ความกว้างของต้นไม้ขั้นต่ำของวงจรสำหรับ MAJORITY


12

ความกว้างของต้นไม้น้อยที่สุดของวงจรเหนือสำหรับการคำนวณ MAJ คืออะไร?{,,¬}

นี่ MAJขาออก 1 IFF ครึ่งน้อยของปัจจัยการผลิตที่มี11:{0,1}n{0,1}1

ฉันสนใจเฉพาะขนาดของวงจร (ควรเป็นพหุนาม) และควรอ่านอินพุตเพียงครั้งเดียวแม้ว่าพัดลมที่ออกจากประตูทางเข้านั้นสามารถทำได้ตามอำเภอใจ โปรแกรมที่ได้รับจากทฤษฎีบทของ Barrington จาก MAJตีความว่าเป็นวงจรเอียงไม่ช่วย) และแน่นอนความกว้างของต้นไม้เป็นสิ่งสำคัญที่สุด ฉันไม่สนใจเกี่ยวกับความลึกหรือพารามิเตอร์อื่น ๆN C 1 NC1

บางส่วนของวงจรทั่วไปสำหรับ MAJ รวมถึง:

  • วงจรต้นไม้วอลเลซ (egTheorem 8.9 ที่นี่ ) ซึ่งใช้เคล็ดลับที่ 3 ต่อ 2 ไปยังสถานที่ MAJ ใน ?NC1
  • เสียงเดียวของ Valiantวงจรสำหรับ MAJ (เช่นทฤษฎีบท 4 ที่นี่ )NC1
  • logO(1)nเครือข่ายการเรียงลำดับเชิงลึกเช่นการเรียงลำดับแบทช์
  • เครือข่ายคัดแยกAKS

มีคนใดบ้างที่มีข้อ จำกัด หรือแม้กระทั่งความกว้างของต้นไม้โพลี

หรือในความเป็นจริง

มีเหตุผลที่เชื่อได้หรือไม่ว่าไม่มีวงจรความกว้างของต้นไม้สำหรับ MAJ?

ขอให้สังเกตว่าทุกฟังก์ชันคำนวณโดยวงจรมีต้นไม้ล้อมรอบกว้างสามารถคำนวณได้โดยNC1วงจรแม้ในขณะที่ไม่มีการอ่านครั้งเดียวผ่านข้อตกลงJansenSarma ดังนั้นความไม่แน่นอนของตระกูลวงจรดังกล่าวจะบ่งบอกว่าขอบเขตนี้สามารถทำให้รัดกุมขึ้นในกรณีของวงจรอ่านครั้งเดียว


1
ทำไมสิ่งนี้จึงไม่สำคัญสำหรับภาษาใด ๆ เท่าที่ฉันเห็นสูตร (เช่นต้นไม้) มีความกว้างของต้นไม้1หรือฉันหายไปบางอย่าง NC11
Emil Jeřábek

5
ฉันคิดว่า OP ระบุใบไม้ทั้งหมดของทรีสูตรที่ตรงกับตัวแปรเดียวกันซึ่งสร้างรอบ
Sasho Nikolov

1
วงจรสำหรับเสียงข้างมากสามารถนำมาใช้ใน treewidth O (log n) วงจรจะจำลองอัลกอริธึมออนไลน์ที่อ่านหนึ่งบิตทีละครั้งและเพิ่ม 1 เป็นจำนวนที่มีบิต O (log n) ถ้าหากว่าอินพุตเป็น 1 เท่านั้นโปรดทราบว่าความลึกของวงจรคือ O (n) ดูรูปที่ 1 จาก ( arxiv.org/pdf/1404.5565v1.pdf ) วงจรที่มีความลึกขนาดเล็กไม่จำเป็นต้องมีความกังวลเล็กน้อยเพราะอย่างที่ Sasho Nikolov ชี้ให้เห็นว่าคุณต้องระบุโหนดที่สอดคล้องกับตัวแปรอินพุตเดียวกัน
Mateus de Oliveira Oliveira

@MateusdeOliveiraOliveira การก่อสร้างที่คุณชี้ให้เห็นนั้นดีและเรียบง่ายและเกือบจะเป็นสิ่งที่ฉันต้องการ สิ่งที่ฉันต้องการจริงๆคือการก่อสร้างที่ใช้ความกว้างของต้นไม้ล้อมรอบ ฉันจะรอสองสามวันเพื่อดูว่ามีคำตอบอื่น ๆ หรือไม่ (ถ้าคุณแปลงความคิดเห็นของคุณเป็นคำตอบ) ฉันจะอนุมัติ
SamiD

@SamiD ฉันขยายความคิดเห็นนี้เป็นคำตอบ ฉันไม่ได้โพสต์เป็นคำตอบก่อนหน้านี้เพราะมันเป็นเพียงครึ่งหนึ่งของสิ่งที่คุณถาม
Mateus de Oliveira Oliveira

คำตอบ:


7

ตอบคำถามของ Samir ครึ่งหนึ่ง

ให้เป็น DAG และV 1 , V 2Vจะมีสองส่วนย่อยของจุดของG เราใช้แสดงโดยE ( V 1 , V 2 )ชุดของขอบทั้งหมดในGกับหนึ่งในปลายทางV 1และปลายทางอื่น ๆ ในV 2 หากω = ( V 1 , . . . , V n )G=(V,E)V1,V2VGE(V1,V2)GV1V2ω=(v1,...,vn)คือการสั่งซื้อรวมของจุดของแล้วเราปล่อยให้ o W ( G , ω ) = สูงสุดฉันG แสดงความกว้างของ ω . ความกว้างออนไลน์ของจีถูกกำหนดให้เป็น o W ( G ) = นาทีω

ow(G,ω)=maxi|E({v1,...,vi},{vi+1,...,vn}|
ωG ที่ต่ำสุดที่จะนำไป orderings ทอพอโลยีทุกจุดของG โปรดทราบว่าแนวคิดดั้งเดิมของความกว้างของ G , c w ( G )มีการกำหนดแบบอะนาล็อกยกเว้นว่าขั้นต่ำจะถูกนำไปใช้กับการเรียงลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ Gโดยไม่คำนึงถึงว่าการเรียงลำดับเป็นทอพอโลยีหรือไม่ เรามีลำดับความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: t w ( G ) p w ( G ) c w ( G )
ow(G)=minωow(G,ω),
GGcw(G)Gที่ P W ( G )และ T W ( G )เป็นลำดับ pathwidth และ treewidth ของG
tw(G)pw(G)cw(G)ow(G),
pw(G)tw(G)G

เราเรียกร้องส่วนใหญ่ของที่บิตสามารถคำนวณได้ในออนไลน์ที่มีความกว้างO ( log n ) , และดังนั้นใน treewidth O ( บันทึกn ) วงจรเลียนแบบอัลกอริทึมออนไลน์ที่อ่านบิตอินพุตหนึ่งในเวลาและเพิ่มไปที่เคาน์เตอร์ที่มีO ( บันทึกn )บิตและถ้าหาก= 1 ที่จุดเริ่มต้นตัวนับจะถูกเตรียมใช้งานเป็น0nO(logn)O(logn)bbO(logn)b=10. ในตอนท้ายวงจรจะยอมรับถ้าหากค่าของตัวนับมากกว่า n / 2 มันง่ายที่จะเห็นว่าประตูของวงจรเพิ่มที่เพิ่มหนึ่งในเคาน์เตอร์ลงทะเบียนสามารถสั่งทอพอโลยีในลักษณะที่มีความกว้างออนไลน์คงที่เนื่องจากวงจรนี้เพียงแค่ต้องดำเนินการดำเนินการต่อไป วงจรรวมเป็นลำดับของวงจร ที่การส่งออกของD D ฉันC=(ADD1,ADD2,...,ADDn,COMP)ADDiถูกเสียบเข้ากับอินพุตของและเอาท์พุทของA D D nถูกเสียบเข้ากับอินพุตของ COMP ตอนนี้ถ้าเราทอพอโลยีสั่งวงจรรวมซีในลักษณะดังกล่าวที่ประตูทั้งหมดของD D ฉันปรากฏก่อนที่ประตูของD D ฉัน+ 1และประตูทั้งหมดของD D nปรากฏก่อนที่ประตูของ COMP แล้วนี้ ลำดับโทโพโลยีมีความกว้างออนไลน์O ( บันทึกn )ADDi+1ADDnCADDiADDi+1ADDnO(logn). สิ่งก่อสร้างนี้แสดงในรูปที่ 1 ของกระดาษของฉันเพื่อแสดงว่าการขยายความน่าจะเป็นสามารถทำได้ในความกว้างแบบลอการิทึมออนไลน์

Obs: ความลึกของวงจรซีเป็น )O(n)


ในฐานะที่เป็นคำพูดด้านข้างทำวงจรเดียวกัน แต่เป็นต้นไม้ไบนารี (กับเอาท์พุทที่ราก) มากกว่าเส้นทางให้วงจรกับ treewidth O (log n) และความลึก O (log n)
daniello

