วงจรวงจรที่ซับซ้อนของกราฟ

PPADระดับความซับซ้อน(เช่นการคำนวณสมดุลของแนชต่าง ๆ ) สามารถกำหนดได้เป็นชุดของปัญหาการค้นหาทั้งหมดซึ่งสามารถลดเวลาได้จนถึงปลายแถว:

จุดสิ้นสุดของบรรทัด : วงจรที่กำหนดSและP ที่มีnบิตอินพุตและnบิตเอาท์พุทเช่นนั้นP (0 ⁿ ) = 0 ⁿ ! = S (0 ⁿ ) , ค้นหาอินพุตxใน {0,1} ⁿเช่นP (S (x)) ! = x หรือ S (P (x)) ! = x = 0 n

วงจรหรือขั้นตอนวิธีการเช่นSและPโดยปริยายกำหนดกราฟขนาดใหญ่ชี้แจงว่าถูกเปิดเผยเพียงบนพื้นฐานแบบสอบถามโดยแบบสอบถาม (เพื่อให้ปัญหาในPSPACE !) เช่นกระดาษ Papadimitrou ของ

อย่างไรก็ตามฉันไม่เข้าใจว่าจะออกแบบวงจรที่สามารถใช้งานกราฟโดยพลการได้อย่างไร (หากมีโครงสร้างที่เป็นระบบลงในกราฟ ตัวอย่างเช่นวิธีการหนึ่งจะออกแบบวงจรขนาด polynomially ที่แสดงถึงเส้นกำกับยาวชี้แจงกับป้ายall-0สำหรับจุดสุดยอดแหล่งที่มาและฉลากไบนารีแบบสุ่มที่ได้รับมอบหมายให้จุดยอดอื่น ๆ ทั้งหมด? สิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นนัยในเอกสารที่เกี่ยวข้องกับPPAD

สิ่งที่ใกล้เคียงที่สุดที่ฉันมาจากการค้นหาออนไลน์คือกระดาษของ Galperin / Widgersonแต่วงจรที่อธิบายมีป้ายชื่อจุดสุดยอดสองอันและส่งคืนคำตอบบูลีนเป็น "จุดยอดเหล่านี้อยู่ติดกันหรือไม่"

ดังนั้นคุณจะออกแบบวงจรขนาด polynomially ของกราฟขนาดชี้แจงที่ใช้n- bit input และแสดงผลn- bit label ของบรรพบุรุษหรือผู้สืบทอดตามลำดับได้อย่างไร หรือแม้กระทั่งบางคนรู้จักทรัพยากรที่อธิบายสิ่งนี้ได้ดี

ดูเหมือนว่าคำถามของคุณจะถามว่า: กราฟแสดงวิธีการโดยพลการ (หรือกราฟเส้นทางโดยพลการ) เป็นวงจรขนาดพหุนาม คำตอบคือคุณทำไม่ได้ จำนวนกราฟเส้นทางที่แตกต่างที่มีจุดยอด2 ⁿคือ (2 ⁿ )!, มากกว่าจำนวนของวงจรต่าง ๆ ที่มี n ^cประตู (เลขชี้กำลังใน n ^c log n) ดังนั้นกราฟเกือบทั้งหมดที่มีจุดยอดจำนวนมากนี้ไม่สามารถแสดงด้วยวงจรรวบรัด

ดังนั้นอย่างที่คุณบอกไว้ในบางกรณีคุณสามารถแสดงเฉพาะกราฟที่มีโครงสร้างระดับสูงในลักษณะนี้ นั่นคือสิ่งที่ทำให้คลาสความซับซ้อนเช่น PPAD น่าสนใจ: แม้ว่าโครงสร้างที่เรารู้ว่ากราฟอินพุตสำหรับปัญหา EOL ต้องมี แต่เราดูเหมือนจะไม่รู้วิธีการใช้ประโยชน์จากโครงสร้างเพื่อแก้ปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพ

ถ้าฉันเข้าใจผิดคำถามของคุณและคุณถามจริง ๆ : ใครทำวงจรที่ตรงกับข้อกำหนดการป้อนข้อมูลสำหรับ EOL ได้อย่างไรสำหรับกราฟที่มีโครงสร้างสูงมาก: ลองกราฟเส้นทางที่เชื่อมต่อจุดยอด x (พิจารณาเป็นตัวเลข ในรูปแบบไบนารี) ถึง x-1 และ x + 1 โดยสิ้นสุดที่ศูนย์และที่ 2 ^ n-1 หรือถ้าคุณต้องการอะไรที่ไม่ค่อยสำคัญที่ดูเหมือนจะแก้ปัญหา EOL ได้ยากกว่า: ให้ E และ D เป็นฟังก์ชั่นการเข้ารหัสและถอดรหัสสำหรับรหัสคงที่ในระบบเข้ารหัสที่คุณโปรดปรานให้เพื่อนบ้านของ x ในกราฟเป็น E (x) และ D (x) และปล่อยให้จุดสิ้นสุดของบรรทัดเป็น 0 และ D (0)

เนื่องจากกราฟส่วนใหญ่ใน n จุดยอดคือ Kolmogorov-random พวกเขาไม่สามารถอธิบายได้โดยวงจร (หรือโปรแกรมอื่น ๆ ) ที่มีขนาดเล็กกว่ากราฟอย่างมีนัยสำคัญ (ถ้าคุณไม่รู้ว่า Kolmogorov-random หมายความว่าอย่างไรคุณสามารถรับบทสรุปของประโยคก่อนหน้านี้เป็นคำจำกัดความของมันจากนั้นพึ่งพาข้อเท็จจริงที่ว่าสตริงเกือบทั้งหมดเป็น Kolmogorov-random)

แม้ว่าฉันจะไม่คุ้นเคยกับงานที่คุณอ้างถึงอย่างใกล้ชิด แต่ฉันคิดว่าพวกเขามักพูดถึงกราฟที่อธิบายตามวงจร กล่าวอีกนัยหนึ่งโดยมุ่งเน้นไปที่วงจรพวกเขาจะจำกัดความสนใจของพวกเขาไปยังชั้นของกราฟที่มีวงจรรวบรัด (ซึ่งขนาดคือลอการิทึมในขนาดของกราฟ)