Super Mario Flows ใน NP?

หนึ่งส่วนขยายแบบคลาสสิกของปัญหา max-flow คือปัญหา "max-flow ตลอดเวลา": คุณจะได้รับ digraph สองโหนดที่มีความแตกต่างเป็นแหล่งที่มาและ sink ซึ่งแต่ละส่วนโค้งมีสองพารามิเตอร์ความจุต่อ หน่วยเวลาและความล่าช้า คุณยังจะได้รับเป็นเวลาขอบฟ้าTเป้าหมายคือการคำนวณการไหลในช่วงเวลาที่ได้รับจำนวนเงินสูงสุดของวัสดุจากแหล่งที่อ่างล้างจานโดยเวลาTการไหลของมูลค่าสูงสุดสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามโดยการลดค่าแบบดั้งเดิมที่ชาญฉลาดไปสู่การไหลสูงสุดในราคาต่ำสุด $T$ $T$

ฉันสนใจในส่วนขยายของรุ่นนี้ที่ขอบมีพารามิเตอร์ "ช่วงชีวิต" ตัวที่สาม ถ้าโค้งมีช่วงชีวิตและเป็นเวลาที่เร็วที่สุดที่ไหลในเชิงบวกจะถูกส่งผ่านโค้งแล้วเราทำลายโค้งในเวลา ℓคุณอาจคิดว่านี่เป็นเหมือนแพลตฟอร์มใน Super Mario Brothers ที่พังทลาย / ถูกทำลายไม่นานหลังจากที่คุณเหยียบพวกเขาหรือคุณอาจคิดว่ามันเป็นแบตเตอรี่ที่จำเป็นสำหรับการขับเคลื่อนขอบซึ่งไม่สามารถปิดได้หลังจากเปิดใช้งาน . ( แก้ไข :) ปัญหาการตัดสินใจคือเมื่อกำหนดค่าการไหลของขอบเขตล่างให้ว่าจะสามารถกำหนดตารางการประชุมได้หรือไม่ทั้งขอบเขตบนขอบฟ้าเวลาและค่าขอบเขตการไหลต่ำกว่า $\ell$ $t$ $t+\ell$ $B$

จนถึงตอนนี้ฉันจะเห็นว่าปัญหานี้เป็นปัญหาที่รุนแรงมาก (ผ่าน 3 พาร์ติชัน) แต่ฉันไม่รู้จริง ๆ ว่าอยู่ใน NP: มีการรับประกันวิธีแสดงวิธีแก้ปัญหาดาน ๆ หรือไม่? ในรุ่นคลาสสิกการไหลที่ดีที่สุดแบบพิเศษบางอย่างถูกใช้เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้

หมายเหตุ: โมเดลด้านบนนั้นมีการขีดเส้นใต้เล็กน้อยเนื่องจากคุณอาจอนุญาตหรือไม่อนุญาตการสะสมของโฟลว์ที่โหนดและคุณอาจมีโมเดลแบบแยกเวลาหรือแบบต่อเนื่อง การแก้ไขคำถามสำหรับโมเดลเหล่านี้จะดีมาก

— daveagp
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจ เหตุใดจึงมีปัญหาในการแสดงแผนการไหลที่เฉพาะเจาะจงอย่างกะทัดรัดและตรวจสอบว่าการไหลรวมอย่างน้อย F ในเวลาโพลี?

— Suresh Venkat

คุณอาจจะคิดว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าผลลัพธ์ของปัญหาการปรับให้เหมาะสมซึ่งเอาต์พุตนั้นเป็นโฟลว์ไทม์มิ่งสามารถตรวจสอบได้ว่าจะให้เกิดประโยชน์สูงสุดในเวลาโพลี อย่างไรก็ตามมักจะแสดงให้เห็นว่าปัญหาการตัดสินใจที่มีเพียงคำตอบใช่ / ไม่ใช่อยู่ใน NP และปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพที่เพิ่มฟังก์ชั่นบางอย่างเช่นการไหลมักจะกลายเป็นปัญหาในการตัดสินใจโดยการเพิ่มค่าขอบเขตล่าง B ลงในอินพุต "มีวิธีแก้ปัญหาที่มีค่าอย่างน้อย B หรือไม่"

— andy_fingerhut

Suresh: พูดในแบบจำลองโดยสิ้นเชิงวิธีธรรมชาติในการแสดงแผนการไหลใช้จำนวนเต็ม

สำหรับแต่ละอาร์ค แต่นี่ไม่ใช่พหุนามมันเป็นเพียงการเลียนแบบพหุนามในขนาดอินพุต ในรูปแบบต่อเนื่องในทำนองเดียวกันฉันไม่เห็นวิธีการบีบอัดนี้

