หลักฐานเชิงโต้ตอบของจำนวนของพระเจ้า?

ฉันได้เรียนรู้เกี่ยวกับบทพิสูจน์เชิงโต้ตอบเมื่อเร็ว ๆ นี้และฉันก็สงสัยว่าสิ่งทั้งหมดนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าความอยากรู้อยากเห็นทางทฤษฎีหรือว่ามันมีการใช้งานจริง ฉันคิดว่าฉันจะเริ่มต้นด้วยตัวอย่างที่เกิดขึ้นกับฉันในห้องอาบน้ำ:

เมื่อไม่นานมานี้มีการประกาศข่าวว่า "หมายเลขของพระเจ้า" = 20 (หมายเลขของพระเจ้าคือจำนวนขั้นตอนที่น้อยที่สุดที่จำเป็นในการแก้ Cube ของรูบิค) ในขณะที่สิ่งนี้น่าสนใจทีเดียวดูเหมือนว่าจะมีการบิดตัวเล็กน้อย ... นี่ไม่ใช่ข้อพิสูจน์ "ปกติ" ในตำราเรียนความรู้สึกเชิงพหุนามเวลาที่พิสูจน์ได้ การพิสูจน์นี้มีรสชาติ "กำลังดุร้าย" อย่างชัดเจนโดยที่ฉันหมายความว่าเป็ดในห้องทดลองของดร. มอร์ลี่ย์พยายามพันล้านและการรวมกันของก้อนลูกบาศก์ในซูเปอร์คอมพิวเตอร์ขนาดใหญ่ของ Google เพื่อค้นหาขอบเขตล่างที่เรียบร้อยและแน่น

อย่างไรก็ตามคำถามคือเราจะมั่นใจได้อย่างไรว่าดร. มอร์ลี่ย์เดวิดสันและทีมของเขาซื่อสัตย์? ทันทีที่สามารถโยนการโต้แย้งจากผู้มีอำนาจออกไปนอกหน้าต่างเพราะมันไม่ได้เข้มงวดทางคณิตศาสตร์ ทางเลือกที่ชัดเจนคือการตรวจสอบหลักฐานอีกครั้งโดยการตรวจสอบซอร์สโค้ดและดำเนินการทั้งหมดอีกครั้งซึ่งดูเหมือนว่าจะเป็นการเสียทรัพยากรการคำนวณที่น่ากลัวอย่างมากและไม่ต้องพูดถึงความจริงที่ว่าทุกคนที่ต้องการเชื่อมั่นในสิ่งนี้ จำเป็นต้องทำในเวิร์กสเตชันของเขาเอง - ข้อเสนอที่น่าเบื่อมากและไม่เป็นที่พอใจสำหรับความสงสัยที่แท้จริง ดังนั้นสิ่งนี้จึงดูเหมือนว่าเป็นโรคเนื้องอกในสมองชนิดหนึ่ง

ดังนั้นสิ่งที่ผมเชื่อว่าเป็นตรงนี้เป็นสถานการณ์ที่เราต้องพิสูจน์โต้ตอบ Supercomputer ของ Google อาจเป็น Prover ที่ทรงพลัง แต่หลอกลวงและเราเป็นผู้สงสัยหากไม่ใช่สมาชิกสาธารณะของสาธารณะก็คือ Verifiers ที่มีข้อ จำกัด ของพหุนาม ถ้าเราสามารถสืบค้นจำนวน "พหุนาม" ของเราได้หลายครั้งและเชื่อมั่นในขอบเขตที่ต่ำกว่านี้เราอาจมั่นใจได้ว่าเขาถูกต้องโดยปราศจากข้อสงสัยที่สมเหตุสมผล

ดังนั้นดูเหมือนว่าปัญหาการตัดสินใจ "หมายเลขของพระเจ้าคือ <20" อยู่ในหรือสามารถปรับปรุงได้ดังต่อไปนี้ (ไม่เป็นทางการ)$\Pi_2^p$

สำหรับทุกชุดเริ่มต้นใน Rubik 's Cube มีอยู่แก้ปัญหาซึ่งจะใช้เวลา <= 20 ขั้นตอนเป็นβซึ่งจะช่วยแก้มัน$\alpha$$\beta$

(ไม่แน่ใจว่าถูกต้องหรือไม่ แต่และβมีทั้งขนาดเล็กให้กำหนดค่าเริ่มต้นและวิธีแก้ปัญหาง่ายต่อการตรวจสอบว่าจริง ๆ แล้วแก้ปัญหาลูกบาศก์)$\alpha$$\beta$

และปัญหาการตัดสินใจ "หมายเลขของพระเจ้าคือ 20" สามารถเรียกคืนเป็น

หมายเลขของพระเจ้าคือ <20 และมีวิธีแก้ปัญหาสำหรับการรวมกันเริ่มต้นของลูกบาศก์ของรูบิคซึ่งใช้เวลา 20 ขั้นตอน

ดังนั้นอาจมีหลักฐาน IP [n] สำหรับเรื่องนี้ (ตรวจสอบผลงานของฉันอีกครั้ง)

คำถามของฉันคือสองเท่า

1. มีวิธีการทำเช่นนี้จริง?
2. มีตัวอย่างอื่นใดของการใช้ "pratical" ในการพิสูจน์แบบโต้ตอบ?

