เราสามารถสุ่มตัวอย่างเพื่อนบ้านของจุดยอดได้อย่างมีประสิทธิภาพในกราฟของ polytope หรือไม่?

ฉันมี polytope $P$กำหนดโดย$\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}$ }

คำถาม:เมื่อพิจารณาจุดยอด$v$ของ$P$มีวิธีคิดเวลาแบบพหุนามที่จะสุ่มตัวอย่างจากเพื่อนบ้านของ$v$ในกราฟของ$P$หรือไม่ (พหุนามในมิติจำนวนของสมการและการเป็นตัวแทนของ$b$ . ฉันสามารถสรุปได้ว่าจำนวนของสมการนั้นคือพหุนามในมิติ)

อัปเดต:ฉันคิดว่าฉันสามารถแสดงให้เห็นว่านี่คือ NP-hard ดูคำตอบของฉันที่อธิบายการโต้แย้ง (และโดย$NP$ฮาร์ดฉันหมายความว่าอัลกอริทึมเวลาพหุนามจะพิสูจน์$RP = NP$ ... ไม่แน่ใจว่าคำศัพท์ที่ถูกต้องอยู่ที่นี่)

อัปเดต 2:มีการพิสูจน์ 2 บรรทัดของ$NP$แข็ง (ที่ระบุ polytope combinatorial ที่ถูกต้อง) และฉันก็สามารถค้นหาบทความโดย Khachiyan ดูคำตอบสำหรับคำอธิบายและลิงค์ :-D

ปัญหาที่เทียบเท่า :

ในความคิดเห็นของ Peter Shor ชี้ให้เห็นว่าคำถามนี้เทียบเท่ากับคำถามว่าเราสามารถสุ่มตัวอย่างจากจุดยอดของโพลีท็อปที่กำหนดได้อย่างสม่ำเสมอหรือไม่ (ฉันคิดว่าความเท่าเทียมกันจะเป็นดังนี้: ในทิศทางเดียวเราสามารถไปจากโพลิทอป$P$มีจุดยอด$v$ถึงจุดยอดรูปที่$v$ , $P/v$และการสุ่มจุดยอดของ$P/v$เท่ากับการสุ่มตัวอย่างเพื่อนบ้านของ$v$บน$P$ในอีกทางหนึ่งเราสามารถไปจากโพลีท็อป$P$ไปยังโพลีท็อป$Q$ของมิติที่สูงกว่าหนึ่งโดยการเพิ่มกรวยด้วยเอเพ็กซ์$v$และฐาน$P$. จากนั้นการสุ่มตัวอย่างเพื่อนบ้านของ$v$ใน$Q$เท่ากับการสุ่มตัวอย่างจุดยอดของ$P$ )

การกำหนดคำถามนี้ถูกถามก่อนหน้านี้: /mathpro/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope

$NP$

ครั้งแรกจำ polytope การไหลเวียนของกราฟด้านล่างของหน้า 4 ของการผลิตทุกจุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นเรื่องยาก

จุดยอดอยู่ในการติดต่อทางชีวภาพกับวัฏจักรการกำกับอย่างง่าย ดังนั้นพวกเขาจะยากที่จะตัวอย่างหรือนับจากJVV โจทย์ 5.1 :-D

พร้อมกับคำสำคัญเหล่านี้ฉันสามารถค้นหาความแข็งของผลลัพธ์การสุ่มตัวอย่างเป็นทฤษฎีบทที่ 1 ของHypergraphs ตามขวางและครอบครัวของ Polyhedral Conesโดย Khachiyan

แก้ไข: ฉันเขียนอาร์กิวเมนต์ด้านล่างและมันถูกต้อง อย่างไรก็ตามมีการโต้แย้งที่ง่ายกว่ามากซึ่งฉันจะสรุปไว้ที่นี่:

a) โดยการวิเคราะห์อัลกอริธึมย้อนรอยเพื่อแสดงจุดยอดทั้งหมดและใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน (ฟูกูดะและคณะ) มันเป็นปัญหาที่ยากมากที่จะแก้ปัญหาดังต่อไปนี้บนโพลิสtop

$Ax = b , x \geq 0$$\mathbb{R}^n$$S \subseteq n$

$v$$P$$S$

$y_{ik}$$i \in S$$k = 1, \ldots, d$$0 \leq y_{ik} \leq x_i$$P_{S,d}$$d |supp(x) \cap S|$

$2^{d | supp(x) \cap S|}$$supp$

$d$$P_{S,d}$$S$

ดูเหมือนจะมีนามสกุลต่าง ๆ ของสิ่งนี้ ฉันจะอัปเดตพร้อมลิงก์เมื่อการเขียนเสร็จสิ้น

(อาร์กิวเมนต์เก่าเคยเป็นที่นี่ - อยู่ในประวัติการแก้ไขฉันลบออกเพราะยาวมากและจะรบกวนการค้นหาคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถาม)