ตัวอย่างของการเปลี่ยนเฟสความแข็ง

สมมติว่าเรามีปัญหาแปรโดยมูลค่าจริง P พารามิเตอร์ซึ่งเป็น "ง่าย" ในการแก้ปัญหาเมื่อและ "ยาก" เมื่อP = P 1สำหรับบางค่าP 0 , หน้า 1$p=p_0$$p=p_1$$p_0$$p_1$

ตัวอย่างหนึ่งคือการนับการกำหนดค่าสปินบนกราฟ การนับจำนวนสีที่เหมาะสมถ่วงน้ำหนักชุดอิสระ Eulerian subgraphs สอดคล้องกับฟังก์ชั่นการแบ่งส่วนของฮาร์ดคอร์โมเดล Potts และ Ising ตามลำดับซึ่งง่ายต่อการประมาณสำหรับ "อุณหภูมิสูง" และยากสำหรับ "อุณหภูมิต่ำ" สำหรับ MCMC แบบง่ายการเปลี่ยนเฟสความแข็งสอดคล้องกับจุดที่เวลาผสมกระโดดจากพหุนามเป็นเลขชี้กำลัง ( Martineli, 2006 )

อีกตัวอย่างหนึ่งคือการอนุมานในโมเดลความน่าจะเป็น เรา "ลดความซับซ้อน" แบบจำลองที่กำหนดโดยการรวม , p เข้าด้วยกันกับแบบจำลอง "ตัวแปรทั้งหมดเป็นอิสระ" สำหรับp = 1ปัญหาเล็กน้อยสำหรับp = 0มันเป็นสิ่งที่รักษาไม่ได้และค่าความแข็งอยู่ที่ใดที่หนึ่งระหว่าง สำหรับวิธีการอนุมานที่นิยมมากที่สุดปัญหากลายเป็นยากเมื่อวิธีการล้มเหลวในการบรรจบและจุดเมื่อมันเกิดขึ้นสอดคล้องกับการเปลี่ยนเฟส (ในความรู้สึกทางกายภาพ) ของการกระจายกิ๊บส์บาง (คนTatikonda 2002 )$1-p$$p$$p=1$$p=0$

อะไรคือตัวอย่างที่น่าสนใจของความแข็ง "กระโดด" เนื่องจากพารามิเตอร์ต่อเนื่องบางตัวมีการเปลี่ยนแปลง

แรงจูงใจ: เพื่อดูตัวอย่างของ "ความแข็ง" อีกมิติหนึ่งของความแข็งนอกเหนือจากประเภทกราฟหรือประเภทตรรกะ

ในการประมาณกรณีที่เลวร้ายที่สุดมาตรฐานมีเกณฑ์ที่คมชัดมากเนื่องจากปัจจัยการประมาณแตกต่างกันไป

ตัวอย่างเช่นสำหรับ 3LIN ซึ่งได้รับสมการเชิงเส้นบูลีนตามตัวแปรจำนวนมาก 3 ตัวแต่ละตัวมีอัลกอริธึมการมอบหมายการสุ่มแบบง่ายสำหรับการประมาณ 1/2 แต่การประมาณใด ๆ ที่ดีกว่าบาง t = 1/2 + o (1) SAT หนักพอที่จะคาดเดาได้ว่าจะต้องใช้เวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล

ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นประเภทของปัญหาที่คุณกำลังมองหาหรือไม่ แต่การเปลี่ยนเฟสของปัญหา NP-Complete เป็นปรากฏการณ์ที่รู้จักกันดี บทความดูไบรอันเฮย์ส"ไม่ได้ไม่มีความพึงพอใจ"เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลง 3 เฟสและ SAT "ปัญหายากง่ายที่สุด"เกี่ยวกับจำนวน Partition เฟสเปลี่ยนแปลงสำหรับบทความที่ได้รับความนิยมในบางเรื่อง

Selman และ Kirkpatrickเป็นคนแรกที่แสดงตัวเลขว่าช่วงการเปลี่ยนภาพสำหรับ 3-SAT คือเมื่ออัตราส่วนของส่วนคำสั่งต่อตัวแปรอยู่ที่ประมาณ 4.3

Gent วอลช์และเป็นครั้งแรกที่จะแสดงตัวเลขว่าช่วงหัวเลี้ยวหัวต่อสำหรับพาร์ทิชันจำนวนปัญหาที่เกิดขึ้นเมื่ออัตราส่วนของความยาวบิตรายการที่เกี่ยวกับ 1. หลังจากนี้ได้พิสูจน์วิเคราะห์โดยborgs, Chayes และ Pittel

พนักงานขายเดินทาง, การระบายสีกราฟ, วงจรมิลโตเนียน, และอื่น ๆ , ดูเหมือนว่าจะมีการเปลี่ยนเฟสสำหรับการกำหนดพารามิเตอร์ที่เหมาะสมของการสร้างอินสแตนซ์ปัญหา ฉันคิดว่ามันปลอดภัยที่จะบอกว่ามันเป็นความเชื่อที่ถือกันโดยทั่วไปว่าปัญหา NP-Complete ทั้งหมดแสดงการเปลี่ยนเฟสสำหรับการปรับพารามิเตอร์ที่เหมาะสม

เชื่อมโยงกับ (บางส่วน) แบบจำลองเสียงสำหรับการคำนวณควอนตัมเป็นค่าเกณฑ์สำหรับระดับเสียงซึ่งเหนือกว่านั้นประตูเสียงดังสามารถจำลองโดย Clifford ประตูเช่นนั้นกระบวนการคำนวณควอนตัมกลายเป็นแบบจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพ ในการเริ่มต้นให้ดูที่ Plenio และ Virmani ขอบเขตบนของเกณฑ์ความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้ของคอมพิวเตอร์ควอนตัมที่ใช้ระบบส่งสัญญาณรบกวนแบบ Cli ff (arXiv: 0810.4340v1)

แบบจำลองที่แก้ไขได้เช่นนี้แจ้งให้เราทราบเกี่ยวกับปัญหาในทางปฏิบัติที่แพร่หลาย: สำหรับระบบควอนตัมทางกายภาพที่ระบุในการติดต่อกับอ่างเก็บน้ำความร้อน (อาจที่อุณหภูมิศูนย์) เป็นระดับเสียงที่เกี่ยวข้องกับอ่างเก็บน้ำความร้อนด้านล่าง ทรัพยากร? ถ้าอย่างหลังอัลกอริทึมการจำลองแบบใดที่เหมาะสมที่สุด?

$k$$k$$k$

$f(k)$$k$$f(k)$$2^k$$k$$1 \le f(k) < 2^k$

$k$$n$$k$$f(k)/2^k$

$f(k)$$f(k)+1$

• Jan Kratochvíl, Petr Savickýและ Zsolt Tuza อีกหนึ่งเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นของตัวแปรทำให้ความพึงพอใจกระโดดจาก Trivial to NP-Complete , SIAM J. Comput 22 (1) 203–210, 1993. ดอย: 10.1137 / 0222015

$f(k)$$f(k) = \Theta(2^k/k)$

• Heidi Gebauer, Disproof การคาดคะเนย่านใกล้เคียงที่มีผลกระทบกับ SAT , Combinatorica 32 (5) 573–587, 2012 Doi: 10.1007 / s00493-012-2679-y (preprint)
• Heidi Gebauer, Tibor Szabó, Gábor Tardos, บทแทรกเฉพาะสำหรับ SAT , SODA 2011