ให้กราฟฟรี 4 รอบ

ปัญหา -cycle เป็นดังนี้: $k$

เช่น:ไม่มีทิศทางกราฟกับ $G$ $n$ vertices and up to $n \choose 2$ edges.

Question: Does there exist a (proper) $k$ -cycle in $G$ ?

Background: For any fixed $k$ , we can solve $2k$ -cycle in $O(n^2)$ time.

Raphael Yuster, Uri Zwick: Finding Even Cycles Even Faster. SIAM J.
Discrete Math. 10(2): 209-222 (1997)

However, it is not known if we can solve 3-cycle (i.e. 3-clique) in less than matrix multiplication time.

My Question: Assuming that $G$ contains no 4-cycles, can we solve the 3-cycle problem in $O(n^2)$ time?

David suggested an approach for solving this variant of the 3-cycle problem in $O(n^{2.111})$ time.

— Michael Wehar
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่าถ้าเป็นกราฟ

G

$G$ วัฏจักรที่เล็กที่สุดของมีความยาวอย่างน้อย 5 แล้วก็มีอย่างน้อยที่สุด

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$ ขอบ ลิงก์: link.springer.com/article/10.1007%2FBF01787638

— Michael Wehar

Additional info can be found in this paper: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.94.8121

— Michael Wehar

ฉันคิดว่าคุณอาจสนใจEisenbrand, Friedrich และ Fabrizio Grandoni "ความซับซ้อนของกลุ่มพารามิเตอร์คงที่และชุดควบคุม" วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 326.1 (2004): 57-67 (ในกรณีที่คุณไม่ทราบมาก่อน)

— Juho

คำตอบ:

ใช่เรื่องนี้เป็นที่รู้จักกัน มันปรากฏในการอ้างอิงที่ต้องอ้างอิงในการค้นหารูปสามเหลี่ยม ...

คือ Itai และ Rodeh แสดงใน SICOMP 1978 วิธีค้นหาใน $O(n^2)$ เวลารอบในกราฟที่มีขอบมากกว่าหนึ่งรอบมากกว่าความยาวต่ำสุด (ดูสามประโยคแรกของนามธรรมที่นี่: http://www.cs.technion.ac.il/~itai/publications/Algorithms/min-circuit.pdf ) มันเป็นขั้นตอนง่าย ๆ ตามคุณสมบัติของความกว้างแรก ค้นหา.

ดังนั้นหากกราฟของคุณไม่มีวัฏจักร 4 รอบและมีรูปสามเหลี่ยมอัลกอริธึมของพวกเขาจะต้องส่งออกเพราะมันไม่สามารถส่งออก 5 รอบหรือมากกว่า

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

มันไม่ใช่สมการกำลังสอง แต่ Alon Yuster และ Zwick ("การค้นหาและการนับรอบความยาวที่กำหนด", Algorithmica 1997) ให้อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาสามเหลี่ยมในเวลา $O(m^{2\omega/(\omega+1)})$ ที่ไหน $\omega$ เป็นเลขชี้กำลังสำหรับการคูณเมทริกซ์ที่รวดเร็ว สำหรับกราฟ 4 รอบปราศจากการเสียบปลั๊ก $\omega<2.373$ และ $m=O(n^{3/2})$ (อื่นมี $4$ - จักรยานโดยไม่คำนึงถึงการดำรงอยู่ของ $3$ - ภาษี) ให้เวลา $O(n^{3\omega/(\omega+1)})=O(n^{2.111})$ .

— David Eppstein
แหล่งที่มา

This is great! I really appreciate it. :)

— Michael Wehar

Yep, if a graph has no 4-cycles, then it has at most

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$ edges. Link: books.google.com/…

— Michael Wehar

Feel free to correct me if I'm wrong. It seems that "The Even Circuit Theorem" by Erdos says that if a graph is

2 k

$2k$ -cycle free, then it has at most

O (n^{1 + \frac{1}{k}})

$O(n^{1+\frac{1}{k}})$ edges. Link: sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X99901073

— Michael Wehar

As a result, if a graph has no 6 cycle, then it has at most

O (n^{\frac{4}{3}})

$O(n^{\frac{4}{3}})$ edges. Therefore, we can determine if it has a 3-cycle in

O (n^{1.876})

$O(n^{1.876})$ time using the method that David suggested. :)

— Michael Wehar

Further, for any fixed

k > 2

$k > 2$ , if

G

$G$ is

2 k

$2k$ -cycle free, then we can determine if

G

$G$ has a 3-cycle in subquadratic time because

G

$G$ doesn't have too many edges. However, when

k = 2

$k = 2$ , that's when things get interesting. Can we beat

O (n^{2.111})

$O(n^{2.111})$ ?

— Michael Wehar