... มันดูเหมือนว่าปัญหาการตัดสินใจ "จำนวนของพระเจ้าคือ <20" โกหกใน 2$\Pi_2^p$

นั่นก็เพียงพอแล้วที่จะมีหลักฐานการโต้ตอบ อันที่จริงลุนด์และคณะ พิสูจน์ได้ว่าทุกภาษาในลำดับชั้นพหุนาม (PH) มีหลักฐานการโต้ตอบโดยใช้ทฤษฎีบทของโทดะ ( ) พวกเขาลดL ∈ P Hเป็น # P-สมบูรณ์ภาษาถาวรและให้วิธีพีชคณิตซึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ถาวรแบบโต้ตอบ (สิ่งนี้ไม่ถูกต้องอย่างมากโปรดดูกระดาษสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม)$\rm{PH} \subseteq P^{\#P}$$L\in \rm{PH}$

โดยใช้เทคนิคของพวกเขาพิสูจน์ให้เห็นว่ามิร์IP = PSPACE

ก่อนหน้านี้พิสูจน์แล้วว่าIP ทั้งหมดมีการพิสูจน์ความรู้ที่ไม่มีศูนย์ดังนั้น:

ทุกภาษาใน PSPACE มีการพิสูจน์แบบไม่มีการโต้ตอบความรู้

ระบุว่า$20$คือเส้นผ่านศูนย์กลาง (หมายเลขพระเจ้า) ของกลุ่ม Cube Rubik ของ$G$ภายใต้ตัวชี้วัดแบบครึ่งทางด้วย Singmaster สร้างชุด$s=\langle U, U', U^2, D, D', D^2,\cdots\rangle$ยอดเยี่ยม ผลลัพธ์. ฉันอยากรู้เกี่ยวกับการติดตามคำถามเช่นการกำหนดจำนวนบิดครึ่งหัน$m$ก็จะใช้เวลาที่จะได้รับก้อนอย่างเต็มที่ "ผสม" เพื่อ$\epsilon$ -close กับเครื่องแบบกระจายนิ่งπ $\pi$

ฉันเชื่อว่าการผสมดังกล่าวแสดงให้เห็นถึงการตัดประเด็นสำหรับ$n\lt m$การกำหนดค่าบางอย่างมีแนวโน้มมากกว่าผู้อื่นในขณะที่สำหรับ$n\ge m$ก้อนมีสัญญาณรบกวนเกือบอย่างเต็มที่เพื่อให้การกระจายชุด$\pi$และไม่มีขนาดใหญ่เซต ⊂ Gของ การกำหนดค่า disfavored อาจมีคำสัญญาที่เป็นหัวใจของการผสมที่แสดงให้เห็นถึงการตัดออก สัญญานี้สามารถยกระดับเพื่อสร้างโปรโตคอลArthur-Merlin A M$A\subset G$ $\mathsf{AM}$

ตัวอย่างเช่นสังเกตว่า$\vert s \vert=18$และเรียก$m$ที่ต้องได้รับการตรวจสอบเวลาการผสมผมคิดว่าเราสามารถสัญญา:

• ถ้า$n\ge m$ดังนั้นทั้งหมด แต่มีจำนวนน้อยมาก$\epsilon$ขององค์ประกอบ$g\in G$มีค่าใกล้เคียงกับ$\frac{18^n}{\vert G \vert}$วิธีการเขียน$g$เป็นคำใน$s$ความยาว$\le n$และ

• หาก$n \lt m$ว่ามีจำนวนที่มากขึ้น$k=\vert A\vert$ขององค์ประกอบ$g\in G$โดยที่$g$สามารถเขียนได้สูงสุดไม่$\frac{18^n}{2 \vert G \vert}$วิธีที่เป็นคำพูดของความยาว$\le n$n

ที่นี่ผมคิดว่า$\epsilon$เป็นพูด$\frac{1}{10^9}\vert G\vert$และ$k$as พูด$\frac{1}{10}\vert G\vert$.

มาตรฐานสากลคร่ำเครียดเทคนิคสร้างรอบอาร์เธอร์-เมอร์ลินหลักฐานเดียวที่เวลาผสมอย่างน้อยn$n$

1. Arthur เลือกองค์ประกอบแบบสุ่ม$g\in G$ , กัญชาสุ่ม$h$การทำแผนที่คำพูดของ$G$บนชุดของขนาด$\frac{18^n}{\vert G \vert}$และรูปภาพสุ่ม$y$ของ$h$
2. เมอร์ลินบอกอาเธอร์ด้วยคำ$W$ความยาวสูงสุด$n$เมื่อนำไปใช้กับตำแหน่งเริ่มต้นของคิวบ์เท่ากับ$g$
3. คำ$W$ต้องตรงตาม$h(W)=y$ - แสดงให้เห็นว่ามีแนวโน้มที่จะมากของคำที่มีความยาว$\le n$ที่เท่ากับ$g$
4. Arthur และ Merlin ทำซ้ำเพื่อขยายตามที่ต้องการ

เพราะสำหรับกลุ่มที่ฉันคิดว่าเวลาในการผสมอย่างน้อยก็มีเส้นผ่านศูนย์กลาง (หมายเลขของพระเจ้า) สิ่งนี้ยังให้หลักฐานอาร์เธอร์ - เมอร์ลินเพื่อ จำกัด จำนวนพระเจ้าของกลุ่มใหญ่