มีทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลาสำหรับ PH หรือไม่


18

เป็นจริงหรือไม่ว่ามีปัญหาในลำดับชั้นพหุนามสามารถแก้ไขได้ในเวลาO(nk) (โดยเครื่องทัวริงสลับกันในบางระดับของลำดับชั้นพหุนาม) ที่ไม่สามารถแก้ไขได้ในใด ๆ ระดับของลำดับชั้นพหุนาม กล่าวอีกนัยหนึ่ง - มีทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลาสำหรับลำดับชั้นพหุนามเหมือนกับ P และ NP หรือไม่? ถ้ามี - อ้างอิงจะดีมากO(nk1)

ความยากลำบากที่ฉันพบคือเครื่องจำลองเมื่อจำลองเครื่องจากทุกระดับของลำดับชั้นไม่ได้อยู่ในลำดับชั้นที่แตกต่างกัน ซึ่งนำไปสู่คำถามที่เกี่ยวข้อง - คลาสที่เล็กที่สุดที่เครื่องจำลองเป็นของอะไร มีความหมายในการกำหนดคลาสที่มีการสลับ (หรือ / ) หรือไม่?O ( บันทึกn ) O ( บันทึกบันทึกn )O(n)O(logn)O(loglogn)


การใช้จำนวนทางเลือกของการสลับแบบเชิงเส้นจะช่วยให้คุณ PSPACE เนื่องจากสูตรบูลีนเชิงปริมาณนั้นสมบูรณ์แบบ PSPACE
Derrick Stolee

คำตอบ:


17

ใช่. ยกตัวอย่างเช่นการพิสูจน์ตามปกติของทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลา (โดยโดยตรงจำลองเครื่องพล) สามารถนำมาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าทุกc1 , ΣcTIME[nk]ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของΠcTIME[nk1] ] สาเหตุของการเปลี่ยนจากΣเป็นΠ นั่นคือในการโต้แย้งแนวทแยงนี้เราต้องทำ "ตรงกันข้าม" ของเครื่องที่เรากำลังจำลองดังนั้นเราต้องทำงานในโหมดสากลเมื่อเครื่องจำลองอยู่ในโหมดอัตถิภาวนิยมและในทางกลับกัน

นอกจากนี้คุณยังจะได้รับผลเช่นนี้ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนจากเพื่อΠ : ทุก1 , Σ T ฉันM E [ n k ]ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของΣ T ฉันM E [ n k - 1 ] สิ่งนี้สามารถทำได้โดยใช้การพิสูจน์ลำดับชั้นของเวลาเนื่องจากแซค (การอ้างอิง: " ลำดับชั้นของเวลาเครื่องทัวริง " วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 26 (3): 327--333, 1983) สำหรับการอ้างอิงอย่างชัดเจนถึงทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลานี้โปรดดูDieter van MelkebeekΣΠc1ΣcTIME[nk]ΣcTIME[nk1]" การสำรวจขอบเขตล่างเพื่อความพึงพอใจและปัญหาที่เกี่ยวข้อง " (มีอยู่ในหน้าแรกของเขา)


คำตอบนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการมีอยู่ของทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลาสำหรับทุกระดับที่แตกต่างของลำดับชั้น สิ่งนี้ไม่ได้บ่งชี้ว่ามีทฤษฎีบทดังกล่าวสำหรับ PH โดยรวมทันที
โจเซฟ

4
คำถามที่แข็งแกร่งของคุณจะแก้ไขได้ยาก มันจะบ่งบอกถึง P สมมติว่ามีและภาษาLในΣ T ฉันM E [ n k ]ที่ไม่อยู่ในΣ d T ฉันM E [ n k - 1 ]สำหรับทุกd จากนั้นL O G S P A C ELOGSPACENPcLΣcTIME[nk]ΣdTIME[nk1]d P นี่เป็นเพราะทุกภาษา L L O G S P A C Eอยู่ใน Σ d T ฉันM E [ n 2 ]สำหรับบาง dขึ้นอยู่กับ L (โดยอาร์กิวเมนต์ Savitch-theorem-type) ดังนั้นหาก L O G S P A C E = N Pดังนั้นในความเป็นจริงทุกภาษาใน Σ c T I M E [ n kLOGSPACENPLLOGSPACEΣdTIME[n2]dLLOGSPACE=NPอยู่ใน Σ d T ฉันM E [ n 2 ]สำหรับบาง dตรงกันข้ามกับสิ่งที่คุณต้องการที่จะแสดง ΣcTIME[nk]ΣdTIME[n2] d
Ryan Williams เมื่อ

3

คำตอบสำหรับคำถามที่แก้ไขแล้ว (ฉบับที่ 4 ของคำถาม) คือไม่ หากปัญหาการตัดสินใจLสามารถแก้ไขได้ในเวลา O ( n k ) โดยเครื่อง P i P ดังนั้นLสามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้นโดยเครื่องทัวริงที่มี oracle สำหรับLซึ่งเป็นเครื่องจักร+1 P i P ดังนั้น ∑ ฉัน TIME [O ( n k )] ⊆Σ ฉัน +1 TIME [O ( n )]


1
ไม่มีนี้ไม่ได้เป็นวิธีนิยามของงาน หากΣ J T ฉันM E [ O ( n k ) ] Σ J + 1 T ฉันM E [ O ( n ) ]สำหรับทุกJ , Kแล้วN P C o N P หากยังไม่มีΣjTIME[t(n)]ΣjTIME[O(nk)]Σj+1TIME[O(n)]j,kNPcoNPและ Σ J T ฉันM E [ O ( n k ) ] Σ J + 1 T ฉันM E [ O ( n ) ]สำหรับทุก J , K , ให้ O ( n )จะทำงาน เวลาของอัลกอริทึม nondeterministic สำหรับ Tautology ถ้างั้นเราก็มี N T I M E [ O (NP=coNPΣjTIME[O(nk)]Σj+1TIME[O(n)]j,kO(nc)ที่รวมเป็นครั้งแรกโดยสมมติฐานและการรวมสองต่อจากการโต้แย้งจำลองมาตรฐาน นี่คือความขัดแย้ง NTIME[O(nc2)]Σ2TIME[O(n)]NTIME[O(nc)]
Ryan Williams

@ Ryan: คำจำกัดความที่ฉันใช้คือ: L∈ΣiTIME [t (n)] iff มีภาษาO∈Σ (i − 1) P และ nondeterministic t (n) - เครื่องจักรทัวริงไทม์ด้วย oracle สำหรับ O ที่รู้จัก L. ฉันคิดว่านี่เป็นคำจำกัดความมาตรฐาน แต่ฉันไม่มีการอ้างอิงใด ๆ เพื่อสำรองการอ้างสิทธิ์ของฉัน คำจำกัดความที่คุณใช้คืออะไร
Tsuyoshi Ito

1
The definition is: LΣiTIME[t(n)] iff there is a linear time predicate R(x,y1,,yi) such that xL(y1:|y1|t(|x|))(yi:|yi|t(|x|))R(x,y1,,yi) is true.
Ryan Williams

@Ryan: Ok, I did not know that definition. If that is what the asker wanted to ask, my answer does not apply.
Tsuyoshi Ito
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.