SAT เป็นภาษาที่ไม่มีบริบทหรือไม่

ฉันกำลังพิจารณาภาษาของสูตรตรรกะเชิงประพจน์ที่น่าพอใจทั้งหมดSAT (เพื่อให้แน่ใจว่านี่มีตัวอักษรที่ จำกัด เราจะเข้ารหัสตัวอักษรเชิงประพจน์ในวิธีที่เหมาะสม[แก้ไข: การตอบกลับชี้ให้เห็นว่าคำตอบของคำถามอาจไม่แข็งแกร่งภายใต้ การเข้ารหัสที่แตกต่างกันดังนั้นเราต้องเจาะจงมากขึ้น - ดูข้อสรุปของฉันด้านล่าง] ) คำถามง่ายๆของฉันคือ

คือSATภาษาบริบทฟรีหรือไม่

การคาดเดาครั้งแรกของฉันคือคำตอบของวันนี้ (ต้นปี 2560) ควรเป็น "ไม่มีใครรู้เพราะสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับคำถามที่ไม่ได้รับการแก้ไขในทฤษฎีความซับซ้อน" อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง (ดูคำตอบด้านล่าง) แต่ก็ไม่ได้ผิดทั้งหมด นี่คือบทสรุปสั้น ๆ ของสิ่งที่เรารู้ (เริ่มจากสิ่งที่ชัดเจน)

1. SATไม่ปกติ (เนื่องจากไวยากรณ์ของแคลคูลัสเชิงประพจน์นั้นไม่ปกติเนื่องจากวงเล็บที่ตรงกัน)
2. SATไวต่อบริบท (ไม่ยากที่จะให้ LBA แก่มัน)
3. SATคือ NP-complete (Cook / Levin) และโดยเฉพาะอย่างยิ่งการตัดสินใจโดย nondeterministic TMs ในเวลาพหุนาม
4. SATสามารถรับรู้โดยทางเดียว nondeterministic stack automata (1-NSA) (ดู WC Rounds, ความซับซ้อนของการรับรู้ในภาษาระดับกลาง , การสลับและทฤษฎีออโตมาตา, 1973, 145-158 http://dx.doi.org/ 10.1109 / SWAT.1973.5 )
5. ปัญหาคำศัพท์สำหรับภาษาที่ไม่มีบริบทมีระดับความซับซ้อนของตัวเอง (ดูhttps://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:C#cfl )$\textbf{CFL}$
6. LOGCFL CFL NL ⊆ $\textbf{CFL}\subseteq\textbf{LOGCFL}\subseteq\textbf{AC}^{\textbf{1}}$ , โดยที่เป็นคลาสของปัญหา logspace ซึ่งลดลงเป็น (ดูที่https : //complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo: L # logcfl ) เป็นที่รู้จักกันว่า{}$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{CFL}$$\textbf{NL}\subseteq\textbf{LOGCFL}$
7. ไม่มีใครรู้ว่าหรือ (อันที่จริงแล้วแม้แต่เปิดอยู่ฉันคิดว่าฉันได้รับสิ่งนี้จาก S. Arora, B. Barak: ความซับซ้อนในการคำนวณ: วิธีการที่ทันสมัย ; Cambridge University Press 2009) จึงมีไม่สามารถใด ๆปัญหาที่สมบูรณ์ที่เป็นที่รู้จักกันไม่อยู่ใน{} ดังนั้นมันจะต้องเป็นที่รู้จักว่าSATอยู่ใน{}$\textbf{NL}\subsetneq\textbf{NP}$$\textbf{NL}=\textbf{NP}$$\textbf{NC}^{\textbf{1}}\subsetneq\textbf{PH}$$\textbf{NP}$$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{LOGCFL}$

อย่างไรก็ตามจุดสุดท้ายนี้ยังคงทิ้งความเป็นไปได้ว่าSATเป็นที่รู้จักกันไม่อยู่ใน{} โดยทั่วไปแล้วฉันไม่สามารถหาข้อมูลเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของกับลำดับชั้นของที่อาจช่วยชี้แจงสถานะ epistemic ของคำถามของฉันได้$\textbf{CFL}$$\textbf{CFL}$$\textbf{NC}$

หมายเหตุ (หลังจากเห็นคำตอบเบื้องต้น):ฉันไม่ได้คาดหวังว่าสูตรจะอยู่ในรูปแบบปกติซึ่งเชื่อมโยงกัน (สิ่งนี้จะไม่สร้างความแตกต่างให้กับสาระสำคัญของคำตอบและมักจะมีการโต้แย้งกันเนื่องจาก CNF นั้นเป็นสูตร อ้างว่าเวอร์ชันของตัวแปรจำนวนคงที่เป็นปัญหาล้มเหลวเป็นประจำเนื่องจากผู้ใช้ต้องการวงเล็บสำหรับไวยากรณ์)

สรุป:ตรงกันข้ามกับทฤษฎีความซับซ้อนของฉันที่ได้รับแรงบันดาลใจจากการเดาใครสามารถแสดงได้โดยตรงว่าSATไม่ใช่บริบท สถานการณ์จึงเป็น:

