สถานะ PP-ครบถ้วนของ MAJ3SAT

คำถามสั้น ๆ : MAJ-3CNF เป็นปัญหา PP-complete ภายใต้การลดลงหลายครั้งหรือไม่?

รุ่นอีกต่อไป: เป็นที่รู้จักกันดีว่า MAJSAT (การตัดสินใจว่าการมอบหมายส่วนใหญ่ของประโยคเชิงประพจน์เป็นไปตามประโยค) หรือไม่นั้นเป็น PP-complete ภายใต้การลดจำนวนมากและ #SAT คือ # P-complete ภายใต้การลดค่า เป็นที่ชัดเจนว่า # 3CNF (นั่นคือ #SAT จำกัด เฉพาะสูตร 3-CNF) คือ # P-complete เนื่องจากการลด Cook-Levin นั้นเป็นการสรุปและสร้าง 3-CNF (การลดลงนี้ใช้จริงในหนังสือของ Papadimitriou แสดง # P-ครบถ้วนของ #SAT)

ดูเหมือนว่าข้อโต้แย้งที่คล้ายกันควรพิสูจน์ว่า MAJ-3CNF นั้นเป็น PP-complete ภายใต้การลดจำนวนมาก (MAJ-kCNF คือ MAJSAT ถูก จำกัด เฉพาะสูตร kCNF นั่นคือแต่ละประโยคมี k ตัวอักษร)

อย่างไรก็ตามในการนำเสนอโดย Bailey, Dalmau และ Kolaitis, "การเปลี่ยนเฟสของปัญหาความพึงพอใจ PP-Complete" ผู้เขียนกล่าวว่า "MAJ3SAT ไม่รู้จักว่าเป็น PP-Complete" (งานนำเสนอที่https: //users.soe.ucsc .edu / ~ kolaitis / เจรจา / ppphase4.ppt ) ประโยคนี้ดูเหมือนจะไม่ปรากฏในเอกสารที่เกี่ยวข้องเท่านั้นในการนำเสนอของพวกเขา

คำถาม: สามารถพิสูจน์ได้ว่า # 3CNF เป็น # P-complete สามารถปรับใช้เพื่อพิสูจน์ว่า MAJ3CNF เป็น PP-complete หรือไม่ ตามคำให้การของ Bailey และคณะดูเหมือนจะไม่ หากการพิสูจน์ไม่ได้ดำเนินการแล้ว: มีหลักฐานว่า MAJ-3CNF เป็น PP-complete หรือไม่ ถ้าไม่เป็นเช่นนั้นมีปรีชาว่าความแตกต่างระหว่าง PP และ #P เกี่ยวกับผลลัพธ์นี้หรือไม่

คำตอบสั้น ๆ :
ไม่ทราบว่าเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ภายใต้การลดจำนวนครั้งเดียวหรือไม่$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

คำตอบยาว:
ก่อนอื่นคุณอ้างถึง Bailey, Dalmau และ Kolaitis และงานของพวกเขาใน"การเปลี่ยนเฟสของ - ปัญหาความพึงพอใจที่ไม่สมบูรณ์"$\mathsf{PP}$ในคำถามของคุณ ให้ฉันพูดพวกเขา:

'มันก็เป็นที่น่าสังเกตว่าถึงแม้ว่าคือ - ไม่สมบูรณ์ก็ไม่ทราบว่ามีจำนวนเต็มเช่นนั้นคือ - เสร็จสมบูรณ์ '$\mathsf{MAJORITY \ SAT}$$\mathsf{PP}$$k \geq 3$$\mathsf{MAJORITY}$ $\mathsf{kSAT}$$\mathsf{PP}$

[ http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X06004665 ]

แน่นอนว่าการลดลงของ Cook-Levin นั้นน่ารังเกียจและสร้าง 3CNF จาก CNF ที่กำหนด ในขณะที่คือ - เสร็จสมบูรณ์มันจะตามมาทันทีที่นั้นยังเป็น - ที่สมบูรณ์ภายใต้การลดค่าใช้จ่าย อย่างไรก็ตามตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นแล้วการลดการใช้จ่ายที่ไม่ได้รักษาไว้เป็นส่วนใหญ่ การลดลงนี้จะแนะนำตัวแปรเสริมเพื่อลดขนาดของส่วนคำสั่ง แต่ในทางกลับกันตัวแปรเสริมเหล่านี้จะเพิ่มจำนวนการมอบหมายทั้งหมด ตัวอย่างเช่นพิจารณา 4CNF ซึ่งประกอบด้วยส่วนคำสั่งเดียว:$\mathsf{\#CNF}$$\mathsf{\#P}$$\mathsf{\#3CNF}$$\mathsf{\#P}$

$\phi = (x_1 \vee x_2 \vee x_3 \vee x_4)$

ซึ่งกลายเป็น

$\phi'=(x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (y \leftrightarrow (x_3 \vee x_4))$

ใช้ตัวแปรเสริมและสุดท้ายไปยัง 3CNF$y$

$\psi= (x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (\neg y \vee x_3 \vee x_4) \wedge (y \vee \neg x_3 ) \wedge (y \vee \neg x_4).$

การเปลี่ยนแปลงนี้จะรักษาจำนวนโมเดลไว้อย่างชัดเจน แต่มันง่ายที่จะเห็นว่าเสียงส่วนใหญ่ไม่ได้รับการสงวนไว้ มี 15 การมอบหมายจากการมอบหมาย 16 ครั้งในขณะที่มี 15 การมอบหมายจากการมอบหมาย 32 ครั้ง ในอดีตความพึงพอใจของคนส่วนใหญ่ถือในขณะที่ความพึงพอใจของคนส่วนใหญ่ไม่ได้อยู่ในนั้น$\phi$$\psi$

ดังนั้นไม่การพิสูจน์ว่า # 3CNF คือ - ไม่สามารถดัดแปลงเพื่อพิสูจน์ได้ว่าเป็น - สมบูรณ์หรือไม่ มันยังคงเปิดอยู่ไม่ว่าจะเป็นเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ภายใต้การลดจำนวนมาก$\mathsf{\#P}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

# P P P # 3 C N F D # 3 C N F φ เมตร≥ 0 φ มD # 3 C N F D # 3 C N F P P M J 3 C N F D # 3 C N $\mathsf{MAJ3CNF}$ไม่ให้มากความเข้าใจระหว่างความแตกต่างของและ{} การตัดสินใจการตัดสินใจที่แท้จริงของพูดถูกกำหนดดังนี้: กำหนด CNFและตัดสินใจว่ามีความพึงพอใจอย่างน้อยการมอบหมาย. โปรดทราบว่าสำหรับเราไม่สนใจเรื่องส่วนใหญ่ ดังนั้นเราสามารถแปลง CNF ใด ๆ ให้กลายเป็น 3CNF โดยใช้การลดลงอย่างมากซึ่งพิสูจน์ได้ว่าคือ - เสร็จสมบูรณ์ภายใต้การลดจำนวนมาก$\mathsf{\#P}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{\#3CNF}$$\mathsf{D\#3CNF}$$\phi$$m \geq 0$$\phi$$m$$\mathsf{D\#3CNF}$$\mathsf{D\#3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$เป็นเพียงปัญหาที่แตกต่างกันกว่า3CNF}$\mathsf{D\#3CNF}$