T

$T$

— daveagp

แอนดี้: คุณถูกต้องในแง่ที่เป็นทางการจะดีกว่าสำหรับฉันที่จะระบุว่านี่เป็นปัญหาการตัดสินใจโดยการให้คุณค่าที่ต่ำกว่าขอบเขตนอกเหนือจากระยะเวลาแล้วมันเป็นสิ่งที่เราสามารถถามได้ว่ามันอยู่ใน NP หรือไม่

— daveagp

@daveagp: คุณลองใช้ PSPACE-hardness เช่นการลด QBF ให้กับปัญหาของคุณหรือไม่?

— โยชิโอะโอกาโมโตะ

คำตอบ:

มันนานมากแล้ว แต่ฉันค่อนข้างมั่นใจว่าปัญหานี้อยู่ใน P.

ฉันเขียนวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของฉันเกี่ยวกับเรื่องนี้ในปี 1995 ดู "อัลกอริธึมการไหลของเครือข่ายแบบไดนามิกที่มีประสิทธิภาพ" โดย Bruce Hoppe ที่ส่งไปยังฝ่าย Cornell CS ออนไลน์ที่http://dspace.library.cornell.edu/bitstream/1813/7181/1/95-1524.pdf

ดูบทที่ 8 "ส่วนขยาย" ส่วนที่ 8.1 เกี่ยวกับ "ขอบมนุษย์"

— Bruce Hoppe
แหล่งที่มา

"มันเป็นคืนที่มืดมนและมีพายุแจ็คนอนนิ่งอยู่ในกระท่อมของเขา - ไม่ขยับเขยื้อนยกเว้นท้องของเขาซึ่งกำลังปั่นป่วนอยู่ในอุทรของเขาเหมือนกับการนั่งรื่นเริงที่บ้าคลั่ง ... " (หน้าสิบสามที่ผู้เขียนกล่าวถึงการใช้งานจริง)

— Neal Young

คำพูดดีนีโอ! :) BTW daveagp ทำให้เป็นจุดที่ดีเกี่ยวกับการต้องการพื้นที่หลอก - พหุนามในการจัดเก็บ "การไหล" ที่ตอบคำถามการตัดสินใจ วิธีที่จะไม่เพียง แต่หาการไหลที่ดีที่สุด แต่ยังเป็นตัวแทนของการไหลใน P เป็นบทที่ 1-7 ของวิทยานิพนธ์ของฉัน

— Bruce Hoppe

ยอดเยี่ยม ในที่สุดฉันก็อ่านทั้งหมดนี้ เมื่อเราแก้ไขการไหลของเวลาครั้งแรกที่ได้รับการพิสูจน์ความเป็นไปได้ของเครือข่ายที่มีเวลาเริ่มต้นและสิ้นสุดที่เป็นผลลัพธ์คือ P (สมมติว่าอนุญาตให้มีการพักแรม) และดังนั้นปัญหาดั้งเดิมคือ NP: ใบรับรองขนาดพหุนามของเราแสดงเวลาเริ่มต้น แต่ละขอบ ซูเปอร์มาริโอจึงไหล NP- อย่างสมบูรณ์ คำถามแบบสุ่ม: การห้ามไม่ให้โฮลดิ้งเปลี่ยนแปลงอะไรหรือไม่? มีอัลกอริทึมการประมาณที่เหมาะสมหรือไม่?

— daveagp

แก้ไข: คำตอบคือผิด ฉันตั้งสมมติฐานโดยปริยาย (โง่) ว่าเมื่อเส้นทางการไหลเริ่มต้นที่เวลาและสิ้นสุดในเวลา t และผ่านขอบ e มันบล็อกขอบ e ในช่วงเวลานี้ อย่างไรก็ตามนี่ไม่เป็นความจริง ดูที่ *

หมายเหตุ: วิธีการนี้อาจซับซ้อนหรือไม่ถูกต้อง แม้ว่าฉันจะพยายามตรวจสอบและเขียนมันอย่างระมัดระวัง - ฉันไม่ได้ใช้เวลามากมายกับมัน

สมมติว่าไม่อนุญาตให้มีการสะสมคลังสินค้าเช่นการไหลจะต้องมีการโอนทันที ให้แทนจำนวนขอบและความยาวของอินพุต ฉันไม่ได้ระบุเวลาต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่องเนื่องจากฉันไม่ได้พิจารณา มันควรใช้กับความคิดที่ไม่ต่อเนื่องเพื่อความต่อเนื่องฉันแน่ใจว่า $m$ $N$

จากนั้นเราสามารถอธิบายการแก้ปัญหาเป็นชุดของ "เส้นทางกระแส" จากแหล่งที่จะจม เส้นทางไหลเป็นสี่เท่าซึ่งประกอบด้วยดังต่อไปนี้: เส้นทางที่เรียบง่ายจากแหล่งที่จะจม; เวลาเริ่มต้นของเส้นทางการไหล ; ปริมาณการไหลผ่านเส้นทาง ; การส่งผ่านอัตราR $(P,s,a,r)$ $P$ $s$ $a$ $r$

ปล่อยให้วิธีแก้ปัญหาถูกกำหนดโดยชุดของเส้นทางการไหล เราสามารถตรวจสอบได้ว่าการแก้ปัญหาที่กำหนดโดยการไหลของเส้นทางเหล่านี้ถูกต้องในเวลาพหุนามในและ : $F$ $|F|$ $N$

ทุกขอบและช่วงเวลาของเวลาเพิ่มขึ้นอัตราการทำงานของทุกเส้นทางกระแสไปกว่าในเวลาทีทุกเส้นทางการไหลมีเวลาเริ่มต้นและสิ้นสุดดังนั้นเราจึงจะต้องพิจารณาช่วงเวลาของเวลาเมื่อเส้นทางการไหลของการเริ่มต้นหรือสิ้นสุดลง (ระหว่างการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ในช่วงเวลาที่ไม่มีอะไรเกี่ยวกับการที่มีเส้นทางไหลไปที่ขอบอี $e$ $t$ $e$ $t$ $e$
สำหรับทุกการไหลของเส้นทางเราสามารถตรวจสอบว่าการไหลทั้งหมดมาถึงที่อ่างก่อนเวลาหรือไม่ $T$
สำหรับทุก ๆ ขอบเราสามารถตรวจสอบว่าเส้นทางการไหลผ่านหลังจากที่มันถูกทำลายหรือไม่
ขอบเขตล่างของการไหลเราสามารถตรวจสอบได้โดยเพิ่มปริมาณการไหลของเส้นทางการไหล $B$

ตอนนี้เรา 'เพียง' จำเป็นที่จะต้องแสดงให้เห็นว่าจำนวนเส้นทางไหลเป็นพหุนามในN $N$

สำหรับวิธีการแก้ปัญหาที่กำหนดเราสามารถกำหนดเวลาที่การไหลผ่านขอบและเมื่อขอบถูกทำลาย แปลงสิ่งนี้เป็นปัญหาด้วยวิธีแก้ปัญหาที่เทียบเท่า: มีขอบแข็งบนแต่ละขอบเมื่อสามารถใช้งานได้และเมื่อไม่มี - เวลาเริ่มต้นและสิ้นสุด Let แสดงชุดของเวลาทั้งหมดเหล่านี้ $\{t_1,...,t_k\}$

พิจารณาโซลูชันที่ไม่กะทัดรัดและ (ในขั้นต้น) ชุดของการไหลของเส้นทางที่ว่างเปล่า แนวคิดคือเราพบการไหลของเส้นทางในโซลูชันที่ไม่อัดแน่นซ้ำลบออกและเก็บไว้ในชุดเส้นทางการไหลของเรา

ค้นหาเส้นทางการไหลที่เริ่มต้นและสิ้นสุดระหว่างและ , แต่ไม่ได้จบระหว่างและใด ๆ $t_i$ $t_j$ $i<j$ $t_p$ $t_q$ $[t_p,t_q] \subseteq [t_i,t_j]$ $F_{i,j}$ $t_j$ $t_j$

$[i,j]$ $[t_i,t_j]$ $[t_{i+1},t_{j-1}]$ $|F_{s,t}| \leq m$

$F_{t_i,t_j}$ $t_{i+1}$ $t_{j-1}$

$\sum_{i,j \in [k]} | F_{i,j} |\leq c m^3$ $c$

— Ruub
แหล่งที่มา

สำหรับฉันการแบ่งแยกที่ดูผิดพลาดฉันจะลองยกตัวอย่างการนับตัวอย่าง สมมติว่าเครือข่ายเป็นเพียงแหล่งเดียว -> sink edge ของความจุ 100, ล่าช้า 0, อายุการใช้งาน 100 ลองพิจารณากำหนดการไหลนี้: ในช่วงเวลา [0, 1) ส่งโฟลว์ในอัตรา 1; ใน [1, 2) ในอัตรา 2 และสูงถึง 100 ใน [99, 100) การย่อยสลายใด ๆ ต้องการ> = 100 เส้นทาง - กระแสซึ่งขัดแย้งกับการอ้างสิทธิ์ของคุณเมื่อฉันเข้าใจ ฉันควรพูดถึงว่าฟอร์ดและฟอล์กเกอร์สันหลีกเลี่ยงอุปสรรคนี้ในการแก้ปัญหาแบบคลาสสิกของพวกเขา (โดยไม่มีช่วงชีวิต) โดยพิจารณาถึงวิธีการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดโดยเฉพาะ

