การเดินแบบสุ่มและหมายถึงเวลากดปุ่มในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางอย่างง่าย

ปล่อยให้เป็นกราฟที่ไม่ระบุทิศทางอย่างง่ายบนจุดยอดและขอบ$G=(V,E)$$n$$m$

ฉันพยายามที่จะกำหนดเวลาการทำงานที่คาดหวังของอัลกอริทึมของวิลสันสำหรับการสร้างต้นไม้ทอดแบบสุ่มของGที่นั่นมันแสดงให้เห็นว่าเป็นโดยที่คือเวลากดปุ่มหมายถึง :ที่:$G$$O(\tau)$$\tau$

• $\pi$คือการแจกแจงแบบคงที่ ,$\pi(v)=\frac{d(v)}{2m}$
• $u$เป็นจุดสุดยอดโดยพลการและ
• $H(u,v)$เป็นเวลาตี (AKA เวลาในการเข้าถึง ) คือจำนวนที่คาดหวังของขั้นตอนก่อนที่จะจุดสุดยอดมีการเข้าชมเริ่มต้นจากจุดสุดยอดยู$v$$u$

ขอบเขตบนทั่วไปสำหรับเวลากดปุ่มหมายถึงอะไร และกราฟกรณีที่เลวร้ายที่สุดคือที่เพิ่มเวลาเฉลี่ยในการกดปุ่มให้สูงที่สุดคืออะไร?$G$

เพื่อให้คำถามของฉันชัดเจนฉันไม่ต้องการการคำนวณหรือการพิสูจน์อย่างละเอียด (แม้ว่าพวกเขาอาจจะมีประโยชน์กับคนอื่นที่พบคำถามนี้ในอนาคต) สำหรับฉันเป็นการส่วนตัวการอ้างอิงก็เพียงพอแล้ว

กระดาษกล่าวถึงอัลกอริทึมอื่นโดย Broderที่ทำงานในเวลาที่คาดว่าจะครอบคลุม (ครั้งแรกเมื่อมีการเยี่ยมชมจุดยอดทั้งหมด) จากนั้นมีการกล่าวว่าหมายถึงเวลาในการกดปุ่มนั้นน้อยกว่าเวลาที่ครอบคลุม อย่างไรก็ตามมันให้ขอบเขตของซีมโทติคสำหรับกราฟส่วนใหญ่ (กล่าวคือกราฟขยาย ) เพื่อเปรียบเทียบกับโดย Broder สำหรับกราฟส่วนใหญ่ (ที่มีคำจำกัดความครอบคลุมมากที่สุด )$\Theta(n)$$\Theta(n \log n)$

มันไม่ให้ตัวอย่างของกราฟที่เวลาเฉลี่ยที่ตีเป็นหนึ่งและเวลาปก3) ในขณะที่เรื่องนี้เป็นที่รู้กันว่าเป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุดสำหรับหลังเขาไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับกรณีที่เลวร้ายที่สุดของอดีต นี้จะหมายความว่ากรณีที่เลวร้ายที่สุดสำหรับขั้นตอนวิธีการของวิลสันอาจตกอยู่ที่ใดก็ได้ระหว่างและ3)$\Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$$O(n^2)$$O(n^3)$

มีการนำไปใช้งานของอัลกอรึทึมของ Wilson สองอย่างที่ฉันทราบ หนึ่งคือในBoost ห้องสมุดกราฟในขณะที่สองอยู่ในกราฟเครื่องมือ เอกสารของอดีตไม่ได้กล่าวถึงเวลาทำงานในขณะที่รัฐหลัง:

เวลาทำงานปกติสำหรับกราฟสุ่มคือn)$O(n \log n)$

ซึ่งไม่ตอบคำถามและจริง ๆ แล้วดูเหมือนจะขัดแย้งกับกระดาษของวิลสัน แต่ฉันรายงานสิ่งนี้ในกรณีเพื่อประหยัดเวลาของใครก็ได้ด้วยความคิดเดียวกันกับเอกสารการใช้งานการให้คำปรึกษา

