ค้นหา argmax โดยประมาณโดยใช้ข้อความค้นหาสูงสุดโดยประมาณเท่านั้น

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้

มีค่าที่ไม่รู้จัก{R} ภารกิจคือค้นหาดัชนีที่มีขนาดใหญ่ที่สุดโดยใช้แบบสอบถามเฉพาะของแบบฟอร์มต่อไปนี้ แบบสอบถามระบุโดยชุดและคำตอบที่สอดคล้องกันคือv_i เป้าหมายคือใช้แบบสอบถามน้อยที่สุดv 1 , ⋯ , v n ∈ R S ⊆ { 1 , ⋯ , n } max i ∈ S v $n$$v_1, \cdots, v_n \in \mathbb{R}$$S \subseteq \{1,\cdots,n\}$$\max_{i \in S} v_i$

ปัญหานี้เป็นเรื่องง่าย: เราสามารถใช้การค้นหาแบบไบนารีเพื่อค้นหา argmax ด้วยแบบสอบถาม$O(\log n)$เช่นสร้างต้นไม้ไบนารีที่สมบูรณ์โดยมี$n$ใบไม้ที่สอดคล้องกับดัชนี เริ่มต้นที่รูทและเดินลงไปที่ใบไม้ดังนี้ ที่แต่ละโหนดให้ค้นหาค่าสูงสุดใน subtrees ด้านซ้ายและขวาจากนั้นย้ายไปที่ชายด์ข้างคำตอบที่ใหญ่กว่า เมื่อถึงใบไม้ให้ส่งออกดัชนี

ปัญหานี้ในรุ่นที่มีเสียงดังต่อไปนี้เกิดขึ้นในการวิจัยของฉัน

มี$n$ค่าที่ไม่รู้จัก$v_1, \cdots, v_n$v_n เหล่านี้สามารถเข้าถึงได้ด้วยคำสั่งที่ชุด$S \subseteq \{1, \cdots, n\}$มีการระบุและตัวอย่างจาก$\mathcal{N}(\max_{i \in S} v_i,1)$จะถูกส่งกลับ เป้าหมายคือการระบุ$i_* \in \{1, \cdots, n\}$เช่นนั้น$\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - 1$ใช้แบบสอบถามน้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้ (ความคาดหวังอยู่เหนือตัวเลือกของ$i_*$ซึ่งขึ้นอยู่กับทั้งเหรียญของอัลกอริทึมและคำตอบที่มีเสียงดัง)

สมมติว่าเราพยายามแก้ปัญหานี้โดยใช้กลยุทธ์การค้นหาแบบไบนารี่เหมือนเดิม (แต่ด้วยคำตอบที่มีเสียงดัง) มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ประสบความสำเร็จ$\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - O(\log n)$และนี่เป็นกรณีที่แย่ที่สุด เราสามารถลดข้อผิดพลาดเป็น1ที่ต้องการ$1$โดยทำซ้ำแต่ละแบบสอบถาม$O(\log^2 n)$ครั้งและใช้ค่าเฉลี่ย (ซึ่งไดรฟ์ลงแปรปรวน) สิ่งนี้จะให้อัลกอริทึมโดยใช้การสืบค้น$O(\log^3 n)$

มีอัลกอริทึมที่ดีกว่าหรือไม่ ฉันคาดเดาว่าแบบสอบถามเพียงพอแล้ว และฉันเชื่อว่าฉันสามารถพิสูจน์ได้ว่าขอบเขตล่าง นอกจากนี้ปัญหาจะกลายเป็นเรื่องง่ายเช่นการสอบถามผ่านการค้นหาแบบไบนารี - ภายใต้คำสัญญาว่ามีช่องว่างระหว่างค่าที่มากที่สุดและค่าที่ใหญ่เป็นอันดับสอง ถ้ามันจะช่วยให้คุณสามารถสันนิษฐานได้ทุกค่าที่อยู่ระหว่างและn)Ω ( บันทึก2 n ) ˜ O ( บันทึกn ) Ω ( 1 ) 0 O ( บันทึกn $O(\log^2 n)$$\Omega(\log^2 n)$$\tilde{O}(\log n)$$\Omega(1)$$0$$O(\log n)$

ขยายความคิดเห็นของแนวคิดหนึ่งหรือสองไปที่ขอบเขตล่าง ให้พูด (แม้ว่าตัวเลือกที่ดีที่สุดอาจแตกต่างกัน) และให้\} พิจารณาการวาดอินพุตโดยเลือกการเรียงสับเปลี่ยนของค่าเหล่านี้อย่างสม่ำเสมอ{ v 1 , … , v n } = { $B = \Theta(\log n)$$\{v_1,\dots,v_n\} = \{\frac{1}{n}B, \dots, \frac{n-1}{n}B, B\}$

แนวความคิดควรเป็นว่าถ้าเราแก้ไขดัชนีของค่าทั้งหมดยกเว้นค่าและดังนั้นเราควรจะสามารถแสดงความแตกต่างในความน่าจะเป็นของอัลกอริทึมในการเลือกหนึ่งเทียบกับอีกอย่างคือ เล็กมาก: ความแตกต่างของระยะห่างระหว่างผลลัพธ์ของอัลกอริธึมของแบบสอบถามนั้นเล็กมากเนื่องจากการแจกแจง 50-50 ในการมอบหมายค่าเหล่านี้ให้กับดัชนีที่มีอยู่ทั้งสองและผลลัพธ์ของคิวรีใด ๆ$B$$\frac{n-1}{n}B$

อาร์กิวเมนต์นี้มีไว้สำหรับค่าติดกันแต่ละคู่ดังนั้นเราจึงได้ข้อ จำกัด เกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่อัลกอริธึมเลือกค่าสูงสุดสูงสุดอันดับสอง ... สิ่งนี้จะให้ขอบเขตบนตามค่าที่คาดหวังของอัลกอริทึมดังนั้นเราจึงตั้งค่าขอบเขตบนเป็นและดูว่าจำนวนการสืบค้นใดเป็น$B-1$

ฉันยังไม่สามารถปรับปรุงด้วยวิธีการข้างต้นได้ แต่ฉันคิดว่าคุณอาจได้รับหากคุณสามารถใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าการสืบค้นไม่สามารถช่วยได้หลายขั้นตอนพร้อมกัน คือถ้าเคียวรีเปลี่ยนเมื่อเราย้ายค่าสูงสุดไปยังดัชนีที่แตกต่างจากนั้นหนึ่งครั้งนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเราย้ายค่าอื่น ๆ ไปยังดัชนีที่แตกต่างกัน$\log n$$(\log n)^2$

ความเป็นส่วนตัวที่แตกต่างกันอาจมีประโยชน์สำหรับหนึ่งในขั้นตอนเหล่านี้เช่นถ้าเราคิดเพียงกรณีที่เราสลับตำแหน่งของค่าสูงสุดสองค่า "ความไว" ของแบบสอบถามนี้คือแล้วขั้นสูง องค์ประกอบอาจเป็นประโยชน์$\frac{B}{n}$

ขออภัยที่นี่เป็นแบบกึ่งสำเร็จรูป แต่หวังว่ามันจะมีประโยชน์!