ทำไม mod_m ประตูจึงน่าสนใจ

Ryan Williams เพิ่งโพสต์ขอบเขตล่างของเขาใน ACCชั้นเรียนของปัญหาที่มีวงจรความลึกคงที่โดยมี fan-in และประตูมากมายและ AND, OR, NOT และ MOD_m สำหรับ m ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับประตู MOD_m

• พวกเขาอนุญาตให้หนึ่งในการจำลองเลขคณิตมากกว่าแหวน Z_m ใด ๆ
• ก่อนผลลัพธ์ของ Ryan การขว้างประตู MOD_m ไปยังส่วนผสมให้ชั้นหนึ่งที่ขอบเขตล่างที่รู้จักไม่ทำงาน

มีเหตุผลตามธรรมชาติอื่น ๆ หรือไม่ที่จะศึกษาประตู MOD_m?

$ACC^0$เป็นคลาสที่ซับซ้อนตามธรรมชาติ

1) บาริงตันแสดงให้เห็นว่าการคำนวณว่าในช่วงที่ไม่ได้แก้ปัญหาได้จับ monoidsในขณะที่กว่า monoids แก้ไขจับ 0$NC^1$$ACC^0$

2) เมื่อเร็ว ๆ นี้แฮนเซนและ Koucky พิสูจน์แล้วว่าผลที่สวยงามที่คงที่โพลีขนาดกว้างระนาบแตกแขนงโปรแกรมที่ว่า 0 โดยไม่มีเงื่อนไข planarity เราแน่นอนได้รับผลที่บาริงตันพัฒนาการ 1$ACC^0$$NC^1$

ดังนั้นความแตกต่างระหว่างและจึงเป็นทฤษฎีแบบกลุ่มในมือเดียวและทอพอโลยีในอีกด้านหนึ่ง$ACC^0$$NC^1$

เพิ่มเติม: Dana, ตัวอย่างง่ายๆของกลุ่มที่แก้ไขได้คือ , กลุ่มสมมาตรเหนือองค์ประกอบ กลุ่มที่แก้ไขได้ใด ๆ จะมีซีรีส์ที่มีความฉลาดทางวัฏจักรเกิดขึ้น โครงสร้างวงจรนี้ได้รับการสะท้อนเป็นประตู mod ในขณะที่สร้างวงจรเพื่อแก้ปัญหาคำศัพท์ในกลุ่ม$S_4$

บน planarity เราอยากจะเชื่อว่า planarity อาจกำหนดข้อ จำกัด / คอขวดในการไหลของข้อมูล สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงเสมอไปตัวอย่างเช่นการแปรผันของระนาบ 3SAT เป็นที่รู้กันว่าเป็น NP-complete อย่างไรก็ตามในชั้นเรียนขนาดเล็กข้อ จำกัด เหล่านี้มีแนวโน้ม "ถือ" ได้มากกว่า

ในทำนองเดียวกัน Wigderson แสดง NL / poly = UL / poly โดยใช้ lemma แบบแยก เราไม่ทราบวิธีแยกความแตกต่างของบทแทรกเหนือ DAG ตามอำเภอใจเพื่อรับ NL = UL แต่เรารู้วิธีการทำเช่นนั้นสำหรับDAG ที่ระนาบ

บางทีนี่อาจไม่ใช่คำตอบสำหรับคำถามของคุณ แต่ให้ยกตัวอย่างหนึ่งทำไมบางครั้งประตู (สำหรับคอมโพสิต ) มีประสิทธิภาพมากกว่าประตู:$\bmod m$$m$$\bmod p$

พิจารณาระดับของวงจรคงที่ความลึกที่ประกอบด้วยเพียงของประตูและปัจจัยการผลิตและค่าคงที่ใบ จากนั้นเราสามารถแสดงว่าฟังก์ชัน OR (ตัวอย่าง) ไม่สามารถคำนวณได้โดยวงจรดังกล่าวโดยไม่คำนึงถึงขนาดของวงจร (นี่เป็นเพราะวงจรดังกล่าวคำนวณพหุนามระดับต่ำกว่าและระดับของ OR คือ )$\bmod p$$\mathbb{F}_p$$n$

อย่างไรก็ตามถ้าเราพิจารณาวงจรที่มีเพียงประตูที่มีปัจจัยสำคัญอย่างน้อยสองอย่างก็จะมีวงจรความลึก (ขนาดเอ็กซ์เชียล) สำหรับฟังก์ชัน OR$\bmod m$$m$$2$

และก่อนที่จะมีผลลัพธ์ของไรอันคือฉันคิดว่าคลาสที่เล็กที่สุดที่เราไม่มีขอบเขตที่ต่ำกว่า$AC^0[\bmod 6]$

เพียงอธิบายอย่างละเอียดเกี่ยวกับสองประเด็นของคุณ:

หากเราอยู่ในธุรกิจการทำความเข้าใจการคำนวณการนับแบบแยกส่วนเป็นหนึ่งในขอบเขตความเข้าใจของเรา การนับแบบแยกส่วนเป็นหนึ่งในปรากฏการณ์ที่ง่ายที่สุดและเป็นธรรมชาติมากที่สุดในการคำนวณ แต่ดูเหมือนว่าเราจะเข้าใจเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับเรื่องนี้ เราไม่สามารถแยกแยะความเป็นไปได้ที่วงจรขนาดความลึกพหุโนเมีย 3 ที่มีเพียงประตู Mod6 สามารถคำนวณได้ทุกฟังก์ชั่นใน NP มันมีการคาดเดาอย่างไรก็ตามวงจรดังกล่าวสามารถคำนวณฟังก์ชั่นที่มีขนาดรองรับได้มากเท่านั้นดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณฟังก์ชั่นที่ง่ายมากเช่น AND ที่ขอบเขตด้านบนสถานการณ์คล้ายกันเราไม่มีผลลัพธ์ที่ไม่น่ารำคาญ

คำถามเหล่านี้น่าสนใจมากจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วน ๆ เนื่องจากพวกมันเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับคำถามที่เป็นธรรมชาติเกี่ยวกับพหุนามและเมทริกซ์มากกว่า Z_m เพื่อยกตัวอย่างหนึ่งเราไม่มีขอบเขตล่างที่ดีสำหรับอันดับของเมทริกซ์โคแอกเซียล nxn มากกว่า Z_6 เมทริกซ์ codiagonal มี 0s บนเส้นทแยงมุมและไม่ใช่ศูนย์นอกแนวทแยงมุม