มีทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลาสำหรับ PH หรือไม่

เป็นจริงหรือไม่ว่ามีปัญหาในลำดับชั้นพหุนามสามารถแก้ไขได้ในเวลา $O(n^k)$ (โดยเครื่องทัวริงสลับกันในบางระดับของลำดับชั้นพหุนาม) ที่ไม่สามารถแก้ไขได้ในใด ๆ ระดับของลำดับชั้นพหุนาม กล่าวอีกนัยหนึ่ง - มีทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลาสำหรับลำดับชั้นพหุนามเหมือนกับ P และ NP หรือไม่? ถ้ามี - อ้างอิงจะดีมาก $O(n^{k-1})$

ความยากลำบากที่ฉันพบคือเครื่องจำลองเมื่อจำลองเครื่องจากทุกระดับของลำดับชั้นไม่ได้อยู่ในลำดับชั้นที่แตกต่างกัน ซึ่งนำไปสู่คำถามที่เกี่ยวข้อง - คลาสที่เล็กที่สุดที่เครื่องจำลองเป็นของอะไร มีความหมายในการกำหนดคลาสที่มีการสลับ (หรือ / ) หรือไม่? $O(n)$ $O(\log n)$ $O(\log \log n)$

— โจเซฟ
แหล่งที่มา

การใช้จำนวนทางเลือกของการสลับแบบเชิงเส้นจะช่วยให้คุณ PSPACE เนื่องจากสูตรบูลีนเชิงปริมาณนั้นสมบูรณ์แบบ PSPACE

— Derrick Stolee

คำตอบ:

ใช่. ยกตัวอย่างเช่นการพิสูจน์ตามปกติของทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลา (โดยโดยตรงจำลองเครื่องพล) สามารถนำมาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าทุก $c \geq 1$ , $\Sigma_c TIME[n^k]$ ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ $\Pi_c TIME[n^{k-1}]$ ]สาเหตุของการเปลี่ยนจาก $\Sigma$ เป็น $\Pi$ นั่นคือในการโต้แย้งแนวทแยงนี้เราต้องทำ "ตรงกันข้าม" ของเครื่องที่เรากำลังจำลองดังนั้นเราต้องทำงานในโหมดสากลเมื่อเครื่องจำลองอยู่ในโหมดอัตถิภาวนิยมและในทางกลับกัน

นอกจากนี้คุณยังจะได้รับผลเช่นนี้ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนจากเพื่อ : ทุก , ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ ]สิ่งนี้สามารถทำได้โดยใช้การพิสูจน์ลำดับชั้นของเวลาเนื่องจากแซค (การอ้างอิง: " ลำดับชั้นของเวลาเครื่องทัวริง " วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 26 (3): 327--333, 1983) สำหรับการอ้างอิงอย่างชัดเจนถึงทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลานี้โปรดดูDieter van Melkebeek $\Sigma$ $\Pi$ $c \geq 1$ $\Sigma_c TIME[n^k]$ $\Sigma_c TIME[n^{k-1}]$ " การสำรวจขอบเขตล่างเพื่อความพึงพอใจและปัญหาที่เกี่ยวข้อง " (มีอยู่ในหน้าแรกของเขา)

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

คำตอบนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการมีอยู่ของทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลาสำหรับทุกระดับที่แตกต่างของลำดับชั้น สิ่งนี้ไม่ได้บ่งชี้ว่ามีทฤษฎีบทดังกล่าวสำหรับ PH โดยรวมทันที

— โจเซฟ

คำถามที่แข็งแกร่งของคุณจะแก้ไขได้ยาก มันจะบ่งบอกถึง

สมมติว่ามี

และภาษา

ใน

ที่ไม่อยู่ใน

สำหรับทุกd

จากนั้น

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

c

$c$

L

$L$

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$

Σ_{d} T I M E [n^{k - 1}]

$\Sigma_d TIME[n^{k-1}]$

d

$d$

นี่เป็นเพราะทุกภาษา

อยู่ใน

สำหรับบาง

ขึ้นอยู่กับ

(โดยอาร์กิวเมนต์ Savitch-theorem-type) ดังนั้นหาก

ดังนั้นในความเป็นจริงทุกภาษาใน

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

L \in L O G S P A C E

$L \in LOGSPACE$

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

L

$L$

L O G S P A C E = N P

$LOGSPACE = NP$

อยู่ใน

สำหรับบาง

ตรงกันข้ามกับสิ่งที่คุณต้องการที่จะแสดง

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

— Ryan Williams เมื่อ

คำตอบสำหรับคำถามที่แก้ไขแล้ว (ฉบับที่ 4 ของคำถาม) คือไม่ หากปัญหาการตัดสินใจLสามารถแก้ไขได้ในเวลา O ( n ^k ) โดยเครื่อง P _i P ดังนั้นLสามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้นโดยเครื่องทัวริงที่มี oracle สำหรับLซึ่งเป็นเครื่องจักร₊₁ P _i P ดังนั้น ∑ _ฉัน TIME [O ( n ^k )] ⊆Σ _{ฉัน +1} TIME [O ( n )]

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

ไม่มีนี้ไม่ได้เป็นวิธีนิยามของ

งาน หาก

สำหรับทุก

แล้ว

หาก

Σ_{j} T I M E [t (n)]

$\Sigma_j TIME[t(n)]$

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$

j, k

$j,k$

N P \neq c o N P

$NP \neq coNP$

และ

สำหรับทุก

, ให้

จะทำงาน เวลาของอัลกอริทึม nondeterministic สำหรับ Tautology ถ้างั้นเราก็มี

N P = c o N P

$NP = coNP$

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$

j, k

$j,k$

O (n^{c})

$O(n^c)$

ที่รวมเป็นครั้งแรกโดยสมมติฐานและการรวมสองต่อจากการโต้แย้งจำลองมาตรฐาน นี่คือความขัดแย้ง

N T I M E [O (n^{c^{2}})] \subseteq Σ_{2} T I M E [O (n)] \subseteq N T I M E [O (n^{c})]

$NTIME[O(n^{c^2})] \subseteq \Sigma_{2} TIME[O(n)] \subseteq NTIME[O(n^{c})]$

— Ryan Williams

@ Ryan: คำจำกัดความที่ฉันใช้คือ: L∈ΣiTIME [t (n)] iff มีภาษาO∈Σ (i − 1) P และ nondeterministic t (n) - เครื่องจักรทัวริงไทม์ด้วย oracle สำหรับ O ที่รู้จัก L. ฉันคิดว่านี่เป็นคำจำกัดความมาตรฐาน แต่ฉันไม่มีการอ้างอิงใด ๆ เพื่อสำรองการอ้างสิทธิ์ของฉัน คำจำกัดความที่คุณใช้คืออะไร

— Tsuyoshi Ito

The definition is:

L \in Σ_{i} T I M E [t (n)]

$L \in \Sigma_i TIME[t(n)]$ iff there is a linear time predicate

R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$R(x,y_1,\ldots,y_i)$ such that

x \in L ⟺ (\exists y_{1} : | y_{1} | \leq t (| x |)) \dots (\forall y_{i} : | y_{i} | \leq t (| x |)) R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$x \in L \iff (\exists y_1 : |y_1|\leq t(|x|))\cdots (\forall y_i : |y_i| \leq t(|x|))R(x,y_1,\ldots,y_i)$ is true.

— Ryan Williams

@Ryan: Ok, I did not know that definition. If that is what the asker wanted to ask, my answer does not apply.

— Tsuyoshi Ito