1
ดูเหมือนว่าการแปลโดยตรงสู่ต้นไม้จะให้ความลึก O ((log n) ^ 2) เนื่องจากเราต้องการความลึก O (log n) สำหรับแต่ละแอดเดอร์ แต่ความจริงที่ว่า treewidth จะเป็น O (log n)
Mateus de Oliveira Oliveira

แน่นอนว่าคุณพูดถูกต้องขอบคุณ! มันดูเหมือนว่าถ้าเพิ่มเติมจะถูกนำมาใช้เป็น DNFs แล้วเราได้รับ treewidth และความลึก O (log n) แต่ขนาด ) O(n3)
daniello

สิ่งที่เป็นตัวแทนของแอดเดอร์ในฐานะ DNFs คือมันสามารถเพิ่มความน่าเชื่อถือได้เนื่องจากตอนนี้ตัวแปรแต่ละตัวจะถูกแบ่งปันกับ (ในตอนแรกมองพหุนาม) หลายประโยค ข้อเสนอแนะของคุณในการลดความลึกเป็น O (log n) จะทำงานถ้าคุณสามารถแสดงว่าการเพิ่มสองตัวเลขด้วยบิต O (log n) สามารถทำได้ในระดับความลึกคงที่และการลดลงของลอการิทึม
Mateus de Oliveira Oliveira

ดี - ฟังก์ชั่นบูลีนใด ๆ บนบิตอินพุตและบิตเอาท์พุท DNF มีความลึก2ขนาด2 + + Bและ treewidth + ตั้งแต่การลบอินพุตเอาต์พุต + ประตูใบชุดที่เป็นอิสระ ...ab22a+a+ba+b
daniello

5

ตอบอีกครึ่งหนึ่งของคำถาม - นี่คือร่างหลักฐานสำหรับขอบเขตล่างสำหรับ treewidth สำหรับบางคงค ขอบเขตเป็นอิสระจากขนาดหรือลักษณะอื่น ๆ ของวงจร ในส่วนที่เหลือของข้อโต้แย้งCคือวงจร, tคือ treewidth ของCและnคือจำนวนของประตูทางเข้าclogncCtCn

ขั้นตอนแรกคือการใช้แทรกคั่นสมดุลสำหรับกราฟของ treewidth ประตู (รวมถึงประตูทางเข้า) ของวงจรอาจถูกแบ่งออกเป็นสามส่วน , RและSเช่นนั้น| S | t + 1และทั้งLและRมีอย่างน้อยn / 3 - | S | ประตูการป้อนข้อมูลและไม่มีโค้ง (สาย) ระหว่างLและRLRS|S|t+1LRn/3|S|LR

ในส่วนที่เหลือของการพิสูจน์คุณสมบัติเฉพาะของวงจรที่เราจะใช้คือการแบ่งพาร์ติชัน - ดังนั้นการพิสูจน์จะให้ขอบเขตที่ต่ำกว่ากับขนาดของตัวคั่นสมดุลดังที่กล่าวมาแล้วS

มีที่อยู่ในมือเราสร้างวงจรC 'จากCดังนี้สำหรับแต่ละประตูกรัมในSให้มากขึ้นสองประตูกรัมLและกรัมRและทำให้กรัมLและกรัมRฟีดเข้าไปกรัม สำหรับสายทั้งหมดที่นำไปสู่gจากLทำให้พวกเขาเข้าไปในg Lแทน สำหรับสายทั้งหมดที่นำไปสู่gจากRทำให้เข้าสู่g R(L,S,R)CCgSgLgRgLgRggLgLgRgRแทน. Let '

S={g,gL,gR:gS}.

สำหรับแต่ละassingments เพื่อS 'ทำให้วงจรที่เอาท์พุท 1 ถ้า (ก) มอบหมายให้ประตูการป้อนข้อมูลที่ทำให้C 'เอาท์พุทที่แท้จริงและ (ข) มอบหมายให้ชุดประตูประตูการป้อนข้อมูลทั้งหมดของS 'เป็นเดา โทรวงจรเหล่านี้C 1 , ซี2 , C 3 ... C xสำหรับx 8ตัน โปรดทราบว่าวงจรC iแบ่งตามธรรมชาติเป็นสองวงจรย่อยC L iและ2|S|SCSC1C2C3Cxx8tCiCiLเช่นที่ C L ฉันเพียง แต่ขึ้นอยู่กับประตูใส่ของ L S ' , C R ฉันเพียง แต่ขึ้นอยู่กับประตูใส่ของ R S 'และสำหรับการมอบหมายใด ๆ ไปยังประตูการป้อนข้อมูลที่เรามีที่ C ฉัน = C L ฉันC RฉันCiRCiLLSCiRRSCi=CiLCiR

