กำหนดอัลกอริทึมแบบขนานสำหรับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟทั่วไป

ในคลาสความซับซ้อนมีปัญหาบางอย่างที่ไม่ควรอยู่ในคลาสN Cเช่นปัญหาของอัลกอริทึมแบบขนานที่กำหนดขึ้น ปัญหาการไหลสูงสุดเป็นหนึ่งในตัวอย่าง และมีปัญหาที่เชื่อกันว่าอยู่ในN Cแต่ยังไม่พบข้อพิสูจน์$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NC}$

การจับคู่ที่สมบูรณ์แบบปัญหาเป็นหนึ่งในปัญหาพื้นฐานส่วนใหญ่เติบโตในทฤษฎีกราฟ: ให้กราฟเราต้องไปหาจับคู่ที่สมบูรณ์แบบสำหรับG ขณะที่ผมสามารถพบได้บนอินเทอร์เน็ตแม้จะมีเวลาพหุนามที่สวยงามอัลกอริทึม Blossomโดยเอ็ดมันด์และอัลกอริทึมแบบขนานแบบสุ่มโดยคาร์พ Upfal และ Wigderson ในปี 1986 เพียงไม่กี่ subclasses ของกราฟเป็นที่รู้จักได้N Cขั้นตอนวิธีการ$G$$G$$\mathsf{NC}$

ในมกราคม 2005 มีการโพสต์ในบล็อกคำนวณซับซ้อนว่าการเรียกร้องก็ยังคงเปิดให้บริการที่สมบูรณ์แบบไม่ว่าจะจับคู่อยู่ใน C คำถามของฉันคือ:$\mathsf{NC}$

มีความคืบหน้าใด ๆ ตั้งแต่นั้นมาเกินสุ่มขั้นตอนวิธีการ?$\mathsf{NC}$

เพื่อชี้แจงความสนใจของฉันอัลกอริทึมใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับกราฟทั่วไปนั้นดี แม้ว่าอัลกอริทึมสำหรับคลาสย่อยของกราฟก็ใช้ได้เช่นกัน แต่นั่นอาจไม่ได้อยู่ในความสนใจของฉัน ขอบคุณทุกคน!

แก้ไขที่ 12/27:

ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือทั้งหมดของคุณฉันพยายามสรุปผลลัพธ์ทั้งหมดในรูปเดียว:

คลาสที่รู้จักต่ำที่สุดมีปัญหาต่อไปนี้:

• การจับคู่ในกราฟทั่วไป: [ KUW86 ], R N C 2 [ CRS93 ]$\mathsf{RNC}$$\mathsf{RNC}^2$
• การจับคู่ในระนาบกราฟสองส่วน / ประเภทสกุลคงที่: / S P L [ DKT10 ] / [ DKTV10 ]$\mathsf{UL}$$\mathsf{SPL}$
• การจับคู่เมื่อจำนวนรวมคือพหุนาม: [ H09 ]$\mathsf{SPL}$
• การจับคู่สูงสุดครั้งแรกเล็ก ๆ น้อย ๆ : [ MS89 ]$\mathsf{CC}$

นอกจากนี้ภายใต้สมมติฐานความซับซ้อนที่เป็นไปได้: ต้องการวงจรแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลการจับคู่ในกราฟทั่วไปอยู่ในS P L [ ARZ98 ]$\mathsf{SPACE[n]}$$\mathsf{SPL}$

อัลกอริทึม N Cสำหรับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟทั่วไปยังคงเปิดอยู่ แต่มีความคืบหน้าอยู่บ้าง นี่คือบางส่วนที่ฉันรู้:$NC$

สำหรับกราฟทั่วไปAgrawal-Hoang-Thieraufแสดงให้เห็นว่าได้รับสัญญาว่าจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบมีขนาดเล็กมีอัลกอริทึมเพื่อแจกแจงทั้งหมด$NC^2$

