Combinator สากลที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้

ฉันกำลังมองหาที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้Combinator สากลวัดจากจำนวนของแนวคิดและการประยุกต์ใช้ที่จำเป็นในการระบุเช่น Combinator ในส่วนแคลคูลัสแลมบ์ดา ตัวอย่างของ combinators สากลรวมถึง:

• ขนาด 23: λf.f (fS (KKKI)) K
• ขนาด 18: λf.f (fS (KK)) K
• ขนาด 14: λf.fKSK
• ขนาด 12: λf.fS (λxyz.x)
• ขนาด 11: λf.fSK

เมื่อ S = λxyz.xz (YZ) ของขนาด 6และ K = λxy.xของขนาด 2มี combinators ของCombinator แคลคูลัส 4 ตัวอย่างแรกที่อธิบายไว้ในบทความนี้

คำถามของฉันคือ:

• มีผู้ประสานสากลที่มีขนาดเล็กกว่านี้หรือไม่?
• Combinator สากลที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้คืออะไร?

แก้ไข:ดู/math//a/180263/76284ซึ่งมีλazbc.bc(a(λy.c))(ซึ่งจะเป็นขนาด 8ตรงกับผลรวมของขนาดของพื้นฐาน SK) ไม่มีใครรู้วิธีแสดง S และ K จากผู้รวมข้อความนี้หรือไม่?

ควรสังเกตว่าการค้นหาผู้ผสานด้วยคุณสมบัติการลดบางอย่างนั้นยากเสมอและการค้นหาผู้ประสานที่น้อยที่สุดนั้นอาจไม่สามารถตัดสินใจได้อย่างง่ายดาย (ด้วยเหตุผลเล็กน้อยเพราะอาจเป็นการตัดสินใจที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่า

มีหลายคำถามเปิดที่เรียบง่ายของรสชาติที่คล้ายกันเช่นปัญหา # 4, # 6 และ # 10 จากรายการ TLCA ปัญหาเปิด

สิ่งหนึ่งที่ควรทราบก็คือ Combinator ของคุณต้องมีตัวแปรที่ถูกผูกไว้อย่างน้อย 2 ตัวซึ่งหนึ่งในนั้นคือการทำซ้ำ นี่ทำให้ขอบเขตที่ต่ำกว่าของ 4 ฉันคิดว่า (2 abstractions และ 2 ปรากฏของตัวแปร) ซึ่งอยู่ไม่ไกลจากขอบเขตบนของ 11

แก้ไข: ความคิดเห็นของ Noam และการอ้างอิงผลักขอบเขตล่างถึง 5! ฉันไม่แปลกใจเลยถ้าหลักฐานนั้นต้องการตัวแปรพิเศษที่จะปรากฏเช่นกันซึ่งจะทำให้เราไปที่ 6

สำหรับคำถามแรกของคุณฉันเชื่อว่าบทความนี้อาจช่วยคุณได้ มันมีแคลคูลัส 6 บิตที่เป็น UTM ด้วย นอกจากนี้ยังมี combinator สากลที่ดูเหมือนว่าจะมีขนาด 7 พร้อมองค์ประกอบหนึ่งที่ให้สิ่งที่คุณต้องการ พวกเขาเรียกมันว่า Zot http://arxiv.org/pdf/cs/0508056v1.pdf

ฉันไม่แน่ใจว่าคุณสามารถพูดหรือพิสูจน์ได้ว่ามี combinator น้อยที่สุด กระดาษแนะนำว่าจะต้องมีอย่างน้อยต้องน้อยกว่า 6 บิต