1. เป็นที่ทราบกันดีว่าSAT ไม่ได้อยู่ในบริบท (กล่าวอีกนัยหนึ่ง: SATไม่ได้อยู่ใน ) ภายใต้สมมติฐานที่ว่าเราใช้การเข้ารหัส "โดยตรง"ของสูตรที่มีการระบุตัวแปรเชิงตัวเลขโดยเลขฐานสอง (และบางส่วน สัญลักษณ์เพิ่มเติมใช้สำหรับตัวดำเนินการและตัวคั่น)$\textbf{CFL}$
2. มันเป็นเรื่องที่ไม่ทราบว่าSATอยู่ในแต่ "ผู้เชี่ยวชาญส่วนใหญ่คิดว่า" ว่ามันไม่ได้ตั้งแต่นี้จะบ่งบอก{} นี่ก็หมายความว่ามันไม่เป็นที่รู้จักถ้าการเข้ารหัส "ที่สมเหตุสมผล" ของ SAT นั้นไม่มีบริบท (สมมติว่าเราพิจารณา logspace ว่าเป็นความพยายามในการเข้ารหัสที่ยอมรับได้สำหรับปัญหา NP-hard)$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{P}=\textbf{NP}$

โปรดทราบว่าทั้งสองจุดไม่ได้หมายความ{} สิ่งนี้สามารถแสดงได้โดยตรงโดยแสดงว่ามีภาษาใน (ดังนั้นใน ) ที่ไม่ใช้บริบท (เช่น )$\textbf{CFL}\subsetneq\textbf{LOGCFL}$$\textbf{L}$$\textbf{LOGCFL}$$a^nb^nc^n$

เพียงหลักฐานทางเลือกโดยใช้การผสมผสานของผลลัพธ์ที่รู้จักกันดี

สมมติว่า:

• ตัวแปรถูกแสดงออกด้วยนิพจน์ทั่วไป$d = (+|-)1(0|1)^*$
• และภาษา( ปกติ ) (เหนือใช้แทนสูตร CNF คือ: ; เพียงแค่ทราบว่าคว้าสูตร CNF ที่ถูกต้องทั้งหมดจนถึงการเปลี่ยนชื่อตัวแปร$\Sigma = \{0,1,+,-,\land,\lor\})$$S = \{ d^+ (\lor d^+)^*(\land (d^+ (\lor d^+)^*))^* \}$$S$

ตัวอย่างเช่นถูกเขียนเป็น: (ตัวดำเนินการมีความสำคัญเหนือ ) .$\varphi = (x_1 \lor x_2) \land -x_3$$s_{\varphi} = +1 \lor +10 \land -11 \in S$$\lor$$\land$

สมมติว่าสูตรที่สอดคล้องกันเป็นที่น่าพอใจคือ CF$L = \{ s_{\varphi} \in S \, \mid$$\varphi$$\}$

หากเราตัดมันด้วยภาษาปกติ:เรายังได้รับภาษา CF นอกจากนี้เรายังสามารถใช้โฮโมมอร์ฟิซึม: ,และภาษายังคงเป็น CF$R = \{ +1^a \land -1^b \land -1^c \mid a,b,c > 0 \}$$h(+) = \epsilon$$h(-) = \epsilon$

แต่ภาษาที่เราได้คือ: , เพราะถ้าดังนั้นสูตร "source" คือซึ่งไม่น่าพอใจ (คล้ายกันถ้า ) แต่เป็นที่รู้จักกันดีภาษา CF ไม่ใช่ขัดแย้ง$L' = \{ 1^a \land 1^b \land 1^c \mid a \neq b, a \neq c\}$$a=b$$+x_a \land -x_a \land -x_b$$a=c$$L'$$\Rightarrow$

หากจำนวนตัวแปรมี จำกัด ดังนั้นจำนวนสันธานที่พอใจดังนั้นภาษา SAT ของคุณจึงมี จำกัด (และปกติ) [แก้ไข: การอ้างสิทธิ์นี้จะถือว่าฟอร์ม CNFSAT]

มิฉะนั้นเราตกลงที่จะเข้ารหัสสูตรเช่นโดย3) เราจะใช้บทแทรกของ Ogden เพื่อพิสูจน์ว่าคำสันธานที่น่าพอใจทั้งหมดไม่ใช่บริบท$(x_{17}\vee \neg x_{21})\wedge (x_{1}\vee x_{2}\vee x_3)$$(17+\tilde{} 21)(1+2+3)$

ให้เป็นค่าคงที่ "การทำเครื่องหมาย" ในบทแทรกของ Ogden และพิจารณา sat-formulaซึ่งส่วนแรกประกอบด้วย - นั่นคือการเข้ารหัสของโดยที่คือเลขทศนิยมที่ประกอบด้วยคน เราทำเครื่องหมายที่จากนั้นกำหนดให้การสูบทั้งหมดของการสลายตัวที่เหมาะสมของ (ดูบทสรุปของบทแทรกของ Ogden) ก็น่าพอใจเช่นกัน แต่เราสามารถบล็อกสิ่งนี้ได้อย่างง่ายดายโดยกำหนดให้ไม่มีส่วนคำสั่งที่มีโดยที่คือลำดับที่สั้นกว่าของ$p$$w$$(1^p)$$(x_N)$$N$$p$$p$$1^p$$w$$x_q$$q$$1$$p$จะพอใจ - ตัวอย่างเช่นโดยมั่นใจว่าทุกข้ออื่น ๆ ของมีการปฏิเสธของทุกเช่นx_qซึ่งหมายความว่าล้มเหลวในคุณสมบัติ "การปั๊มเชิงลบ" และเราสรุปได้ว่าภาษานั้นไม่ได้เป็นบริบท [หมายเหตุ: ฉันไม่สนใจกรณีเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่การปั๊มผลิตสตริงที่มีรูปแบบไม่ดี]$w$$x_q$$w$