_n$ $C$ $ADD_i$ $ADD_{i+1}$ $ADD_n$ $O(\log n)$ . สิ่งก่อสร้างนี้แสดงในรูปที่ 1 ของกระดาษของฉันเพื่อแสดงว่าการขยายความน่าจะเป็นสามารถทำได้ในความกว้างแบบลอการิทึมออนไลน์

Obs: ความลึกของวงจรซีเป็น ) $O(n)$

— Mateus de Oliveira Oliveira
แหล่งที่มา

ในฐานะที่เป็นคำพูดด้านข้างทำวงจรเดียวกัน แต่เป็นต้นไม้ไบนารี (กับเอาท์พุทที่ราก) มากกว่าเส้นทางให้วงจรกับ treewidth O (log n) และความลึก O (log n)

— daniello

ดูเหมือนว่าการแปลโดยตรงสู่ต้นไม้จะให้ความลึก O ((log n) ^ 2) เนื่องจากเราต้องการความลึก O (log n) สำหรับแต่ละแอดเดอร์ แต่ความจริงที่ว่า treewidth จะเป็น O (log n)

— Mateus de Oliveira Oliveira

แน่นอนว่าคุณพูดถูกต้องขอบคุณ! มันดูเหมือนว่าถ้าเพิ่มเติมจะถูกนำมาใช้เป็น DNFs แล้วเราได้รับ treewidth และความลึก O (log n) แต่ขนาด

)

O (n^{3})

$O(n^3)$

— daniello

สิ่งที่เป็นตัวแทนของแอดเดอร์ในฐานะ DNFs คือมันสามารถเพิ่มความน่าเชื่อถือได้เนื่องจากตอนนี้ตัวแปรแต่ละตัวจะถูกแบ่งปันกับ (ในตอนแรกมองพหุนาม) หลายประโยค ข้อเสนอแนะของคุณในการลดความลึกเป็น O (log n) จะทำงานถ้าคุณสามารถแสดงว่าการเพิ่มสองตัวเลขด้วยบิต O (log n) สามารถทำได้ในระดับความลึกคงที่และการลดลงของลอการิทึม

— Mateus de Oliveira Oliveira

ดี - ฟังก์ชั่นบูลีนใด ๆ บนบิตอินพุตและ

บิตเอาท์พุท DNF มีความลึก

ขนาด

และ treewidth

ตั้งแต่การลบอินพุตเอาต์พุต + ประตูใบชุดที่เป็นอิสระ ...

a

$a$

b

$b$

2

$2$

2^{a} + a + b

$2^a + a + b$

\leq a + b

$\leq a+b$

— daniello

ตอบอีกครึ่งหนึ่งของคำถาม - นี่คือร่างหลักฐานสำหรับขอบเขตล่างสำหรับ treewidth สำหรับบางคงคขอบเขตเป็นอิสระจากขนาดหรือลักษณะอื่น ๆ ของวงจร ในส่วนที่เหลือของข้อโต้แย้งคือวงจร, คือ treewidth ของและคือจำนวนของประตูทางเข้า $c \cdot \log n$ $c$ $C$ $t$ $C$ $n$

ขั้นตอนแรกคือการใช้แทรกคั่นสมดุลสำหรับกราฟของ treewidth ประตู (รวมถึงประตูทางเข้า) ของวงจรอาจถูกแบ่งออกเป็นสามส่วน , และเช่นนั้นและทั้งและมีอย่างน้อยประตูการป้อนข้อมูลและไม่มีโค้ง (สาย) ระหว่างและR $L$ $R$ $S$ $|S| \leq t+1$ $L$ $R$ $n/3-|S|$ $L$ $R$

ในส่วนที่เหลือของการพิสูจน์คุณสมบัติเฉพาะของวงจรที่เราจะใช้คือการแบ่งพาร์ติชัน - ดังนั้นการพิสูจน์จะให้ขอบเขตที่ต่ำกว่ากับขนาดของตัวคั่นสมดุลดังที่กล่าวมาแล้ว $S$

มีที่อยู่ในมือเราสร้างวงจรจากดังนี้สำหรับแต่ละประตูในให้มากขึ้นสองประตูและและทำให้และฟีดเข้าไปกรัมสำหรับสายทั้งหมดที่นำไปสู่จากทำให้พวกเขาเข้าไปในแทน สำหรับสายทั้งหมดที่นำไปสู่จากทำให้เข้าสู่ $(L,S,R)$ $C'$ $C$ $g$ $S$ $g_L$ $g_R$ $g_L$ $g_R$ $g$ $g$ $L$ $g_L$ $g$ $R$ $g_R$ แทน. Let '

S^{'} = {g, g_{L}, g_{R} : g \in S} .

