การคูณเมทริกซ์ควอนตัม?

ดูเหมือนจะไม่เป็นที่รู้จัก - แต่มีขอบเขตที่น่าสนใจด้านล่างเกี่ยวกับความซับซ้อนของการคูณเมทริกซ์ในแบบจำลองการคำนวณควอนตัมหรือไม่? เรามีสัญชาตญาณที่เราสามารถเอาชนะความซับซ้อนของอัลกอริทึม Coppersmith-Winograd โดยใช้คอมพิวเตอร์ควอนตัมได้หรือไม่?

reference-request quantum-computing matrix-product

— Henry Yuen
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ในarXiv: quant-ph / 0409035v2 Buhrman และ Spalek นำเสนออัลกอริทึมควอนตัมที่เต้นอัลกอริทึม Coppersmith-Winograd ในกรณีที่เมทริกซ์เอาต์พุตมีรายการที่ไม่ใช่ศูนย์น้อย

ปรับปรุง:นอกจากนี้ยังมีขั้นตอนวิธีการควอนตัมดีขึ้นเล็กน้อยโดยดอร์นและ Thierauf

อัปเดต:มีอัลกอริทึมควอนตัมที่ปรับปรุงแล้วโดยLe Gallตี Burhman และ Spalek โดยทั่วไป

— มาร์ตินชวาตซ์
แหล่งที่มา

นี่เป็นเรื่องใหม่สำหรับฉัน (ฉันรู้เพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับผลลัพธ์ควอนตัม) แต่การจ้องมองที่กระดาษผลน่าแปลกใจมากยิ่งขึ้น! หากสำหรับ

เมทริกซ์การคูณจะมี

A_{n x m} B_{m x n} = C_{n x n}

$A_{nxm}B_{mxn}=C_{nxn}$

รายการที่ไม่ใช่ศูนย์ในการส่งออกผลิตภัณฑ์ที่สามารถคำนวณได้ในย่อยกำลังสองเวลา

)

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

o (n m)

$o(nm)$

— Daniel Apon

มีการปรับปรุงเล็กน้อยนี้สำหรับกรณีพิเศษของผลิตภัณฑ์แมทริกซ์บูลีนเป็นนาที {

} เมื่อมี

nonzeroes ในการส่งออก (ปรากฏในกระดาษ FOCS'10 ของเรา `` Subcubic Equivalences ระหว่าง Path, Matrix และ Triangle ปัญหา '')

n^{1.3} w^{17 / 30}, n^{2} + w^{47 / 60} n^{13 / 15}

$n^{1.3}w^{17/30}, n^2 + w^{47/60} n^{13/15}$

w

$w$

— virgi

การปรับปรุงล่าสุดเพื่อ

ในกรณีของผลิตภัณฑ์แมทริกซ์บูลีนเป็นarxiv.org/abs/1112.5855ด้วยนอกจากนี้ยังมีการจับคู่ขอบเขตที่ต่ำกว่า

n w^{1 / 2}

$nw^{1/2}$

— Abel Molina

หากคุณสนใจที่จะเพิ่มเมทริกซ์สองตัวและรับผลลัพธ์แบบคลาสสิกกลับมาการตอบสนองของมาร์ตินอาจเป็นคำตอบที่ชัดเจนสำหรับคำถามของคุณ อย่างไรก็ตามหากคุณต้องการคำนวณบางอย่างเช่นคุณสามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพมาก Harrow, Hassidim และ Lloyd มีอัลกอริทึม ( arXiv: 0811.3171 ) สำหรับการคำนวณซึ่งเป็นลอการิทึมเพียงมิติเดียวของเมทริกซ์สำหรับเมทริกซ์แบบกระจัดกระจาย ดูเหมือนว่าจะตรงไปตรงมาเพื่อปรับวิธีการนี้ในการคำนวณผลิตภัณฑ์มากกว่าผู้รุกราน $v^\dagger X Y v$ $v X^{-1} v$ $X$

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

ในกรณีนี้รันไทม์จะยังคงขึ้นอยู่กับหมายเลขเงื่อนไขของเมทริกซ์และเมทริกซ์จะต้องมีรายการที่ซับซ้อน นอกจากนี้หาก X และ Y กระจัดกระจายดังนั้นผลิตภัณฑ์ของพวกเขาคือและ

สามารถประมาณคลาสสิกด้วยการเร่งความเร็วแบบเลขชี้กำลังชนิดเดียวกันโดยใช้การสุ่มแบบสุ่ม

v^{'} X Y v

$v'XYv$

— Aram Harrow

@Aram: จุดดี! ฉันรู้ว่าอัลกอริทึมของคุณใช้กับเมทริกซ์กระจัดกระจาย แต่ฉันก็รู้สึกว่ามันสามารถทำงานกับเมทริกซ์แบบไม่กระจัดกระจายได้เช่นกัน ถูกต้องหรือไม่

— Joe Fitzsimons

ใช่มันใช้ได้กับเมทริกซ์ที่ไม่กระจัดกระจายเมื่อใดก็ตามที่เรารู้วิธีที่ดีในการจำลองมิลโตเนียนส์เหล่านั้น ดังนั้นอาจเป็นสิ่งที่ไม่น่าสนใจที่เป็นไปได้ที่นี่

— Aram Harrow

@Aram: ด้วยการเข้ารหัสที่คุณใช้เราไม่ได้รับการแปลงฟูริเยร์ของเมทริกซ์กระจัดกระจายทั้งหมดผ่าน QFT หรือไม่

— Joe Fitzsimons

@ โจ: ฉันเพิ่งสังเกตเห็นนี้ ใช่เมทริกซ์เหล่านั้น (ซึ่งคุณคิดว่าเป็นเบาบางในพื้นฐานโมเมนตัม) ก็ใช้ได้เช่นกัน นี่คือสิ่งที่ไม่ซ้ำกันสำหรับอัลกอริทึมของเรา ค่อนข้างเป็นคำแถลงเกี่ยวกับชนชั้นของมิลโตเนียนที่เรารู้วิธีจำลองบนคอมพิวเตอร์ควอนตัม

— Aram Harrow