ความแม่นยำเชิงตัวเลขในวิธีผลรวมของกำลังสอง?

ผมได้อ่านเกี่ยวกับบิต sum-of-สี่เหลี่ยมวิธี (SOS) จากการสำรวจของ Barak & STEURERและเอกสารประกอบการบรรยายของ Barak ในทั้งสองกรณีพวกเขากวาดประเด็นเรื่องความแม่นยำของตัวเลขใต้พรม

จากความเข้าใจของฉัน (มี จำกัด ) วิธีการดังต่อไปนี้ควรเป็นจริง:

ให้ระบบใด ๆ ของความเท่าเทียมกันของพหุนามมากกว่าตัวแปรมูลค่าจริงโดยที่พารามิเตอร์ทั้งหมดคือ ( ,และระดับของข้อ จำกัด แต่ละระดับ), องศา - " "( ) SOS วิธีพบว่าการกำหนดความพึงพอใจของตัวแปรหรือพิสูจน์ไม่มีอยู่ในเวลา x ∈ R n O ( 1 ) n | E | 2 n = O ( 1 ) O ( 1 $E$$x \in \mathbb{R}^n$$O(1)$$n$$|E|$$2n$$=O(1)$$O(1)$

คำถามแรกของฉันคือการอ้างสิทธิ์ข้างต้นเป็นจริงหรือไม่ (มีข้อโต้แย้งที่ไร้เดียงสาที่ไม่ได้ใช้ SOS เพื่อแก้ปัญหานี้หรือไม่) คำถามที่สองคือที่ความแม่นยำเชิงตัวเลขเข้ากันได้ถ้าฉันต้องการได้รับการมอบหมายที่สอดคล้องกับข้อ จำกัด ทั้งหมดภายในความแม่นยำของการเติมรันไทม์ขึ้นอยู่กับอย่างไร โดยเฉพาะมันคือพหุนามหรือไม่1 /$\varepsilon$$1/\varepsilon$

แรงจูงใจสำหรับสิ่งนี้คือการพูดใช้วิธีการแบ่งและพิชิตบนระบบขนาดใหญ่จนกระทั่งกรณีพื้นฐานเป็นระบบขนาด$O(1)$

แก้ไข:จาก Barak-Steurer ปรากฏว่า " อัลกอริทึมองศาผลรวมของกำลังสอง" ใน p.9 (และย่อหน้าที่นำไปสู่) ทั้งหมดกำหนดปัญหาสำหรับการแก้ปัญหามากกว่าและในความเป็นจริง ความหมายของการหลอกกระจายในส่วน 2.2 เป็นมากกว่า{R} ตอนนี้ฉันเห็นจากเลมม่า 2.2 อย่างไรก็ตามนั่นไม่ได้รับประกันการแก้ปัญหา / การพิสูจน์ที่ระดับโดยไม่มีตัวแปรไบนารีR R 2 $l$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$2n$

ดังนั้นฉันสามารถปรับแต่งคำถามของฉันเล็กน้อย หากตัวแปรของคุณไม่ใช่ไบนารีความกังวลก็คือลำดับของเอาต์พุตไม่แน่นอน (อาจไม่เพิ่มขึ้นแม้แต่ตอนเดียว) ดังนั้นคำถามคือ:ยังคงเพิ่มขึ้นหรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้นคุณต้องไปไกลแค่ไหนเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่เพิ่มขึ้น ? φ ( l )$\varphi^{(l)}$$\varphi^{(l)}$$\varepsilon$

แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย แต่ฉันรู้ว่าระบบของฉันเป็นที่น่าพอใจ (ไม่มีการพิสูจน์ในระดับใด) ดังนั้นฉันจึงกังวลเกี่ยวกับความต้องการของขนาดใหญ่ ในที่สุดฉันสนใจวิธีแก้ปัญหาเชิงทฤษฎีไม่ใช่ตัวแก้เชิงตัวเลข$l$

นี่คือความคิดเห็นของ Boaz Barak เกี่ยวกับปัญหา:

เราทำการกวาดตัวเลขที่มีความแม่นยำภายใต้พรมปูพื้น - ยิ่งเป็น "SOS" วรรณกรรมของ Parrilo, Lasserre ฯลฯ . เกี่ยวข้องกับปัญหาเหล่านี้ (เช่นดูการสำรวจของ Monique Laurent และการอ้างอิงในนั้น) เป็นที่ทราบกันว่าลำดับชั้นเป็นเสียงเดียว (ไม่ยากที่จะเห็นว่าการแจกแจงระดับ psuedo นั้นมีระดับโดยเฉพาะ) และมันจะมาบรรจบกันในขอบเขต จำกัด สำหรับชุดสมการคงที่ใด ๆ (นี่คือ Positivstellensatz) ระดับที่แน่นอนอาจแตกต่างกันไป โดยทั่วไปถ้าค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามทั้งหมดถูกล้อมรอบและคุณพยายามแยกแยะระหว่างกรณีที่มีวิธีแก้ปัญหาและกรณีที่ในการมอบหมายสมการหนึ่งในนั้นถูกปิดโดยเราสามารถแยกแยะสิ่งนี้กับลิตร- 1 ε δ δ $l$$l-1$$\epsilon$$\delta$-net สำหรับที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของตัวแปรระดับของสมการและและจากนั้น (สมมติว่าเน็ตนั้นเพียงพอ "ดี" และ "คิวบ์แบบ") ระดับที่ต้องการควรบันทึกขนาดของเน็ตอย่างคร่าวๆ$\delta$$\epsilon$

