กำลังมองหาแหล่งข้อมูลวรรณกรรมสำหรับการติดตามแนวคิด

ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าฉันไม่ใช่คนแรกที่ให้ความบันเทิงกับความคิดที่ฉันจะนำเสนอ อย่างไรก็ตามมันจะมีประโยชน์ถ้าฉันสามารถค้นหาวรรณกรรมที่เกี่ยวข้องกับความคิด

แนวคิดคือการสร้างทัวริงเครื่อง M ด้วยคุณสมบัติที่ถ้า P = NP จากนั้น M จะแก้ปัญหา 3-SAT ในเวลาพหุนาม (ทางเลือกของ 3-SAT นั้นเป็นเรื่องที่ไม่มีเหตุผลและอาจเป็นปัญหาใด ๆ ใน NP)

เพื่อให้ชัดเจนนี่ไม่ใช่การอ้างสิทธิ์ที่ P = NP ในความเป็นจริงฉันเชื่อในสิ่งที่ตรงกันข้าม ฉันแค่บอกว่าถ้า P = NP แล้ว M จะให้วิธีการแก้ปัญหาเวลาพหุนาม หากคุณกำลังมองหาทางออกที่มีประสิทธิภาพฉันควรเตือนว่านี่ยังห่างไกลจากประสิทธิภาพ

M ถูกสร้างขึ้นดังต่อไปนี้: ก่อนอื่นให้ถือว่าการเข้ารหัสแบบบัญญัติสำหรับเครื่องทัวริงทั้งหมดและใช้การกำหนดหมายเลขกับเครื่องเหล่านี้ ดังนั้นจึงมีเครื่องทัวริงหมายเลข 1 หมายเลข 2 และอื่น ๆ แนวคิดของ Universal Turing Machine ที่สามารถอ่านรูปแบบสำหรับเครื่องที่ให้มา M จะใช้ Universal Turing Machine เพื่อสร้างและจำลองเครื่องทัวริงแต่ละอัน

ก่อนอื่นจะจำลองการทำงานของ Turing Machine 1 ในขั้นตอนเดียว
จากนั้นดูผลลัพธ์ของเครื่องจักรทัวริง 1
มันจำลองการทำงานของเครื่องจักรทัวริง 1 สองขั้นตอนและดูผลลัพธ์จากนั้นจะจำลองเครื่องจักรทัวริง 2 2 ขั้นตอน มันจะดำเนินต่อไปและวนซ้ำในลักษณะนี้ในทางกลับกันการใช้งานทัวริงเครื่อง 1 สำหรับ k ก้าวจากนั้น 2 สำหรับขั้นตอน k ... จากนั้นในที่สุดเครื่อง k สำหรับขั้นตอน k

หลังจากการจำลองการทำงานแต่ละครั้งจะตรวจสอบผลลัพธ์ของการทดสอบ หากผลลัพธ์คือการกำหนดตัวแปรที่สอดคล้องกับปัญหา 3-SAT M หยุดการทำงานในสถานะที่ยอมรับ หากในทางกลับกันเอาต์พุตเป็นสตริงการพิสูจน์ในบางภาษาที่พิสูจน์ได้ด้วยผลลัพธ์ที่พิสูจน์แล้วว่าอินสแตนซ์ปัญหาไม่น่าพอใจ M จะหยุดการทำงานชั่วคราว (สำหรับภาษาพิสูจน์เราสามารถใช้ Peano Axioms กับ Second-Order logic และ axioms ตรรกะสไตล์ Hilbert พื้นฐานฉันปล่อยให้มันเป็นแบบฝึกหัดสำหรับผู้อ่านที่จะคิดว่าถ้า P = NP ที่ถูกต้อง มีหลักฐานภาษาอยู่และสามารถตรวจสอบได้แบบพหุนามเวลา)

ฉันจะเรียกร้องที่นี่ว่า M จะแก้ปัญหา 3-SAT ในเวลาพหุนามหาก P = NP ในที่สุดอัลกอริทึมจะพบกับเครื่องจักรทัวริงที่มีหมายเลข K ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหา 3-SAT และสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ของความสำเร็จหรือความล้มเหลวได้ ในที่สุด K จะถูกจำลองโดยใช้ขั้นตอนโพลี (สแตรน (อินพุต)) สำหรับพหุนาม พหุนามสำหรับ M นั้นคือกำลังสองของพหุนามสำหรับ k ในปัจจัยที่ใหญ่ที่สุด แต่มีค่าคงที่แย่มากในพหุนาม

เพื่อย้ำคำถามของฉันที่นี่: ฉันต้องการที่จะรู้ว่ามีแหล่งวรรณกรรมที่ใช้ความคิดนี้ ฉันค่อนข้างสนใจที่จะพูดคุยเกี่ยวกับความคิดของตัวเอง

reference-request turing-machines p-vs-np

— จังหวัดบิล
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ดูเหมือนว่าความคิดนี้มีสาเหตุมาจากเลวิน (เรียกว่าการค้นหาที่ดีที่สุด) ฉันเชื่อว่าความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันดี อัลกอริทึมที่คล้ายกันอธิบายไว้ในวิกิพีเดียเช่นแม้ว่าการใช้ปัญหาผลรวมย่อย ในบทความนี้จาก scholarpediaคุณสามารถค้นหาการอ้างอิงหลายเรื่องในเรื่องรวมถึงตัวชี้ไปยังอัลกอริทึมดั้งเดิมและอัลกอริทึมการค้นหาที่เหมาะสมอื่น ๆ

