การหาคำตอบที่กระจัดกระจายไปยังระบบของสมการเชิงเส้น

การหาคำตอบที่กระจัดกระจายไปหาระบบสมการเชิงเส้นเป็นเรื่องยากแค่ไหน?

พิจารณาปัญหาการตัดสินใจต่อไปนี้อย่างเป็นทางการมากขึ้น:

: เช่นระบบสมการเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและตัวเลขค$c$

คำถาม:มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบที่มีตัวแปรอย่างน้อยที่$c$กำหนดให้เป็นศูนย์หรือไม่?

ฉันยังพยายามหาสิ่งที่พึ่งพาอาศัยกันอยู่บนค$c$นั่นคืออาจจะเป็นปัญหากับเอฟพีทีพารามิเตอร์ค$c$

ความคิดหรือการอ้างอิงใด ๆ ที่ชื่นชมจริง ๆ

พิจารณาปัญหา$\text{MAX-LIN}(R)$ของการเพิ่มจำนวนสมการเชิงเส้นที่น่าพอใจให้กับวงแหวนบางตัว$R$ซึ่งมักจะเป็นปัญหา NP-hard ตัวอย่างเช่นในกรณี$R=\mathbb{Z}$

ยกตัวอย่างของปัญหานี้โดยที่Aคือเมทริกซ์n × m ให้k = M + 1 สร้างระบบเชิงเส้นใหม่~ ~ x = ~ ขที่~เป็นk n × ( k n + ม. )เมทริกซ์~ xคือตอนนี้( k n + ม. )มิติเวกเตอร์และ~ $Ax=b$$A$$n\times m$$k=m+1$$\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{b}$$\tilde{A}$$kn \times (kn+m)$$\tilde{x}$$(kn+m)$$\tilde{b}$เป็นเวกเตอร์ขนาด :$kn$

ที่ฉันnเป็นn×nเมทริกซ์เอกลักษณ์

หมายเหตุว่าระบบนี้มีความพึงพอใจอยู่เสมอโดยเวกเตอร์ T ในความเป็นจริงmรายการแรกของ˜ xสามารถสุ่มได้และมีเวกเตอร์โซลูชันพร้อมคำนำหน้านั้น$\tilde{x} = \begin{pmatrix} 0 & b & b & \cdots & b \end{pmatrix}^T$$m$$\tilde{x}$

ตอนนี้ผมอ้างว่าส่วนของสมการx = Bมี IFF พอใจมีอยู่แก้ปัญหาเบาบางของ~ ~ x = ~ ขซึ่งมีอย่างน้อยδ n kศูนย์ นี่เป็นเพราะทุกแถวที่น่าพอใจของA x = bให้ค่าk ที่มีศักยภาพเป็นศูนย์เมื่อxขยายเป็น˜ $\delta$$Ax=b$$\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$$\delta nk$$Ax=b$$k$$x$$\tilde{x}$

ดังนั้นหากเราพบ sparsity ของการแก้ปัญหาเส้นเล็กไปเราได้ขยายยังδ , โดยการหาร sparsity โดยk$\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$$\delta$$k$

ดังนั้นฉันเชื่อว่าปัญหาของคุณคือปัญหายาก

ปัญหาคือปัญหาที่ทำให้เสร็จสมบูรณ์โดยการลดลงจากปัญหาต่อไปนี้: ได้รับเมทริกซ์กับรายการจำนวนเต็มและเวกเตอร์จำนวนเต็มกับรายการ , มี 0-1 เวกเตอร์กับหรือไม่?A b n x A x = $m\times n$$A$$b$$n$$x$$Ax=b$

ทุกประสานงานของเวกเตอร์ , $x_i$$x$

• แนะนำสมการใหม่ด้วยและ x i + y i , k = 0 k = 1 , … , 100 ( n + m $100(n+m)$$x_i+y_{i,k}=0$$k=1,\ldots,100(n+m)$
• แนะนำใหม่สมกับm) x i + z i , k = 1 k = 1 , … , 100 ( n + m $100(n+m)$$x_i+z_{i,k}=1$$k=1,\ldots,100(n+m)$

นอกจากใช้ระบบสมเก่า b$Ax=b$

มีโซลูชัน 0-1 สำหรับระบบดั้งเดิมหากหากว่าระบบใหม่มีโซลูชันที่ตัวแปรอย่างน้อยเป็นศูนย์100 ( n + m ) $Ax=b$$100(n+m)n$

นี้เรียกว่าปัญหาเส้นเล็กโซลูชั่นเวกเตอร์และเป็นจริง NP-ยาก

ปัญหานี้ยากในการตั้งค่าต่าง ๆ ตามที่ระบุไว้ในคำตอบอื่น ๆ สำหรับคำถามนี้ปัญหาคือ NP-complete บนจำนวนเต็ม

ในการประมวลผลสัญญาณ, เมทริกซ์และเวกเตอร์มีรายการเหตุผลและปัญหานี้บางครั้งเรียกว่าปัญหาการฟื้นฟูเบาบาง ในการตั้งค่านี้ปัญหาคือปัญหาNP-complete (ดูทฤษฎีบท 1)

ในทฤษฎีการเข้ารหัสรายการมาจากเขตข้อมูลที่ จำกัด และบางครั้งปัญหานี้เรียกว่าปัญหาการถอดรหัสโอกาสสูงสุด ในการตั้งค่านี้ปัญหาคือปัญหาNP-completeและไม่ได้อยู่ในเวลาเอ็กซ์โปแนนเชียลสมมติว่าสมมติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล ยิ่งกว่านั้นตามรายงานฉบับก่อนหน้าของarXiv (ดูเลมม่า C.2 ในฉบับที่ 1 ของกระดาษ) ปัญหาคือ W [1] - สมบูรณ์