การระบุกราฟระนาบของ Treewidth ที่ถูก จำกัด

ฉันกำลังมองหาการอ้างอิงสำหรับปัญหาต่อไปนี้: รับจำนวนเต็มและ , ระบุทั้งหมดเป็นแบบไม่ isomorphic กราฟเชิงระนาบบนจุดและ treewidthk ฉันสนใจทั้งในเชิงทฤษฎีและในทางปฏิบัติ แต่ส่วนใหญ่อัลกอริธึมเชิงปฏิบัติที่เป็นไปได้ในการเขียนโค้ดและเรียกใช้ค่าและมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้(คิดว่าและ ) หากคุณมีคำตอบอยู่แล้วให้เพิกเฉยต่อเสียงเบ้อเร่อด้านล่าง$n$$k$$n$$\leq k$$n$$k$$k \leq 5$$n \leq 15$

วิธีการดังต่อไปนี้ทำงานได้ดีสำหรับการแจกแจงกราฟที่ไม่ใช่ isomorphic ทั้งหมดใน vertices และ treewidth (เช่นเมื่อข้อ จำกัด planarity หลุด):$n$$\leq k$

(ก) การระบุทั้งหมดกราฟไม่ใช่ isomorphic บนจุดและ treewidthk$n-1$$\leq k$

(b) สำหรับแต่ละจุดยอดบนจุดยอดและ treewidth , ทุกกลุ่มบนจุดยอดในและเซตย่อยของขอบใน , ทำให้จากโดยการเพิ่มจุดยอดใหม่ที่อยู่ติดกับCเพิ่มในรายการของ grahs บนจุดและ treewidthk$G$$n-1$$\leq k$$C$$\leq k$$G$$S$$C$$G'$$G - S$$v$$C$$G'$${\cal L}$$n$$\leq k$

(c) ตัดแต่งโดยลบสำเนาของกราฟเดียวกัน${\cal L}$

วิธีที่น่าดึงดูดในการขยายกราฟนี้เพื่อระบุกราฟระนาบของ treewidthคือการกรองกราฟที่ไม่ใช่ภาพถ่ายในทุกการทำซ้ำ น่าเสียดายที่สิ่งนี้ล้มเหลวในการสร้างกราฟระนาบทั้งหมดของ treewidth (ตัวอย่างเช่นเนื่องจากจะระบุเฉพาะกราฟมิติที่สร้างขึ้นเท่านั้น)$\leq k$$\leq k$$4$

แน่นอนว่าเราสามารถแจกแจงกราฟทั้งหมดใน vertices และ treewidthและจากนั้นกรองที่ไม่ใช่ภาพถ่าย แต่สิ่งนี้ล้มเหลวในการใช้ประโยชน์จากกราฟส่วนใหญ่ที่ไม่ใช่ภาพถ่ายและดูเหมือนว่าย่อยดีที่สุด$n$$\leq k$

มีซอฟต์แวร์ที่ดีที่สร้างกราฟระนาบเล็ก ๆ ที่เกี่ยวกับมอร์ฟิซึ่มซึ่งอาจช่วยได้ อย่างที่ฉันเห็นปัญหาอย่างหนึ่งคือการสร้างกราฟระนาบที่ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิคและส่วนใหญ่ของกราฟระนาบ (น้อยกว่า 15 จุดยอด) เป็นความกังวลเล็กน้อย

สำหรับการตรวจสอบว่า treewidth ของพวกเขามีขนาดเล็กกว่าค่าที่กำหนด $k$วิธีหนึ่งคือใช้อัลกอริทึมแบบฮิวริสติกเพื่อเร่งการคำนวณนี้ในกรณีที่อัลกอริทึมที่แน่นอนไม่สามารถใช้งานได้จริง เช่นในกราฟระนาบ$G$ ก่อนอื่นเราสามารถหาเส้นผ่านศูนย์กลางของ $G$ และเส้นทางที่สอดคล้องกัน $P$ ความยาว $d$(ซึ่งเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง) จากนั้นหาจุดสุดยอด$v\in P$ ซึ่งมีระยะทางที่สั้นที่สุดที่สั้นที่สุด ($l$) ไปยังจุดสุดยอดอื่น ๆ $u\in G\setminus P$ ท่ามกลางทุกจุด $w\in P$. ความน่าเชื่อถือของ$G$ มากที่สุด $d+l$ถ้านี่เล็กกว่านี้ $k$ ถ้าอย่างนั้นเราก็จะใช้วิธีแก้ปัญหาฮิวริสติกอื่นหรือใช้อัลกอริธึมที่แน่นอน

