ความเห็นโดยทั่วไปของข้อความที่ว่า monoid ยอมรับภาษา iff syntax ของ monoid แบ่ง monoid

ปล่อย $A$เป็นตัวอักษรที่ จำกัด สำหรับภาษาที่ได้รับหนังสือประโยคเป็นความคิดที่รู้จักกันดีในทฤษฎีภาษาอย่างเป็นทางการ นอกจากนี้หนังสือตระหนักภาษา IFF มีอยู่ซึ่มส์เช่นว่า(L)))$L \subseteq A^{\ast}$ $M(L)$$M$$L$$\varphi : A^{\ast} \to M$$L = \varphi^{-1}(\varphi(L)))$

จากนั้นเรามีผลลัพธ์ที่ดี:

monoidรู้จักถ้าเป็นภาพโฮโมมอร์ฟิคของ submonoid ของ (writen เป็น )$M$$L \subseteq A^{\ast}$$M(L)$$M$$M(L) \prec M$

ข้างต้นมักจะกล่าวถึงในบริบทของภาษาปกติและจากนั้น monoids ข้างต้นล้วน แต่ จำกัด

ทีนี้สมมติว่าเราแทนที่ด้วย monoid โดยพลการและเราบอกว่าเซตย่อยได้รับการยอมรับจากหากมี morphismเช่นนั้น(L)) ถ้าอย่างนั้นเราก็ยังมีว่าถ้ารู้จักแล้ว (ดู S. Eilenberg, Automata, เครื่องจักรและภาษา, เล่ม B) แต่การสนทนานั้นมีไว้หรือไม่?$A^{\ast}$$N$$L \subseteq N$$M$$\varphi : N \to M$$L = \varphi^{-1}(\varphi(L))$$M$$L$$M(L) \prec M$

ในการพิสูจน์สำหรับการสนทนาได้รับการพิสูจน์โดยใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่ว่าถ้าสำหรับมอร์ฟิซึ่มส์บางอย่างและเป็นมอร์ฟิซึ่มส์จากนั้นเราสามารถหาเช่นนั้นถือง่าย ๆ โดยเลือกสำหรับแต่ละและขยายนี้เพื่อซึ่มส์จากเพื่อMแต่สิ่งนี้ไม่ได้ผลกับ monoids โดยพลการดังนั้นฉันคาดว่าการสนทนาข้างต้นจะเป็นเท็จ และถ้ามันเป็นเรื่องเท็จสำหรับสิ่งที่ชนิดของ monoid ข้าง$A^{\ast}$$N = \varphi(M)$$\varphi : M \to N$$\psi : A^{\ast} \to N$$\rho : A^{\ast} \to M$$\varphi(\rho(u)) = \psi(u)$$\rho(x) \in \varphi^{-1}(\psi(x))$$x \in A$$A^{\ast}$$M$$N$$A^{\ast}$ มันยังคงเป็นจริงหรือไม่และพวกมอยล์สได้รับความสนใจในงานวิจัยหรือไม่?

ใช่สิ่งเหล่านี้ได้รับความสนใจในงานวิจัยและนำไปสู่คำถามที่ยาก

คำนิยาม monoid$N$ถูกเรียกว่าprojectiveหากคุณสมบัติต่อไปนี้มีอยู่: if$f:N \to R$ เป็นมอร์ฟิซึ่มเดียวและ $h:T \to R$ เป็นมอร์ฟิซึ่มส์ที่เด็ดเดี่ยวจากนั้นก็มีมอร์ฟิซึ่มส์ $g:N \to T$ ดังนั้น $f = h \circ g$.

คุณสามารถค้นหาการอภิปรายนานเกี่ยวกับ monoid projective ใน [1] หลังจากนิยาม 4.1.33 มันถูกแสดงโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่าทุก semigroup finite projective เป็นวงดนตรี (semigroup ที่ทุกองค์ประกอบ idempotent) แต่การสนทนาไม่เป็นความจริงและเป็นปัญหาที่เปิดกว้างในการตัดสินใจว่ากลุ่มย่อยที่แน่นอนนั้นเป็นโปรเจคหรือไม่

[1] J. Rhodes และ B. Steinberg, The$q$-theory ของกึ่งกรุป Springer Monographs ในวิชาคณิตศาสตร์ Springer, New York, 2009. xxii + 666 pp. ISBN: 978-0-387-09780-0