อัลกอริทึมควอนตัมใด ๆ ที่พัฒนาขึ้นสำหรับ SAT แบบดั้งเดิมหรือไม่

29

อัลกอริธึมแบบคลาสสิคสามารถแก้ปัญหา 3-SAT ในเวลา (สุ่ม) หรือเวลา (กำหนดขึ้น) (การอ้างอิง: ขอบเขตบนที่ดีที่สุดใน SAT ) $1.3071^n$ $1.3303^n$

สำหรับการเปรียบเทียบการใช้อัลกอริธึมของ Grover ในคอมพิวเตอร์ควอนตัมจะค้นหาและนำเสนอโซลูชันในซึ่งเป็นการสุ่ม (สิ่งนี้อาจยังต้องการความรู้เกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่อาจมีหรืออาจจะไม่เป็นเช่นนั้นฉันไม่แน่ใจว่าขอบเขตเหล่านั้นยังคงมีความจำเป็นอยู่หรือไม่) นี่แย่กว่าอย่างเห็นได้ชัด มีอัลกอริทึมควอนตัมใดบ้างที่ทำได้ดีกว่าอัลกอริธึมแบบคลาสสิคที่ดีที่สุด (หรืออย่างน้อยก็เกือบจะดีหรือไม่?) $1.414^n$

แน่นอนว่าอัลกอริธึมแบบดั้งเดิมนั้นสามารถใช้กับคอมพิวเตอร์ควอนตัมโดยสมมติว่ามีพื้นที่ทำงานเพียงพอ ฉันสงสัยว่าอัลกอริทึมควอนตัมโดยเนื้อแท้

quantum-computing sat exp-time-algorithms

— Alex Meiburg
แหล่งที่มา

21

ฉันคิดว่าเราสามารถได้รับขอบเขตบนที่ไม่สำคัญจากการคำนวณควอนตัมโดยเร่งอัลกอริธึมแบบสุ่มของSchöningสำหรับ 3-SAT อัลกอริธึมของSchöningรันในเวลาและการใช้เทคนิคการขยายความกว้างมาตรฐานหนึ่งสามารถรับอัลกอริทึมควอนตัมที่ทำงานในเวลาซึ่งเร็วกว่า อัลกอริทึมแบบดั้งเดิม $(4/3)^n$ $(2/\sqrt{3})^n=1.15^n$

— wwjohnsmith1
แหล่งที่มา

เยี่ยมมากนั่นดูดี แสดงให้เห็นว่าฉันควรจะดูอัลกอริธึมคลาสสิคก่อนถาม! :) การอ่านเพิ่มเติมบางอย่างชี้ให้เห็นว่าอัลกอริทึมแบบสุ่มที่ดีที่สุดสำหรับ (ไม่ซ้ำกันไม่จำเป็น) คือ 3-SAT คือดังนั้นฉันเดาว่าเราน่าจะคาดหวังจากคอมพิวเตอร์ควอนตัม ... ขอบคุณ!

{1.32065}^{n}

$1.32065^n$

{1.1492}^{n}

$1.1492^n$

— Alex Meiburg

คุณอาจจะเพลิดเพลินกับกระดาษนี้: digitalcommons.utep.edu/cgi/…

— Martin Schwarz

30

ตามจริงแล้ว wwjohnsmith1 กล่าวว่าคุณสามารถรับความเร็วรากที่สองผ่านอัลกอริทึมของSchöningสำหรับ 3-SAT แต่โดยทั่วไปแล้วสำหรับอัลกอริทึมของSchöningสำหรับ k-SAT ในความเป็นจริงอัลกอริทึมแบบสุ่มจำนวนมากสำหรับ k-SAT สามารถนำไปใช้งานได้เร็วขึ้นเป็นสองเท่าบนคอมพิวเตอร์ควอนตัม

เหตุผลสำหรับปรากฏการณ์ทั่วไปนี้มีดังต่อไปนี้ อัลกอริทึมแบบสุ่มจำนวนมากสำหรับ k-SAT ที่ทำงานในเวลา (โดยเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างมากของ ) ทำสิ่งที่แข็งแกร่งจริง ๆ ที่เป็นแกนหลักของพวกเขามีขั้นตอนวิธีการพหุนามเวลาที่ผลการมอบหมายความพึงพอใจถ้ามีมีความน่าจะเป็นอย่างน้อย )จากนี้เป็นที่ชัดเจนว่าถ้าคุณทำซ้ำอัลกอริทึมโพลีเวลานี้หลายครั้งและยอมรับว่าการรันใด ๆ ส่งคืนโซลูชันคุณจะได้รับอัลกอริทึมแบบสุ่มสำหรับ k-SAT ที่ทำงานในเวลา $O(T(n) \mathrm{poly}(n))$ $T(n)$ $n$ $1/T(n)$ $O(T(n))$ ) $O(T(n) \mathrm{poly}(n))$

ตอนนี้แทนที่จะเรียกใช้อัลกอริธึมครั้งนี้คุณสามารถเรียกใช้แอมพลิจูดแอมพลิจูดของแอมพลิจูดเวลานี้ได้ การขยายความกว้างเป็นขั้นตอนวิธีควอนตัมทั่วไปที่สามารถตัดสินใจได้ว่าอัลกอริทึมอื่นยอมรับด้วยความน่าจะเป็น 0 หรือที่มีความน่าจะเป็นใช้เพียง $O(T(n))$ $1/T$ ใช้อัลกอริทึมนี้ การใช้แอมพลิจูดแอมพลิจูดกับตัวแก้ k-SAT ดังกล่าวจะให้อัลกอริทึมควอนตัมสำหรับ k-SAT กับเวลารัน $O(\sqrt{T})$ ซึ่งเร็วกว่ากำลังสองของกำลังสอง (ละเว้นคำโพลี (n)) $O(\sqrt{T(n)}\mathrm{poly}(n))$

— Robin Kothari
แหล่งที่มา