$S' = \{g, g_L, g_R : g \in S\}.$

สำหรับแต่ละassingments เพื่อทำให้วงจรที่เอาท์พุท 1 ถ้า (ก) มอบหมายให้ประตูการป้อนข้อมูลที่ทำให้เอาท์พุทที่แท้จริงและ (ข) มอบหมายให้ชุดประตูประตูการป้อนข้อมูลทั้งหมดของเป็นเดา โทรวงจรเหล่านี้ , , สำหรับตันโปรดทราบว่าวงจรแบ่งตามธรรมชาติเป็นสองวงจรย่อยและ $2^{|S'|}$ $S'$ $C'$ $S'$ $C_1$ $C_2$ $C_3 \ldots C_x$ $x \leq 8^t$ $C_i$ $C_i^L$ เช่นที่เพียง แต่ขึ้นอยู่กับประตูใส่ของ ,เพียง แต่ขึ้นอยู่กับประตูใส่ของและสำหรับการมอบหมายใด ๆ ไปยังประตูการป้อนข้อมูลที่เรามีที่ฉัน $C_i^R$ $C_i^L$ $L \cup S'$ $C_i^R$ $R \cup S'$ $C_i = C_i^L \wedge C_i^R$

ตั้งแต่การมอบหมายให้ประตูการป้อนข้อมูลที่ทุกคนมีความสอดคล้องกับการคาดเดาบางอย่างสำหรับสิ่งที่เกิดขึ้นในเรามี xดังนั้นเราจึงได้เขียนวงจรเป็น OR (ของ fanin ) ของ AND's (ของ fanin ) โดยที่หมายเลข AND ประตูถูกป้อนผลลัพธ์ของและตามลำดับ $S'$ $C' = C_1 \vee C_2 \vee C_3 \ldots \vee C_x$ $C$ $8^t$ $2$ $i$ $C_i^L$ $C_i^R$

ให้เป็นชุดของประตูและประตูสูงสุด ก่อนอื่นเราจะพิสูจน์ว่า. นี้จะช่วยให้ง่ายผูกพันลดลงบนเสื้อจากนั้นเราจะพิสูจน์ขอบเขตที่ดีขึ้น $Z$ $2^{|Z|} \geq n/3-|S|$ $\log \log n$ $t$

สมมติว่าและสมมติว่า WLOG มีประตูการป้อนข้อมูลน้อยกว่าRจากนั้นทั้งและมีอย่างน้อยประตูทางเข้า ตามหลักการของนกพิราบรูทนั้นมีตัวเลขสองตัวที่แตกต่างกันคือและซึ่งมีสองการมอบหมายที่แตกต่างกันไปที่ประตูอินพุตของหนึ่งอันที่ทำให้ประตูเป็นจริงหนึ่งชุด $2^{|Z|} < n/3-|S|$ $L$ $R$ $L$ $R$ $n/3-|S|$ $i$ $j$ $L$ $i$ $j$ เช่นวงจร , เอาท์พุททั้งหมดในสิ่งเดียวกัน แต่มีการกำหนดให้กับประตูอินพุตในเพื่อให้ MAJORITY เอาต์พุตเป็น FALSE หากประตูในถูกตั้งค่าเป็นจริงและเอาต์พุต MAJORITY เป็น TRUE หากประตูในถูกตั้งค่าเป็นจริง นี่คือความขัดแย้งและดังนั้น หมายความ treewidth ที่มีอย่างน้อย n $C_1^L$ $C_2^L \ldots C_x^L$ $R$ $i$ $L$ $j$ $L$ $2^{|Z|} \geq n/3-|S|$ $\log \log n$

ตอนนี้เราแสดงขอบเขตที่ดีกว่า: . สมมติว่า WLOG มีประตูการป้อนข้อมูลน้อยกว่าRจากนั้นทั้ง L และ R มีอย่างน้อยประตูทางเข้า พิจารณา "เท็จ" มอบหมายให้Lให้เป็นจำนวนประตูอินพุตที่เล็กที่สุดของซึ่งจะต้องตั้งค่าเป็นจริงเช่นนั้น MAJ เอาท์พุท TRUE เนื่องจากทั้งหมดตั้งค่าเป็นเท็จ $|Z| \geq n/3-|S|$ $L$ $R$ $n/3-|S|$ $L$ $r$ $R$ $L$

ตั้งแต่การตั้งค่าเท็จและตรงประตูใส่ของที่จะทำให้เป็นจริงส่วนใหญ่ส่งออกจะต้องมีบางอย่างที่เช่นที่ outputs TRUE, WLOG นี้คือ 1การมอบหมายทั้งหมดให้มีประตูอินพุตจริงน้อยกว่าต้องตั้งค่าเป็นเท็จ เนื่องจากการตั้งค่าประตูอินพุตของเป็นจริงและประตูอินพุตของเป็นจริงทำให้เอาต์พุต MAJORITY การตั้งค่า $L$ $r$ $R$ $1$ $i$ $C_i^L$ $C_1^L$ $R$ $r$ $C_1^R$ $1$ $L$ $r-1$ $R$ $1$ ประตูที่จะต้องให้ความจริงอย่างน้อยหนึ่ง outpur จริงสำหรับ 1WLOG เราสามารถสมมติ 2จากนั้นการมอบหมายทั้งหมดให้ที่ตั้งค่าที่ประตูเข้าส่วนใหญ่เป็นจริงจะต้องตั้งค่าเป็นเท็จและอื่น ๆ - เราอาจทำซ้ำอาร์กิวเมนต์นี้ครั้ง แต่นี่หมายความว่าให้ $1$ $L$ $C_i^L$ $i \neq 1$ $i=2$ $R$ $r-2$ $C_2^R$ $r$ $|Z| \geq r \geq n/3-|S|$ ขอบเขตล่างสำหรับเสื้อ $c \cdot \log n$ $t$

[ฉันทราบว่าร่างนี้มีคลื่นที่มือนิดหน่อยลองถามว่ามีอะไรที่ไม่ชัดเจน ... ]

— daniello
แหล่งที่มา