ปัญหาหลายตัด

ฉันกำลังมองหาชื่อหรือการอ้างอิงถึงปัญหานี้

เมื่อกำหนดกราฟถ่วงน้ำหนัก$G = (V, E, w)$หาพาร์ติชันของจุดยอดเข้าสูงสุด$n = |V|$ตั้งค่า$S_1,\ldots,S_n$เพื่อเพิ่มมูลค่าของคมตัดสูงสุด:

$$c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right)$$ โปรดทราบว่าบางชุด$S_i$สามารถว่างได้ ดังนั้นปัญหาคือ max-k-cut ยกเว้น$k$ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ input: อัลกอริธึมสามารถเลือก$k$มันชอบเพื่อเพิ่มค่าของคมตัดให้ได้มากที่สุด เห็นได้ชัดว่าปัญหาดังกล่าวเป็นเรื่องเล็กน้อยหากน้ำหนักขอบไม่เป็นลบเพียงแค่วางจุดยอดทุกจุดไว้ในชุดของตัวเองและคุณตัดขอบทั้งหมด แต่เพื่อให้สิ่งต่าง ๆ น่าสนใจอนุญาตให้ลบน้ำหนักขอบ

นี่เป็นปัญหาที่ศึกษาหรือไม่? การอ้างอิงถึงอัลกอริทึมหรือผลลัพธ์ความแข็งจะชื่นชม!

ปัญหาคือตัวแปรของ Correlation Clustering (CC) Bansal, N. , Blum, A. และ Chawla, S. (2004) "การจัดกลุ่มสหสัมพันธ์" วารสารการเรียนรู้ของเครื่อง (ฉบับพิเศษเรื่องความก้าวหน้าเชิงทฤษฎีในการจัดกลุ่มข้อมูล, หน้า 86–113, ดอย: 10.1023 / B: MACH.0000033116.57574.95.

$G$$(v,w)$$a(v,w)$$b(v,w)$$P$$c_P(v,w)$$a(v,w)$$v$$w$$P$$b(v,w)$$P$$V$$\sum_{v,w} c(v,w)$

$a(v,w)=0$$b(v,w)$$O(\log n)$

PTAS ที่อธิบายจะขึ้นอยู่กับเทคนิคการเขียนโปรแกรมพหุนามราบรื่น: ในกรณีทั่วไปที่สุดฉันไม่คิดว่าปัญหาของคุณจะตอบสนองความต้องการของเทคนิค

ฉันไม่รู้การอ้างอิงใด ๆ แต่ฉันสามารถแสดงให้เห็นว่ามันเป็น NP-complete ผ่านการลดสีของกราฟ

เมื่อกำหนดกราฟ G และสีจำนวน k ซึ่งให้สี G ให้สร้างกราฟใหม่ G 'ที่ประกอบด้วย G พร้อมกับจุดยอดใหม่เช่นว่าจุดยอดใหม่แต่ละจุดเชื่อมต่อกับจุดสุดยอดในกรัมกำหนดน้ำหนัก + kn แต่ละขอบของ G, น้ำหนัก + kn กับแต่ละขอบที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดใหม่ k และน้ำหนัก -1 ถึงแต่ละขอบที่เชื่อมต่อจุดยอดใหม่ k ไปยัง G

จากนั้นถ้า G สามารถเป็น k-coloured การระบายสี (พร้อมกับพาร์ติชันที่กำหนดแต่ละจุดยอดใหม่ให้กับหนึ่งในคลาสสี) ได้รับน้ำหนักรวม kn (m + k (k-1) / 2) - (k -1) n

ในอีกทางหนึ่งถ้าคุณมีพาร์ติชั่นที่รับน้ำหนักทั้งหมดนี้จะต้องตัดขอบทั้งหมดของ G และขอบทั้งหมดระหว่างคู่ของจุดยอดใหม่ การตัดขอบทั้งหมดของ G เป็นการกำหนดสีของ G และการตัดขอบระหว่างคู่ของจุดยอดใหม่หมายความว่าจุดยอดแต่ละจุดของ G สามารถติดกับจุดสูงสุดใหม่ของ k ได้ ดังนั้นเพื่อให้ได้คำที่เหมาะสมที่สุด - (k-1) n ในน้ำหนักแต่ละจุดสุดยอดของ G จะต้องอยู่ติดกับจุดยอดใหม่หนึ่งจุดและดังนั้นจึงสามารถมีคลาสสี k ในสีที่กำหนดโดย กั้น

นั่นคือพาร์ติชันที่มีน้ำหนักที่กำหนดไว้จะอยู่ในการโต้ตอบ 1-1 กับ k-colorings ของ G ดังนั้นสิ่งนี้จะกำหนดการลดสีจากปัญหาพาร์ติชันของคุณ

ให้ฉันเสริมหลักฐานความสมบูรณ์ NP ของดาวิดที่ดีโดยการเพิ่มการอ้างอิงถึงกรณีพิเศษที่ Jukka ถามในความคิดเห็นเกี่ยวกับคำถาม หากกราฟเป็นกราฟที่สมบูรณ์และน้ำหนักของขอบถูก จำกัด ไว้ที่± 1 ปัญหานั้นจะเทียบเท่ากับปัญหาที่เกิดขึ้นโดยสมบูรณ์ของ NP ซึ่งรู้จักกันในชื่อ Cluster Editing

การแก้ไขกลุ่มเป็นปัญหาต่อไปนี้ที่แนะนำโดย Shamir, Sharan และ Tsur [SST04] ที่นี่กราฟคลัสเตอร์เป็นกราฟซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มผู้ใช้จุดสุดยอดและไม่ต่อเนื่องและการแก้ไขคือการบวกหรือลบขอบหนึ่ง

อินสแตนซ์ของการแก้ไขกลุ่ม: กราฟG = ( V , E ) และเลขจำนวนเต็มk ∈ℕ
คำถาม : เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเปลี่ยนGให้กลายเป็นกราฟกลุ่มโดยการแก้ไขkมากที่สุด?

การแก้ไขกลุ่มคือ NP-complete [SST04]

หากต้องการดูการแก้ไขกลุ่มเท่ากับกรณีพิเศษที่กล่าวถึงปัญหาปัจจุบันให้G = ( V , E ) เป็นกราฟ ให้n = | V | และพิจารณาGเป็นกราฟย่อยของสมบูรณ์กราฟ K a n ใน K _nให้น้ำหนัก -1 ถึงขอบในGและน้ำหนัก +1 ขอบไม่ได้อยู่ในG จากนั้นGสามารถจะกลายเป็นกราฟคลัสเตอร์โดยที่มากที่สุดkแก้ไขและถ้าหากมีอยู่พาร์ทิชัน ( S ₁ , ... , S _n ) ดังกล่าวว่าค ( S ₁ , ... ,S _n ) ≥ - | E | - kสำหรับการนี้ถ่วงน้ำหนักที่สมบูรณ์กราฟ K n$\binom{n}{2}$

[SST04] Ron Shamir, Roded Sharan และ Dekel Tsur ปัญหาการแก้ไขกราฟของคลัสเตอร์ คณิตศาสตร์ประยุกต์แบบไม่ต่อเนื่อง 144 (1–2): 173–182, พ.ย. 2004 http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2004.01.007