มีอัลกอริทึมเชิงเส้นเวลาแบบไม่กำหนดสำหรับ CNF-SAT หรือไม่?

ปัญหาการตัดสินใจของ CNF-SAT สามารถอธิบายได้ดังต่อไปนี้:

อินพุต:สูตรบูลีนในรูปแบบปกติซึ่งเชื่อมต่อกัน $\phi$

คำถาม:จะมีอยู่การกำหนดตัวแปรที่ตอบสนอง ? $\phi$

ฉันกำลังพิจารณาแนวทางที่แตกต่างกันสำหรับการแก้ CNF-SAT ด้วยเครื่องทัวริงสองเทปที่ไม่สามารถกำหนดค่าได้

ผมเชื่อว่ามี NTM ที่แก้ CNF-SAT ในขั้นตอน $n \cdot \texttt{poly}(\log(n))$

คำถาม:มี NTM ที่สามารถแก้ CNF-SAT ในขั้นตอนได้หรือไม่? $O(n)$

การอ้างอิงที่เกี่ยวข้องใด ๆ ที่ได้รับการชื่นชมแม้ว่าพวกเขาจะให้แนวทางเชิงเส้นที่ไม่ใช่เวลาที่กำหนด

— Michael Wehar
แหล่งที่มา

Santhanam ในปี 2544 เขียนว่า: "SAT

NTIME (

polylog

), ผลลัพธ์ที่ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า SAT สามารถได้รับการยอมรับในเวลา

polylog

ใน NRAM และมีการจำลอง NRAMs ที่มีประสิทธิภาพโดย NTMs เนื่องจาก Gurevich และ Shelah " ดังนั้นจึงดูเหมือนว่าไม่น่ากับผมว่า SAT

ntime (

) เป็นที่รู้จักกัน (อ้างอิงถึง LNCS 363 จากปี 1989)

\in

$\in$

n

$n$

(n)

$(n)$

n

$n$

(n)

$(n)$

\in

$\in$

n

$n$

— András Salamon

@Boson สมมติว่าคุณได้รับไม่ใช่แค่การมอบหมายที่น่าพอใจ แต่ยังเป็นการคำนวณสูตรที่สมบูรณ์ คุณจะตรวจสอบว่ามันเป็นการคำนวณที่ถูกต้องในเวลาเชิงเส้นหรือไม่? ยังไม่ชัดเจนแม้คุณสามารถทำได้เพื่อ 3CNF-SAT เพราะคุณต้องข้ามไปรอบ ๆ เพื่อค้นหาการกำหนดค่าให้กับตัวแปร

— Kaveh

@Boson มันไม่ชัดเจนถ้าคุณสามารถตรวจสอบได้ว่าการมอบหมายเป็นไปตามสูตรในเวลาเชิงเส้นด้วยสองเทป TM คุณอาจต้องย้ายหัวเทปไปมาหลายครั้ง หากคุณมีวิธีการที่มีประสิทธิภาพสำหรับการตรวจสอบนี้โปรดแจ้งให้เราทราบ :)

— Michael Wehar

ข้อควรทราบ: หากตัวแปรมีการแสดงในเอกนารี (SAT ยังคงเป็น NPC) แสดงว่ามีสองเทป NTM ที่รับรู้สูตรที่น่าพึงพอใจแบบเอกภาพ

ใน

ขั้นตอน

φ

$\varphi$

2 | φ |

$2|\varphi|$

— Marzio De Biasi

@MichaelWehar หากคุณใช้การเรียงลำดับการนับคุณสามารถเรียงลำดับปุ่ม n ในช่วง [0, k] ในเวลา O (n + k) ในรูปแบบการเข้าถึงแบบสุ่มที่สมเหตุสมผล (เช่นเครื่องเข้าถึงทัวริงแบบสุ่มซึ่งคุณสามารถใช้ O (บันทึก) n) เวลาที่จะเขียนดัชนีจากนั้นสามารถข้ามไปที่ดัชนีของเทปใน 1 ขั้นตอน) หากคุณเข้ารหัสแต่ละตัวอักษรเป็นสตริงบิต (log n + 1) จำนวนคำสั่งและตัวแปรทั้งหมดจะอยู่ที่ O มากที่สุด (n / log n) ซึ่งในกรณีนี้การดำเนินการ O (log n) - ในตัวอักษรทั้งหมด เป็นเรื่องปกติ การขยายไปยังสองเทป TM นั้นไม่ได้ตรงไปตรงมาอย่างน้อยก็มีการเรียงลำดับการนับ

— Ryan Williams

คำตอบ:

นี่เป็นเพียงความคิดเห็นเพิ่มเติม ไม่กี่ครั้งที่ผ่านมาฉันถาม (ตัวเอง :-) มัลติทาสก์แบบ NTT ที่รับภาษา NP-complete ที่เข้ารหัสได้อย่างรวดเร็ว ฉันมากับความคิดนี้:

3-SAT ยังคง NP-complete แม้ว่าตัวแปรจะแสดงใน unary โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราสามารถแปลงประโยค - สมมติว่า - ของพลสูตร 3-SAT บนตัวแปรและคำสั่งในลำดับของตัวละครมากกว่าตัวอักษรซึ่งเกิดขึ้นทุกตัวแปรที่แสดงใน unary: $(x_i \lor \neg x_j \lor x_k)$ $\varphi$ $n$ $m$ $\Sigma = \{ +, -, 1 \}$