สำหรับชั้นเรียนของกราฟระนาบpfaffianมีบทบาทสำคัญ Kastelyn แสดงให้เห็นว่ากราฟเชิงระนาบทุกตัวสามารถปรับในลักษณะที่ว่า pfaffian เท่ากับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ (สิ่งนี้ถูกใช้โดย Valiant ในการให้ " อัลกอริทึมโฮโลแกรม " สำหรับปัญหาต่าง ๆ ) Mahajan-Subramanya-Vinayแสดงให้เห็นว่า pfaffian สามารถคำนวณได้ในโดยใช้การดัดแปลงลำดับของ clow (อันที่จริงแล้ว Kastelyn ให้อัลกอริทึมในการค้นหาการฝังในPแต่ฉันไม่แน่ใจว่าการฝัง pfaffian สามารถคำนวณได้ในN Cหรือไม่ถ้าใช่นั่นหมายความว่าการนับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟระนาบอยู่ในN C )$NC$$P$$NC$$NC$

และผลล่าสุดของVinodchandran-Tewariแสดงให้เห็นว่าการแยกแทรกสามารถ "derandomized" สำหรับกราฟระนาบ (โดยใช้ทฤษฎีบทของกรีน) ที่จะนำการเชื่อมระนาบใน L แต่อัลกอริทึมN Cสำหรับการจับคู่ระนาบยังคงเปิดอยู่ (ขอบคุณ Raghunath สำหรับการแก้ไขการอ้างสิทธิ์ของฉันว่าเป็นU L ) N Cอัลกอริทึมสำหรับจ้อระนาบสองฝ่ายได้รับโดยDatta-Kulkarni-รอย$UL$$NC$$UL$$NC$

หวังว่านี่จะช่วยได้

ไม่กี่ปีต่อมา :) และ Perfect Matching เป็นที่รู้จักกันใน Quasi-NC (นั่นคือคุณต้องมีโปรเซสเซอร์หลายตัวที่เป็นแบบ polynomially) ดูกระดาษของ Fenner, Gurjar และ Thierauf (สำหรับกราฟสองฝ่าย) https://arxiv.org/pdf/1601.06319.pdfและงานของเรากับ Ola Svensson (สำหรับกราฟทั่วไป): https://arxiv.org/pdf/1704.01929

การแยกส่วนของเล็มม่าแบบแยกส่วนโดย Tewari-Vinodchandran นั้นไม่ได้ให้ขีด จำกัด บนของ UL ในการจับคู่ระนาบที่น่าเสียดาย ในความเป็นจริงฉันไม่คิดว่าอัลกอริทึม NC ไม่เป็นที่รู้จักสำหรับการจับคู่ระนาบ แต่ในงานล่าสุดกับ Datta, Kulkarni และ Nimbhorkar เราแสดงขอบเขตบนของ UL ในการจับคู่ระนาบ bipartite (การเขียนของผลลัพธ์นี้ยังดำเนินอยู่) สิ่งนี้น่าสนใจเพราะก่อนหน้านี้แม้กระทั่งขอบเขต NL ที่ไม่รู้จักสำหรับปัญหานี้

เมื่อทราบว่าปัญหาการปรับให้เหมาะสมนั้นเป็นเรื่องยากปกติจะต้องดูที่เวอร์ชันสูงสุด ตัวอย่างเช่นในขณะที่ชุดอิสระคือ NP-Complete ชุดอิสระสูงสุดสูงสุดชุดแรกซึ่งเป็น P-Complete

$\sqrt n$

ทุกจุดนี้บอกว่าอาจไม่มีเวอร์ชั่น NC แบบขนานได้อย่างง่ายดายสำหรับเรื่องนี้ แต่ใครจะไปรู้ล่ะ บางคนอาจลดขนาดรุ่น RNC ในสัปดาห์หน้า!

แก้ไข:ขอบคุณ Ramprasad แต่นี่คือลิงค์ไปยังกระดาษอื่น

$(1-\epsilon)-$$NC$$n^{\Theta(1/\epsilon)}$$O(\log^3 n)$

T. Fischer, AV Goldberg, DJ Haglin และ S. Plotkin การจับคู่โดยประมาณในแบบคู่ขนาน ข้อมูล. พร Lett., 46 (3): 115, 1993