ชื่อพหุนามชัดเจนใน 1 ตัวแปรที่มีความซับซ้อนของวงจร superlogarithmic

จากการนับการโต้แย้งเราสามารถแสดงให้เห็นว่ามีพหุนามของระดับ n ใน 1 ตัวแปร (เช่นรูปแบบที่มีวงจรซับซ้อน n นอกจากนี้เรายังสามารถแสดงให้เห็นว่าพหุนามเช่นต้องการอย่างน้อยคูณ (คุณต้องการเพียงเพื่อให้ได้ระดับที่สูงพอ) มีตัวอย่างที่ชัดเจนของชื่อพหุนามใน 1 ตัวแปรที่มีขอบเขตความซับซ้อนน้อยกว่าหรือไม่? (ผลการค้นหาในทุกสาขาจะน่าสนใจ) $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)$ $x^n$ $\log_2 n$

— เฮสติ้งส์ด้าน
แหล่งที่มา

ตัวอย่างที่คุณนึกถึงความซับซ้อนของวงจรบนสนาม จำกัด หรือไม่ ฉันไม่เห็นว่าการโต้แย้งการนับจะทำงานกับเขตข้อมูลที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเหตุผลปันส่วนฉันค่อนข้างแน่ใจว่าขอบเขตของ Paterson-Stockmeyer's นั้นแน่น (ดูคำตอบของฉันด้านล่าง)

n

$n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Joshua Grochow

sqrt (n) ที่คุณกล่าวถึงเป็นเพียงขอบเขตบนของจำนวนการคูณ (เหนือฟิลด์ใด ๆ ) แต่ถ้าเรานับทั้งการบวกและการคูณเป็นการดำเนินการเราต้องใช้การดำเนินการ n บนฟิลด์อนันต์เกือบทุกพหุนาม เพราะไม่มีสัมประสิทธิ์ที่แตกต่างกันในพหุนามและไม่มีวิธีการประเมินพหุนามที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีการดำเนินการน้อยกว่า n (ฉันไม่แน่ใจว่าควรเรียกสิ่งนี้ว่าอาร์กิวเมนต์การนับหรือไม่)

— แมตต์เฮสติ้งส์

ฉันคิดว่าคุณต้องแม่นยำกว่านี้เล็กน้อยในแถลงการณ์ "ไม่มีทางที่จะประเมินพหุนามที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีค่าน้อยกว่า n ops" วิธีหนึ่งในการตีความนั่นคือ: ถ้าเราคิดว่าชื่อพหุนามเป็นพหุนามไม่ใช่แค่ในแต่ยังถือว่าเป็นตัวแปร (หรือเท่ากันสมมุติว่าเป็นพีชคณิตอิสระ) จากนั้น ผลลัพธ์ที่ว่าสิ่งนี้ต้องมีการเพิ่มเติม n คือ Pan's (1966) และไม่ได้เป็นเพียงแค่การโต้แย้งการนับ (แม้ว่ามันจะไม่ยากเกินไป) ไม่เช่นนั้นฉันไม่แน่ใจว่าผลลัพธ์ที่คุณอ้างถึงนั้นเป็นอย่างไร

\sum a_{i} x^{i}

$\sum a_i x^i$

x

$x$

a_{i}

$a_i$

a_{i}

$a_i$

— Joshua Grochow

สิ่งที่ฉันหมายถึงคือ: วงจรประกอบด้วยการเพิ่มและการคูณประตู อินพุตสำหรับเกตที่กำหนดสามารถเป็นเอาต์พุตของเกตก่อนหน้าหรือ x หรือค่าคงที่บางตัว คำถามคือสำหรับพหุนามเราสามารถหาวงจรและตัวเลือกค่าคงที่ในวงจรนั้นเพื่อคำนวณมันได้หรือไม่ แต่เรามี (n + 1) มิติของพหุนามมิติ แต่ถ้าเราแก้ไขโครงสร้างของวงจรที่มีน้อยกว่า n ประตู (โดย "โครงสร้าง" ผมหมายถึงประตูที่ใช้ผลที่ประตูอื่น) และพิจารณาทั้งหมด ตัวเลือกที่เป็นไปได้ของค่าคงที่สิ่งนี้จะให้พื้นที่น้อยกว่า n มิติของพหุนามที่สามารถคำนวณได้

— แมตต์เฮสติ้งส์

Btw --- ความประทับใจที่ฉันได้รับคือการสร้างตัวอย่างที่ชัดเจนเหนือ R หรือ C โดยไม่มีข้อ จำกัด เพิ่มเติมเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์จะถูกแก้ไขส่วนใหญ่ ในทางกลับกันการสร้างตัวอย่างที่ชัดเจนที่ค่าสัมประสิทธิ์ a_i ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็มและไม่เติบโตเร็วเกินไปมันยังคงเปิดอยู่หรือไม่ มีตัวอย่างที่มีค่าคงที่จำนวนเต็มทั้งหมดในแบบสำรวจที่คุณพูดถึง แต่พวกมันจะเพิ่มขึ้นเป็นทวีคูณ

— แมตต์เฮสติ้งส์

$n$ $(a_1, \dotsc, a_n)$ $\prod_{i=1}^{n} (x - a_i)$ $\Omega(\sqrt{n})$

$\sqrt{n}$ $\sum_{i=1}^{n} 2^{2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} e^{2 \pi i / 2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} i^{r} x^{i}$ $r$ เหตุผลที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม) ฯลฯ สำหรับการอ้างอิงที่แน่นอนและหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ดูได้ pp. 324-325 ของการสำรวจฟอนซูร์ Gathen ของ

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

ขอบคุณ ดังนั้นดูเหมือนว่าปัญหาเปิดคือถ้าคุณนับการเพิ่มด้วยการดำเนินการคุณสามารถสร้างพหุนามที่ต้องการการดำเนินงาน sqrt (n) มากกว่าโดยมีเป้าหมายในการสร้างหนึ่งที่ต้องการการดำเนินงาน n ผลลัพธ์ใด ๆ ต่อสิ่งนี้? (ฉันสงสัยว่าเพราะในวิธีการที่ต้องการเพียงการคูณ sqrt (n) การเพิ่มให้การคูณเมทริกซ์และนี่อาจลดขอบเขตที่ลดลงบนความซับซ้อนของการคูณเมทริกซ์ - สเกลาร์)

— แมตต์เฮสติ้งส์