$\varphi$ $P=NP$ $\varphi$

ความคิดเห็นที่ 2: ในขณะที่ Jaroslaw Blasiok ชี้ให้เห็นในคำตอบอื่นอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ตัดสินใจว่า Sat เพียงสมมติว่า P = NP

— Mateus de Oliveira Oliveira
แหล่งที่มา

ฉันเพิ่งพบข้อมูลอ้างอิงของวิกิพีเดียและแน่นอนมันกล่าวถึงเลวิน แต่ไม่มีการอ้างอิง อาจเป็นได้ว่าสิ่งนี้กลายเป็นนิทานพื้นบ้าน แต่ไม่เคยใช้ในวรรณคดีที่ตีพิมพ์ สิ่งนี้มีประโยชน์มาก ขอบคุณ

— จังหวัด Bill

ยินดีต้อนรับ ฉันพบหน้าแรกที่มีการอ้างอิงหลายเรื่อง ฉันแก้ไขคำตอบเพื่อรวมไว้

— Mateus de Oliveira Oliveira

แนวคิดของการใช้เครื่องจักรทัวริงที่เป็นไปได้ในแนวทแยงได้เคยถูกใช้โดย Leonid Levin มาก่อนในสิ่งที่เรียกว่า Levins Universal Search ในปัจจุบัน น่าเสียดายและตรงกันข้ามกับความเข้าใจผิดที่พบบ่อยมากสำหรับสิ่งที่ฉันรู้ว่าการเปลี่ยนแปลงในการค้นหาทั่วไปของ Levins ไม่สามารถให้อัลกอริธึมที่ชัดเจนในการแก้ SAT (ปัญหาการตัดสินใจ) ในเวลาพหุนามโดยมีสมมติฐานว่า P = NP .

ข้อแม้ของการให้เหตุผลที่เสนออยู่ (บ่อยมาก) ใน "การออกกำลังกายที่ง่ายเหลือให้ผู้อ่าน" - ฉันไม่สามารถพิสูจน์การออกกำลังกายของตัวเองและฉันไม่เชื่อว่าคำพูดของมันเป็นจริงคือ:

สมมติว่า P = NP มีขนาดพหุนาม ZFC พิสูจน์ความไม่น่าพอใจของสูตรบูลีนที่กำหนด

ยิ่งไปกว่านั้น: ฉันไม่สามารถเห็นวิธีที่จะพิสูจน์ว่ามี ZFC สั้นแบบพหุนามที่พิสูจน์ได้ว่าไม่น่าพอใจภายใต้สมมติฐาน (ที่แข็งแกร่ง) ว่า "P = NP นั้นสามารถพิสูจน์ได้ใน ZFC" มันกลายเป็นเรื่องง่าย แต่ภายใต้สมมติฐานที่แข็งแกร่งยังกล่าวคือ:

(*) มีเครื่อง M ที่ทำงานอยู่ในเวลาพหุนามซึ่งสามารถแก้ SAT ได้

และนี่คือฉันเชื่อว่าสมมติฐานที่ถูกต้องซึ่งอัลกอริทึมของคุณแก้ SAT ในเวลาพหุนาม ข้างต้นโดย "พิสูจน์ได้ว่าแก้ SAT" ฉันหมายถึง: มีเครื่อง M อยู่, และหลักฐาน ZFC ที่ M แก้ SAT ได้

โปรดสังเกตว่าข้อสันนิษฐานนี้ยังคงอ่อนแอกว่าข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้: (**) มีเครื่อง M อยู่ซึ่งสามารถทำงานได้ในเวลาพหุนามและสามารถแก้ SAT ได้

ภายใต้ (**) สามารถสร้างสิ่งก่อสร้างได้อย่างชัดเจนบรรลุเป้าหมายเดียวกันซึ่งง่ายกว่า: ระบุ ZFC ทั้งหมดที่พิสูจน์จนกว่าคุณจะพบเครื่อง M ที่ถูกต้อง (ใช้เวลาคงที่) จากนั้นเรียกใช้ M ตามอินสแตนซ์ที่กำหนด

มันเป็นความจริงอย่างไรก็ตามภายใต้สมมติฐาน P = NP มีบางระบบพิสูจน์ polynomially พิสูจน์ได้ด้วยหลักฐานอันสั้นสำหรับความไม่พอใจของสูตรที่กำหนด น่าเสียดายที่เราไม่ทราบว่าทั้งระบบพิสูจน์และตัวตรวจสอบแบบทันควันและไม่เป็นประโยชน์ในการตั้งค่านี้