ฉันคิดว่าคำตอบของฉันอาจจะไม่เพียงพอ แต่มันก็ยังคงเป็นเพราะเห็นแก่ความสมบูรณ์ (แม้ว่าจะเห็นความคิดเห็นของโบอาสด้านล่างสำหรับคำตอบที่ดีกว่า)

เมื่อเรา จำกัด ตัวเองเป็นตัวแปรบูลีนการเรียกร้องสามารถเห็นได้เมื่อสำหรับด้วยการสังเกตว่าการกระจายหลอกหลอกระดับคือการแจกแจงจริงนั่นคือสมมติว่าคุณ มีการแจกแจงแบบหลอกเหนือโซลูชันของพหุนามของคุณพอใจ:ฉัน∈ [ n ] 2 n μ ( x ) x $(x_i^2-1) \in E$$i \in[n]$$2n$$\mu(x)$$x$$E$

∑ x ∈ { - 1 , 1 } n μ ( x ) p 2 ( x ) ≥ 0 p $\sum_{ x \in \{-1,1\}^n} \mu(x)$และสำหรับทุกพหุนามที่มีระดับที่มากที่สุด$\sum_{x\in\{-1,1\}^n} \mu(x) p^2(x)\ge0$$p$$n$

แต่พหุนามดีกรีมีพหุนามรวมอยู่ด้วย (เช่นมีซึ่งเป็นทั้งหมด - ศูนย์อื่น ๆ และ 1 ในการมอบหมายนั้น) ดังนั้นสำหรับทุกดังนั้นเราจึงสรุปคือการกระจายจริงมากกว่าการแก้ปัญหาของEDegree pseudo-distributions สามารถพบได้โดยใช้การเขียนโปรแกรม semidefinite เพื่อค้นหา degree pseudo-expectation operator ที่เกี่ยวข้องในเวลาดังนั้นเราสามารถหาการแจกแจงที่แท้จริงในเวลา$n$$x_1 = 1, x_2=-1, x_3=1$$2^{-3}(1+x_1)(1-x_2)(1+x_3)$$\mu(x) \ge 0$$x\in\{-1,1\}^n$$\mu$$E$$\ell$$\ell$$n^{O(\ell)}$n O ( n )$\mu$$n^{O(n)}$โดยใช้ที่หลอกคาดหวัง (ตอนนี้ความคาดหวังที่เกิดขึ้นจริง) เพื่อหาช่วงเวลาทั้งหมดของ\$\mu$

ดังนั้นถ้า , แล้วคุณจะพบการกระจายตัวของการแก้ปัญหาไปยังในเวลา แน่นอนว่าการค้นหากำลังเดรัจฉานเป็นการรับประกันแบบเดียวกันE O ( 1 $|E| = O(1)$$E$$O(1)$

อย่างไรก็ตามหากการแก้ปัญหาไม่จำเป็นต้องบูลีนการคาดหวังหลอกระดับจะไม่เพียงพอที่จะหาการกระจายตัวของโซลูชั่น ที่สามารถมองเห็นข้างต้นพิสูจน์ว่าระดับหลอกกระจายการกระจายแท้จริงขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าการศึกษาระดับปริญญาพหุนามมีเพียงพอที่จะ 'เลือก' ที่ได้รับมอบหมายของแต่ละบุคคลซึ่งไม่เป็นความจริงมากขึ้นโดยทั่วไป วิธีการดูว่ามันก็คือว่ามีหลายชื่อบูลตัวแปรจะถือว่าเพื่อศึกษาระดับปริญญาของทุก monomial คือที่มากที่สุดn2 n $2n$$2n$$n$$\mod(x_i^2)$$n$

ตัวอย่างเช่นหนึ่งอาจพิจารณาเปลี่ยนทุกตัวแปรไบนารีกับตัวแปร 4 Ary พูดโดยรวมE จากนั้นคุณจะต้องมีการคาดหวังหลอกระดับเพื่อรับประกันการกู้คืนการแจกจ่ายผ่านโซลูชัน4 $(x_i^2-1)(x_i^2-4) \in E$$4n$

ตอนนี้สำหรับการค้ำประกันทางทฤษฎีดูเหมือนว่าการประมาณรากของระบบของพหุนามเป็นที่รู้จักกันว่าปัญหาที่ 17 ของ Smale และเห็นได้ชัดว่ามีอัลกอริธึมเวลาพหุนามแบบสุ่ม (ลาสเวกัส) ที่แก้ปัญหานี้ - ดูhttp://arxiv.org /pdf/1211.1528v1.pdf โปรดทราบว่านี่น่าจะเป็นในรูปแบบของ Blum-Shub-Smale ดังนั้นการใช้งานจริงจึงเป็นสิ่งดั้งเดิม ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้จะรับประกันว่าคุณต้องการ