ขนาดวงจรที่เล็กที่สุดโดยใช้เกต XOR

สมมติว่าเราได้รับชุดตัวแปร n แบบบูล x_1, ... , x_n และชุดของฟังก์ชัน m y_1 ... y_m โดยที่แต่ละ y_i คือ XOR ของชุดย่อยของตัวแปรเหล่านี้ เป้าหมายคือการคำนวณจำนวนการดำเนินการ XOR ขั้นต่ำที่คุณต้องดำเนินการเพื่อคำนวณฟังก์ชัน y_1 ทั้งหมดเหล่านี้ ... y_m

โปรดทราบว่าผลลัพธ์ของการดำเนินการ XOR พูดได้ว่า x_1 XOR x_2 อาจนำมาใช้ในการคำนวณหลาย y_j แต่ถูกนับเป็นหนึ่ง นอกจากนี้โปรดทราบว่าอาจเป็นประโยชน์ในการคำนวณ XOR ของคอลเลกชันขนาดใหญ่ของ x_i (ใหญ่กว่าฟังก์ชัน y_i ใด ๆ เช่นการคำนวณ XOR ของ x_i ทั้งหมด) เพื่อคำนวณ y_i ได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น

สมมติว่าเรามีเมทริกซ์ไบนารี A และเวกเตอร์ X และเป้าหมายคือการคำนวณเวกเตอร์ Y ซึ่ง AX = Y ซึ่งการดำเนินการทั้งหมดทำใน GF (2) โดยใช้จำนวนการดำเนินการขั้นต่ำ

แม้เมื่อแต่ละแถวของ A มี k อย่างแน่นอน (พูด k = 3) ก็น่าสนใจ ไม่มีใครรู้เกี่ยวกับความซับซ้อน (ความแข็งของการประมาณ) สำหรับคำถามนี้หรือไม่?

Mohammad Salavatiopur

นี่คือ NP-hard ดู: Joan Boyar, Philip Matthews, René Peralta เทคนิคการลดขนาดลอจิกด้วยแอปพลิเคชั่นสู่ Cryptology http://link.springer.com/article/10.1007/s00145-012-9124-7

การลดลงมาจาก Vertex Cover และดีมาก

รับกราฟโดยมี, กำหนดเมทริกซ์เป็น:ถ้าและ , และ . ในคำอื่น ๆ ที่ได้รับตัวแปรเราต้องการที่จะคำนวณเชิงเส้นรูปแบบทั้งหมดEm = | E | m × ( n + 1 ) A A [ i , j ] = 1 j < n + 1 ( i , j ) ∈ E A [ i , n + 1 ] = 1 n + 1 x 1 , $(\{1,\ldots,n\},E)$$m=|E|$$m \times (n+1)$$A$$A[i,j] = 1$$j < n+1$$(i,j) \in E$$A[i,n+1] = 1$$n+1$$x_1,\ldots,x_{n+1}$$m$$x_i+x_j+x_{n+1}$$(i,j) \in E$

ความคิดเล็ก ๆ น้อย ๆ แสดงให้เห็นว่ามีวงจร XOR สำหรับมีประตูพัดลมในการคำนวณการแปลงเชิงเส้นมีประตูเท่านั้นโดยที่คือจุดยอดที่เหมาะสมที่สุดสำหรับกราฟ (คำนวณครั้งแรกสำหรับทุกคนที่อยู่ในจุดสุดยอดโดยใช้การดำเนินงานรูปแบบเชิงเส้นจะคำนวณได้ทั้งหมดในการดำเนินการเพิ่มเติม) ปรากฎว่านี่เป็นขั้นต่ำ วงจรขนาด!$A$$A$$m+k$$k$$x_{i'} + x_{n+1}$$i'$$k$$m$

หลักฐานที่แสดงว่าการลดลงนั้นถูกต้องนั้นไม่ค่อยดีนัก ฉันชอบที่จะเห็นหลักฐานสั้น ๆ ว่าการลดลงนี้ถูกต้อง