$f^{-1}(x)$

โปรดทราบว่ารูปแบบนี้ใช้กับปัญหาที่เป็นสาเหตุ นี่คือ f เพียงแค่การคูณ (กำหนดเฉพาะสำหรับปัจจัยอื่นที่ไม่ใช่ \ pm 1) และ B เป็นการตรวจสอบเบื้องต้น ดังนั้นการค้นหาทั่วๆไปของเลวินจะเป็นอัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุด เนื่องจากอัลกอริธึมที่เหมาะสมนั้นช้ากว่าอัลกอริธึมที่รู้จักสำหรับการตรวจสอบพหูพจน์ในกรณีอื่น ๆ

$NP\cap co-NP$

— JarosławBłasiok
แหล่งที่มา

ถ้า P = NP ดังนั้น co-NP = co-P = P = NP ดังนั้น UNSATISFIABILITY อยู่ใน NP ดังนั้นจึงมีพยานพหุนาม - คุณไม่จำเป็นต้องเรียกเครื่องจักรทัวริง คุณไม่สามารถแปลงพยานดังกล่าวเป็นหลักฐาน ZFC ได้หรือไม่ว่าสูตรไม่เป็นที่น่าพอใจใช่ไหม ฉันไม่ได้ขึ้นอยู่กับกลไกของการพิสูจน์ ZFC แต่สัญชาตญาณที่ฉันได้รับจากสถานที่ต่าง ๆ คือถ้าคุณไม่ได้จัดการกับ "สิ่งแปลกประหลาด" ZFC จะสอดคล้องกับทุกสิ่งที่คุณคิดว่าคุณสามารถพิสูจน์ได้ก่อนหน้านี้ คุณได้ยินเกี่ยวกับทฤษฎีเซต วัตถุที่มี จำกัด เช่นสูตรบูลีนและพยานพหุนามของความไม่น่าพอใจนั้นไม่น่าจะแปลก

— David Richerby

ใช่ถ้า P = NP แสดงว่า UNSAT อยู่ใน NP และมีขนาดพหุนามเป็นพยาน กล่าวคือพยานที่มีขนาดเป็นศูนย์งานทั้งหมดจะถูกตรวจสอบโดยผู้ตรวจสอบใช่มั้ย ฉันมีความคิดเพียงข้อเดียวในการแปลงพยานขนาดศูนย์นี้เป็น ZFC เพื่อพิสูจน์ว่าไม่น่าพอใจ: ให้พิสูจน์ ZFC ว่าเครื่องของฉันแก้ UNSAT จริงแล้วแสดงสูตรของเครื่องนี้ในสูตร - ซึ่งจะเป็นหลักฐานที่ถูกต้อง และสิ่งนี้สอดคล้องกับความจริงที่ว่าอัลกอริทึมที่เสนอโดย OP ทำงานภายใต้ (*) แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีเครื่องจักรที่ยุ่งยากซึ่งเพิ่งจะแก้ปัญหา SAT ได้ แต่ความจริงข้อนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้? ไม่ใช่ว่าฉันเชื่อว่าเป็นกรณีนี้

— JarosławBłasiok

ความเข้าใจผิดที่ฉันอ้างถึงคือ: "ถ้า P = NP จากนั้นการค้นหาทั่วไปของ Levins จะให้อัลกอริธึมเวลาพหุนามในการแก้ปัญหาที่สมบูรณ์แบบ NP" หรือตามที่ระบุไว้ในบางครั้ง: "เป็นไปไม่ได้ อัลกอริทึมของเลวิน " ทั้งสองสิ่งนั้นเป็นเท็จ - สูตรวิกิพีเดียนำเสนอวิธีการซึ่งหยุดใน polytime บน YES- อินสแตนซ์ของ SUBSET SUM แต่ไม่หยุดเลยใน NO-instance - ไม่ใช่อัลกอริธึมที่จะตัดสินใจเลือกเซตย่อยใน polytime การกำหนด OP จะดีกว่าสำหรับจุดประสงค์ แต่ต้องการการคาดเดาที่ดีกว่า P = NP เพื่อตัดสินใจ SAT ในรูปแบบต่างๆ

— JarosławBłasiok

N P \cap c o - N P

$NP\cap co-NP$

ตอนนี้วิธีที่จะจัดการกับเรื่องนี้ในขณะที่คุณไม่ได้ตรวจสอบอย่างชัดเจนสำหรับปัญหา unSAT จะพยายามหาหลักฐานสั้น ๆ ในตรรกะที่เป็นทางการบางอย่างที่เรารู้อยู่แล้วและสามารถตรวจสอบได้ (ให้เป็นสัจพจน์ ZFC หรือ Peano - เรา มีแนวโน้มที่จะพบการพิสูจน์สั้น ๆ ในอดีตแม้ว่า) ว่ากรณีนี้ไม่น่าพอใจ แต่ถ้าใครอยากพิสูจน์ว่ามีข้อพิสูจน์สั้น ๆ ในตรรกะที่เป็นทางการนี้เราต้องการสมมติฐานที่แข็งแกร่งกว่า P = NP

— JarosławBłasiok