— daveagp

นี่อาจจะสามารถหลีกเลี่ยงได้โดยเพิ่มการไหลของ 'อายุขัย' ให้สูงสุด แต่ก็มีปัญหาอีกข้อหนึ่งในการพิสูจน์ฉันได้แก้ไขมันเพื่อให้ชัดเจน

— Ruub

วิธีที่ฉันเข้าใจคุณจะต้องเก็บหมายเลขหนึ่งต่ออาร์คเพียงหนึ่งอันแทนการแสดงผลทันทีที่การไหลเริ่มส่งผ่านอาร์ค นั่นคือสมมติว่าหลังจากนั้นอาร์คจะถูกใช้งานไม่ได้ หากมิฉะนั้นสามารถใช้ส่วนโค้งอีกครั้งหลังจากหยุดใช้ควรมีวิธีแก้ปัญหาใกล้กับวิธีแก้ปัญหาเพื่อให้เกิดการไหลสูงสุดตลอดเวลา (เนื่องจากการไหลสามารถหยุดส่งได้ในเวลาเพียงเล็กน้อยโดยไม่ตั้งใจและจากนั้นเริ่มสูบใหม่อีกครั้ง )

— ลีอันโดรเอ็ม
แหล่งที่มา

ฉันไม่เข้าใจว่าการเรียกร้องของคุณคืออะไร

— Tsuyoshi Ito

ฉันไม่คิดว่ามันถูกต้อง ตัวอย่างเช่นลองนึกภาพเครือข่ายที่มีสามโหนดคือต้นกำเนิด s, เทอร์มินัล t และอีกโหนดหนึ่ง v ที่มีสามอาร์ค a1 = (s, v), a2 = (s, v), a3 = (v, t) ความสามารถของส่วนโค้งนั้นเป็น 1 ทั้งหมดและเวลาการเดินทางถูกตั้งค่าเป็น 0 สำหรับ a1 และ a3 และ 100 สำหรับ a2 ช่วงชีวิตคือ 1 สำหรับ a1 และ 1,000 สำหรับ a2 และ a3 จากนั้นในเวลา 0 หนึ่งสามารถส่งหนึ่งหน่วยของการไหลผ่าน a1 และ a3 จาก s ถึง t และเริ่มส่งหนึ่งหน่วยของการไหลผ่าน a2 ในช่วงเวลา 1 ถึง 99, a3 จะไม่มีการไหลเนื่องจาก a1 หมดไป แต่ ณ เวลา 100 การไหลผ่าน a2 จะมาถึง v และ a3 จะถูกใช้อีกครั้ง

— โยชิโอะโอกาโมโตะ

หากฉันเข้าใจอย่างถูกต้องคุณอ้างว่าส่วนหนึ่งเมื่อแก้ไขวันเกิด / เวลาตายของขอบแล้วปัญหาที่เหลือสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธี max-flow แบบดั้งเดิมตลอดเวลา แต่ฉันไม่เห็นว่าสิ่งนี้เป็นเช่นไร

— daveagp

@Yoshio: ในกรณีนั้นถ้าแทนที่จะส่งหน่วยหนึ่งไปตาม a2 ทันทีคุณหยุดส่งกระแสทั้งหมดหลังจากระยะเวลาสั้น ๆ โดยพลการ a1 สามารถใช้อีกครั้งและนั่นจะเป็นทางออกที่ดีกว่า

— Leandro M.

@ เดฟ: ไม่นั่นไม่ใช่สิ่งที่ฉันเรียกร้อง สิ่งที่ฉันกำลังพูดคือว่าแต่ละอาร์คสามารถใช้งานได้เพียงจำนวนครั้งที่ จำกัด เท่านั้นหรือการแก้ปัญหาควรจะประมาณวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณกับการไหลของเวลามากเกินไป ฉันกังวลเกี่ยวกับรายละเอียดของคำนิยามปัญหาสั้น ๆ

— Leandro M.