สำหรับกราฟที่มีการเชื่อมต่อน้อยกว่า 3 ตัวสามารถใช้ฮิวริสติกได้โดยการหาจุดยอดที่ตัดแล้วกำหนดจุดยอดเหล่านั้นและค้นหาความกว้างของต้นไม้ของกราฟที่เหลือ แต่เนื่องจากจำนวนโหนดมีขนาดเล็ก ($15$) ถ้ากราฟเป็น $4$- เชื่อมต่อแล้วเส้นผ่านศูนย์กลางไม่ใหญ่และฉันคิดว่าฮิวริสติกแรกควรทำงานที่นั่น (ฉันไม่รู้ว่ามีกราฟระนาบ 5 อันที่เชื่อมต่อกันที่จุดสูงสุด 15 จุดหรือไม่ แต่อย่างที่เรารู้ว่าไม่มี$t$กราฟระนาบที่เชื่อมต่อกันสำหรับ $t>5$)

เป็นขนาดของสิ่งกีดขวางที่ใหญ่ที่สุดสำหรับความกว้างของต้นไม้ $k$ ไม่มีใครรู้ว่าเราไม่สามารถเดาได้ง่ายๆว่าค่าสูงสุดของความว่องไวของกราฟที่กำหนด $G$. แต่ดูเหมือนว่าอย่างน้อยสำหรับกราฟระนาบมันไม่ควรใหญ่เกินไป (อันหนึ่งควรให้การพิสูจน์สำหรับเรื่องนี้)

หนึ่งสามารถระบุคู่ทั้งหมด $G,B$ ที่ไหน $G$ เป็นกราฟระนาบที่มีความกังวลสูงสุด $k$, $B$ เป็นถุงขนาด $k$ ดังกล่าวที่มีต้นไม้สลายตัวของ $G$ กับ $B$ เป็นกระเป๋า

ตอนนี้สำหรับทุกคู่ $G,B$ ที่ไหน $G$ มี $n-1$ จุดยอดที่เราสร้างกราฟใหม่ $G'$ สำหรับทุกชุดย่อย $S$ ของ $B$ โดยการเพิ่มจุดสุดยอด $v$ กับ $S$ เป็นเพื่อนบ้านและปล่อยให้ $B'$ มีขนาด $k$ ส่วนย่อยของ $B \cup v$. เพิ่ม$G',B'$ ถ้า $G'$ เป็นระนาบและไม่มีความแปรปรวนกับคู่ใด ๆ ที่พบแล้ว

ขอบเขตบนง่ายกับจำนวนรายการที่ต้องเก็บคือ $n \choose k$คูณจำนวนกราฟที่แจกแจง แต่นี่เป็นขอบเขตที่มองในแง่ร้าย สำหรับกราฟส่วนใหญ่ของ treewidth k เซตย่อยของขนาด k ส่วนใหญ่ไม่สามารถถุง Ba เช่น a$k \times n$ ตารางมีเพียง $n \cdot 3^{k-1}$ ถุงที่เป็นไปได้

ฉันเชื่อว่าสิ่งนี้จะทำงานได้ดีเช่นเดียวกับอัลกอริธึมสำหรับกราฟที่ไม่ใช่ภาพถ่ายเนื่องจากทุกคู่ G, B เราได้รับกราฟโดยทำให้ B เป็นกลุ่มส่วนหนึ่งของกราฟเหล่านี้ส่วนใหญ่จะไม่ใช่ isomorphic

มีเทคนิคหลายวิธีที่สามารถใช้เพื่อเร่งความเร็วนี้ฉันขอแนะนำให้ดู: http://www.siam.org/meetings/alenex04/abstacts/HBodlaender.pdf