ตั้งแต่การมอบหมายให้ประตูการป้อนข้อมูลที่ทุกคนมีความสอดคล้องกับการคาดเดาบางอย่างสำหรับสิ่งที่เกิดขึ้นในเรามีC ' = C 1C 2C 3 ... C x ดังนั้นเราจึงได้เขียนวงจรCเป็น OR (ของ fanin 8 t ) ของ AND's (ของ fanin 2 ) โดยที่หมายเลข AND ประตูiถูกป้อนผลลัพธ์ของC L iและC R iตามลำดับSC=C1C2C3CxC8t2iCiLCiR

ให้เป็นชุดของประตูและประตูสูงสุด ก่อนอื่นเราจะพิสูจน์ว่า2 | Z | n / 3 - | S | . นี้จะช่วยให้ง่ายเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบnผูกพันลดลงบนเสื้อ จากนั้นเราจะพิสูจน์ขอบเขตที่ดีขึ้นZ2|Z|n/3|S|loglognt


สมมติว่าและสมมติว่า WLOG Lมีประตูการป้อนข้อมูลน้อยกว่าR จากนั้นทั้งLและRมีอย่างน้อยn / 3 - | S | ประตูทางเข้า ตามหลักการของนกพิราบรูทนั้นมีตัวเลขสองตัวที่แตกต่างกันคือiและjซึ่งมีสองการมอบหมายที่แตกต่างกันไปที่ประตูอินพุตของLหนึ่งอันที่ทำให้ประตูผมเป็นจริงหนึ่งชุดj2|Z|<n/3|S|LRLRn/3|S|ijLijเช่นวงจร , C L 2C L xเอาท์พุททั้งหมดในสิ่งเดียวกัน แต่มีการกำหนดให้กับประตูอินพุตในRเพื่อให้ MAJORITY เอาต์พุตเป็น FALSE หากiประตูในLถูกตั้งค่าเป็นจริงและเอาต์พุต MAJORITY เป็น TRUE หากjประตูในLถูกตั้งค่าเป็นจริง นี่คือความขัดแย้งและดังนั้น 2 | Z | n / 3 - | S | หมายความ treewidth ที่มีอย่างน้อยบันทึกบันทึก nC1LC2LCxLRiLjL2|Z|n/3|S|loglogn


ตอนนี้เราแสดงขอบเขตที่ดีกว่า: . สมมติว่า WLOG Lมีประตูการป้อนข้อมูลน้อยกว่าR จากนั้นทั้ง L และ R มีอย่างน้อยn / 3 - | S | ประตูทางเข้า พิจารณา "เท็จ" มอบหมายให้L ให้rเป็นจำนวนประตูอินพุตที่เล็กที่สุดของRซึ่งจะต้องตั้งค่าเป็นจริงเช่นนั้น MAJ เอาท์พุท TRUE เนื่องจากLทั้งหมดตั้งค่าเป็นเท็จ|Z|n/3|S|LRn/3|S|LrRL

ตั้งแต่การตั้งค่าเท็จและตรงrประตูใส่ของRที่จะทำให้เป็นจริงส่วนใหญ่ส่งออก1จะต้องมีบางอย่างที่ฉันเช่นที่C L ฉัน outputs TRUE, WLOG นี้คือC L 1 การมอบหมายทั้งหมดให้R ที่มีประตูอินพุตจริงน้อยกว่าrต้องตั้งค่าC R 1เป็นเท็จ เนื่องจากการตั้งค่า1ประตูอินพุตของLเป็นจริงและประตูอินพุตr - 1ของRเป็นจริงทำให้เอาต์พุต MAJORITY 1การตั้งค่าLrR1iCiLC1LRrC1R1Lr1R1ประตู Lที่จะต้องให้ความจริงอย่างน้อยหนึ่ง C L ฉัน outpur จริงสำหรับฉัน 1 WLOG เราสามารถสมมติฉัน= 2 จากนั้นการมอบหมายทั้งหมดให้ Rที่ตั้งค่าที่ประตูเข้า r - 2ส่วนใหญ่เป็นจริงจะต้องตั้งค่า C R 2เป็นเท็จและอื่น ๆ - เราอาจทำซ้ำอาร์กิวเมนต์นี้ rครั้ง แต่นี่หมายความว่า | Z | r n / 3 - | S | ให้ c 1LCiLi1i=2Rr2C2Rr|Z|rn/3|S|ขอบเขตล่างสำหรับเสื้อclognt

[ฉันทราบว่าร่างนี้มีคลื่นที่มือนิดหน่อยลองถามว่ามีอะไรที่ไม่ชัดเจน ... ]

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.