ลดขอบเขตของขนาด CFG สำหรับภาษาที่ จำกัด เฉพาะ

ลองพิจารณาคำถามธรรมชาติต่อไปนี้: ด้วยภาษาที่มีขอบเขต จำกัดไวยากรณ์ที่ไม่มีบริบทที่เล็กที่สุดที่สร้างLคืออะไร$L$$L$

เราสามารถทำให้คำถามที่น่าสนใจมากขึ้นโดยระบุลำดับของภาษาเช่นL nคือชุดของพีชคณิตทั้งหมดของ{ 1 , ... , n } : สังหรณ์ใจเป็น CFG สำหรับL nจะ "ต้อง" ที่จะมีขนาดΩ ( n ! ) ดังนั้นเราจึงสนใจขนาด asymptotic ของ CFG ที่เล็กที่สุดสำหรับภาษา$L_n$$L_n$$\{1,\ldots,n\}$$L_n$$\Omega(n!)$

คำถามที่คล้ายกันได้รับการจัดการในเอกสารต่างๆ:

• Charikar และคณะ ( "ใกล้เคียงกับที่เล็กที่สุดไวยากรณ์: Kolmogorov ซับซ้อนในรูปแบบธรรมชาติ") พิจารณาวิธีการที่ยากก็คือการใกล้เคียงกับขนาดของ CFG ที่เล็กที่สุดสร้างให้คำ
• การทำงานในทิศทางนั้นมากขึ้นคือ Arpe และ Reischuk "ในความซับซ้อนของการบีบอัดไวยากรณ์ที่ดีที่สุด"
• Peter Asveld มีบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้หลายเรื่อง (เช่น "การสร้างการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดโดยไวยากรณ์แบบไม่มีบริบทในรูปแบบปกติของ Chomsky") เขาพยายามที่จะปรับพารามิเตอร์บางอย่างให้เหมาะสมกับประเภทของไวยากรณ์ที่สร้างชุดของพีชคณิตทั้งหมดโดยเฉพาะรูปแบบปกติของ Chomsky และ Greibach

$\Omega(n!)$$L_n$

มีเอกสารที่ให้ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับขนาดของไวยากรณ์ที่ไม่มีบริบทสำหรับภาษาที่ จำกัด หรือไม่?

$L_n$

ผู้ตรวจสอบที่ใจดีส่งกระดาษมาให้ฉันซึ่งพิสูจน์ว่าขอบเขตล่างเดียวกันกับฉันในแบบเดียวกัน กระดาษเป็น

K. Ellul, B. Krawetz, J. Shallit, M.-w Wang นิพจน์ทั่วไป: ผลลัพธ์ใหม่และปัญหาแบบเปิด J. อัตโนมัติ หรั่ง หวี. 10 (2005), 407–432

ผลลัพธ์คือทฤษฎีบท 30 ในกระดาษ