$+ 1^{i} 0,- 1^{j} ,+ 1^{k}$

ตัวอย่างเช่นสามารถแปลงเป็น: $(x_2 \lor -x3 \lor +4)$

+110-1110+11110

ดังนั้นเราจึงสามารถแปลงสูตร 3-SAT ในสตริงที่เทียบเท่าเชื่อมประโยคของมัน ภาษาคือ NP-complete $\varphi_i$ $U(\varphi_i)$ $L_U = \{ U(\varphi_i) \mid \varphi_i \in 3-SAT \}$

NTM 2 เทปสามารถตัดสินใจได้ว่าสตริงในเวลาทางนี้. $x \in L_U$ $2|x|$

หัวแรกสแกนอินพุตจากซ้ายไปขวาและด้วยตรรกะภายในจะติดตามเมื่อเข้าหรือออกจากประโยคหรือถึงจุดสิ้นสุดของสูตร เมื่อใดก็ตามที่พบหรือหัวที่สองเริ่มเคลื่อนไหวที่เหมาะสมกับมันในที่แสดงถึงฉันในตอนท้ายของ , ถ้าหัวที่สองอยู่บนมันจะเดาค่าความจริงหรือ (มันทำการมอบหมาย) และเขียนลงบนเทปที่สอง; หากพบว่าหรือจากนั้นตัวแปรนั้นได้รับการกำหนดค่าแล้ว $+$ $-$ $1^i$ $x_i$ $1^i$ $0$ $+$ $-$ $+$ $-$
ในทั้งสองกรณีโดยใช้ตรรกะภายใน NTM ตรงกับค่าความจริงภายใต้หัวสอง (ที่ได้รับมอบหมาย) ที่เห็นครั้งสุดท้ายหรือ ; หากพวกเขาตรงกันแล้วข้อก็พอใจ $+$ $-$
จากนั้นส่วนที่สองสามารถกลับไปที่เซลล์ขวาสุด;
ด้วยตรรกะภายใน NTM สามารถติดตามได้หากคำสั่งทั้งหมดมีความพึงพอใจในขณะที่ส่วนหัวแรกเคลื่อนไปที่ส่วนท้ายของอินพุต

ตัวอย่าง:

Tape 1 (formula)    Tape 2 (variable assignments)
+110-1110+11110...  0000000000000...
^                   ^
+110-1110+11110...  0000000000000...
 ^                  ^
+110-1110+11110...  0000000000000...
  ^                  ^
+110-1110+11110...  0+00000000000... first guess set x2=T; matches +
  ^                  ^               so remember that current clause is satisfied
+110-1110+11110...  0+00000000000... 
  ^                  ^
...
+110-1110+11110...  0+00000000000... 
    ^               ^
...
+110-1110+11110...  0++0000000000... second guess set x3=T
       ^              ^              don't reject because current
                                     clause is satisfied (and in every
                                     case another literal must be parsed)

เวลาสามารถลดลงเป็นหากเราเพิ่มสัญลักษณ์ที่ซ้ำซ้อนลงในการแสดงคำสั่งย่อย: $|x|$

$+ 1^{i} 0^i,- 1^{j} 0^j ,+ 1^{k} 0^k \; ... \; \text{+++}$

$\text{+++}$

$0^i$ $\text{++}$ $\text{+++}$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

v

$v$

v

$v$

2

$2$

2 n

$2n$

v

$v$

v - 1

$v-1$

2 n - c

$2n - c$

n

$n$

c

$c$

Θ (n \sqrt{n})

$\Theta(n\sqrt{n})$

Ω (n^{2} / (\log n)^{1 + ε})

$\Omega(n^2/(\log n)^{1+\varepsilon})$

O (n^{3} / (\log n)^{ε^{'}})

$O(n^3/(\log n)^{\varepsilon'})$

ไม่ใช่สิ่งที่คุณกำลังมองหา แต่สำหรับ NTM แบบ 1 เทปคำตอบน่าจะเป็นลบ: SAT ไม่สามารถแก้ไขได้โดย NTM แบบ 1 เทปในเวลาเชิงเส้นแบบไม่กำหนดเวลา

$REG$ $o(n \log(n))$ $o(n \log(n))$

— Boson
แหล่งที่มา

ทฤษฎีบทนั้นเป็นเพียงเครื่องจักรทัวริงหัวเดียว

$\:$ (ตัวอย่างเช่นเครื่องทัวริงสองหัวสามารถตัดสินใจภาษา Palindromeในเวลาเชิงเส้นและพื้นที่คงที่ได้อย่างง่ายดาย)

$\;\;\;\;$

มันเยี่ยมมาก! ขอบคุณมาก. แต่ฉันสนใจมากที่สุดในกรณีสองเทป :)

— Michael Wehar

ในฐานะ @Ricky เขียน AFAIK ยังคงสอดคล้องกับสิ่งที่เรารู้ว่า SAT อยู่ในช่วงเวลาเชิงเส้น ในการพิสูจน์ว่าเป็นอย่างอื่นคุณจะต้องใช้เวลาขั้นต่ำสุดสำหรับ SAT และเราไม่มีเลย (ดูเหมือนจะไม่ใกล้เคียงกัน)

— Kaveh