ผมหวังแรกว่ากรณีที่เลวร้ายที่สุดอาจจะบรรลุโดยกราฟที่สร้างโดยการแนบเส้นทางไปยังก๊กเนื่องจากLovászที่เวลาตีสามารถจะสูงถึง3) อย่างไรก็ตามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือเมื่อเลือกจุดยอดจากการแจกแจงแบบคงที่ ดังนั้นให้ผลที่ถูกผูกไว้กับสำหรับเวลาที่กดปุ่มเฉลี่ยในกราฟนี้$\Omega(n^3)$$\frac{1}{n}$$O(n^2)$

กระดาษโดยBrightwell และเคลอร์แสดงให้เห็นว่าเป็นส่วนหนึ่งของกราฟอมยิ้มเพิ่มเวลาตีคาดว่าถึง4nกราฟโดยLovászยังเป็นกราฟอมยิ้ม แต่ในกรณีนี้ขนาดของกลุ่มคือมากกว่าครึ่ง อย่างไรก็ตามการดูแลจะต้องไม่ทำให้สับสนเวลาที่คาดหวังกับเวลาในการกดปุ่มเฉลี่ย ผลลัพธ์นี้เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้หมายถึงเวลาในการชนที่คาดไว้สำหรับสองจุดยอดที่เลือกไว้ล่วงหน้า$4n^3/27$$\frac{2}{3} n$

ฉันตัดสินใจถาม David Wilson เองหลังจากนั้นไม่นานก็ได้รับคำตอบ:

สำหรับกราฟไม่มีทิศทางในจุดในเวลาเฉลี่ยกรณีเลวร้ายที่สุดคือการกดปุ่ม3) ตัวอย่างที่เป็นกราฟ barbellซึ่งประกอบด้วยสอง cliques ขนาดเชื่อมต่อด้วยเส้นทางของความยาว 3 ฉันไม่รู้ว่าค่าคงที่แย่ที่สุดคืออะไร [การ Brightwell-เคลอร์] กระดาษรูปลักษณ์ที่ (คาดว่า) กดปุ่มครั้งเริ่มต้นที่และสิ้นสุดที่Yเวลากดปุ่มเฉลี่ยคือค่าเฉลี่ยของสำหรับค่าคงที่และตัวเลือกแบบสุ่มของΘ ( n 3 ) n / 3 n / 3 H ( x , y ) x y H ( x , y ) x $n$$\Theta(n^3)$$n/3$$n/3$$H(x,y)$$x$$y$$H(x,y)$$x$$y$จากการกระจายแบบนิ่งของการเดินแบบสุ่ม มันเป็นความจริงที่ดีที่สิ่งนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ$x$. ฉันเรียนรู้เกี่ยวกับการกดปุ่มครั้งจากหนังสือAldous-Fillซึ่งยังไม่เสร็จ แต่อยู่บนเว็บ

แม้จะมีหลักฐานของความจริงข้อนี้ในหนังสือข้างต้นซึ่งมีลักษณะเช่นนี้:

$n=2n_1+n_2$$n_1$$v_l \neq v_L$$v_R \neq v_r$$v_L - w_1 - \cdots w_{n_2} - v_R$

$n_1$$v_L$$\frac{1}{n_1}$$w_1$$n_1^2$$w_1$$w_1$$\frac{1}{n_2}$$n_1^2 n_2$

$n_1 = n_2 = n/3$$O(n^3)$

เป็นที่ยอมรับว่าฉันแพ้ ณ จุดที่รัฐระบุ:

$w_1$$\frac{1}{n_2}$

$\frac{(n+1)^3}{54}$

อย่างไรก็ตามความคิดเห็นเกี่ยวกับหลักฐานทางการยังคงยินดีต้อนรับ

ในกระดาษเมื่อเร็ว ๆนี้เราพบว่าขอบเขตบน mn (ไม่มี O ใหญ่) บนจำนวนที่คาดหวังของ "รอบ popped" โดยอัลกอริทึมของวิลสันและมันแน่นถึงค่าคงที่ มันไม่ได้ตอบคำถามของเวลาทำงานของอัลกอรึทึมของ Wilson โดยตรงเนื่องจากขนาดเฉลี่ยของวงจร popped นั้นดูเหมือนจะไม่ชัดเจน ในทางกลับกันฉันไม่มี "ชื่อเสียง" เพียงพอที่จะแสดงความคิดเห็น ...