สูตรที่แน่นอนสำหรับจำนวนต้นไม้ที่ทอดของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

10

บล็อกนี้พูดถึงเกี่ยวกับการสร้าง "เขาวงกตเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่บิดเบี้ยว" โดยใช้คอมพิวเตอร์และระบุ การแจงนับสามารถทำได้โดยใช้อัลกอริทึมของ Wilsonเพื่อรับUSTแต่ฉันจำไม่ได้ว่าสูตรมีจำนวนเท่าไหร่

http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike

ตามหลักการทฤษฎีบททรีเมทริกซ์ระบุจำนวนต้นไม้ที่ทอดของกราฟเท่ากับตัวกำหนดเมทริกซ์ Laplacian ของกราฟ ให้ $G= (E,V)$ เป็นกราฟและ $A$ เป็นเมทริกซ์ adjacency, $D$ เป็นเมทริกซ์ดีกรี, จากนั้น $\Delta = D - A$ กับค่าลักษณะเฉพาะ $\lambda$ , จากนั้น:

k (G) = \frac{1}{n} \prod_{k = 1}^{n - 1} λ_{k}

$k(G) = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k$

ในกรณีที่เป็นการ $m \times n$ สี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งและค่าลักษณะเฉพาะควรใช้รูปแบบที่เรียบง่ายโดยเฉพาะอย่างยิ่งซึ่งผมไม่สามารถหา $A$

อะไรคือสูตรที่แน่นอน (และ asymptotics) สำหรับ # ของต้นไม้ที่ทอดของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $m \times n$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

นี่เป็นตัวอย่างที่ดีของอัลกอริทึมของวิลสันในการดำเนินการ

— john mangual
แหล่งที่มา

2

สารานุกรมออนไลน์ของจำนวนเต็มลำดับสูตรที่แน่นอนดูไม่ง่ายที่จะได้รับ

— Peter Shor

@PeterShor OEIS อ้างอิง: Germain Kreweras, คอมเพล็กซ์และวงจร Euleriens ต้องใช้เวลาหลายชั่วโมงในการวาดกราฟ , J. Combin ทฤษฎี B 24 (1978), 202-212 เขาเป็นวัตถุเดียวกับเราใช่ไหม

— john mangual

m \times n

$m \times n$

9

ตามhttps://www.cse.ust.hk/~golin/pubs/ANALCO_05.pdfไม่มีใครรู้สูตรปิดแบบฟอร์ม

$n$ $m$

\exp (z_{s q} m n)

$\exp (z_{\mathrm{sq}}mn)$

z_{s q} = \frac{4}{π} \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{i}}{(2 i + 1)^{2}} \approx 1.16624

$z_{\mathrm{sq}}=\frac{4}{\pi}\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{(2i+1)^2}\approx 1.16624$

m

$m$

n

$n$

— David Eppstein
แหล่งที่มา

มีสูตร asymptotic ที่แม่นยำสำหรับจำนวนของต้นไม้ที่ทอดในสี่เหลี่ยมผืนผ้า (และลำดับทั่วไปของ subgraphs ที่อธิบายโดย rectilinear polygons) ที่กำหนดไว้ที่นี่: arxiv.org/pdf/math-ph/0011042.pdf (โดยเฉพาะ, ข้อ 2 และข้อเสนอ 13 )

— Lorenzo Najt

อีกครั้งนั่นคือในพื้นที่เก็บข้อมูลฟิสิกส์คณิตศาสตร์ พวกเขาพิสูจน์สูตรเชิงซีเคโทติคอย่างจริงจังหรือว่าพวกเขาใช้เหตุผลเหมือน ansatz ในเชิงฟิสิกส์หรือไม่?

— David Eppstein

เผยแพร่ใน Acta Math 185 (2000) หมายเลข 2, 239-286

— Lorenzo Najt

0

ค่าลักษณะเฉพาะของกราฟสี่เหลี่ยมผืนผ้า m-by-n สามารถนำมาใช้เพื่อให้ได้นิพจน์สำหรับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟดังกล่าว ดูบทความวิกิพีเดีย tilings

— ไทสันวิลเลียมส์
แหล่งที่มา

สิ่งนี้เป็นสิ่งที่น่าสนใจ แต่คุณสามารถอธิบายรายละเอียดของคำถามนี้ได้อย่างไร มีการทำแผนที่ระหว่างการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบและต้นไม้ทอดในกรณีนี้หรือไม่?

— Saeed