ขั้นตอนวิธีการคูณเมทริกซ์เวกเตอร์โดยใช้การเพิ่มจำนวนน้อยที่สุด

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้:

ได้รับเมทริกซ์ เราต้องการที่จะเพิ่มประสิทธิภาพของการเพิ่มจำนวนในขั้นตอนวิธีการคูณสำหรับคอมพิวเตอร์วี↦ M V$M$$v \mapsto Mv$

ฉันพบว่าปัญหานี้น่าสนใจเพราะความซับซ้อนของการคูณเมทริกซ์ (ปัญหานี้เป็นรุ่นที่ จำกัด ของการคูณเมทริกซ์)

รู้อะไรเกี่ยวกับปัญหานี้

มีผลลัพธ์ที่น่าสนใจเกี่ยวกับปัญหานี้กับความซับซ้อนของปัญหาการคูณเมทริกซ์หรือไม่?

คำตอบของปัญหาดูเหมือนว่าจะเกี่ยวข้องกับการหาวงจรที่มีประตูเพิ่มเท่านั้น ถ้าเราอนุญาตให้มีประตูลบ

ฉันกำลังมองหาการลดลงระหว่างปัญหานี้และปัญหาอื่น ๆ

แรงบันดาลใจจาก

• การเพิ่มประสิทธิภาพอัตโนมัติของการคูณเวกเตอร์เมทริกซ์ 0-1
• อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างสมมติฐานเหล่านั้นในทฤษฎีความซับซ้อนแบบละเอียด

นี่คือปัญหาที่กระตุ้นให้องอาจนำความแข็งแกร่งของเมทริกซ์มาสู่ความซับซ้อน (เท่าที่ฉันเข้าใจประวัติศาสตร์)

วงจรเชิงเส้นคือวงจรเชิงพีชคณิตซึ่งมีเพียงประตูเท่านั้นที่เป็นประตูรวมเชิงเส้นแบบสองอินพุต การแปลงเชิงเส้นทุกครั้ง (เมทริกซ์) สามารถคำนวณได้โดยวงจรเชิงเส้นที่มีขนาดกำลังสองและคำถามก็คือเมื่อหนึ่งสามารถทำได้ดีกว่า เป็นที่ทราบกันดีว่าสำหรับเมทริกซ์แบบสุ่มนั้นไม่สามารถทำได้ดีกว่าอย่างมีนัยสำคัญ

เมทริกซ์บางตัว - เช่นเมทริกซ์แปลงฟูริเยร์, เมทริกซ์ของอันดับต่ำหรือเมทริกซ์เบาบาง - สามารถทำได้ดีกว่าอย่างมีนัยสำคัญ

เมทริกซ์ที่แข็งแรงเพียงพอไม่สามารถคำนวณได้โดยวงจรเชิงเส้นที่มีขนาดเชิงเส้นและความลึกของล็อก (Valiant) พร้อมกัน แต่จนถึงทุกวันนี้ก็ยังไม่ทราบเมทริกซ์ที่ชัดเจนซึ่งมีขอบเขตต่ำสุดเชิงเส้นบนขนาดของวงจรเชิงเส้น

ฉันจำไม่ได้ว่าเห็นผลลัพธ์ที่บอกว่ามันยากที่จะคำนวณขนาดของวงจรเชิงเส้นที่เล็กที่สุดสำหรับเมทริกซ์ที่ให้มา แต่ฉันจะไม่แปลกใจถ้ามันเป็น NP-hard

$M$

• $\Omega(n (\log n/\log \log n)^{d-1})$$M$$n\times n$$d$

• $\Omega(n^{4/3})$$M$$n\times n$$d$

• $\tilde{\Omega}(n^{2-2/(d+1)})$$M$$n\times n$$d$

ขอบเขตเหล่านี้ล้วนเป็นสิ่งที่ดีที่สุด ดูบทที่ 6.3 ในหนังสือของ Chazelle