การประมาณมิติข้อมูล VC

สิ่งที่ทราบเกี่ยวกับปัญหาต่อไปนี้คืออะไร?

ได้รับชุดของฟังก์ชั่นหา subcollection ใหญ่ที่สุดภายใต้ข้อ จำกัด ที่ VC-Dimension สำหรับบางจำนวนเต็มk $C$ $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $S \subseteq C$ $(S) \leq k$ $k$

มีอัลกอริทึมประมาณหรือผลลัพธ์ความแข็งสำหรับปัญหานี้หรือไม่?

— แอรอนโรท
แหล่งที่มา

ฟังก์ชั่นดูเหมือนจะไม่มีบทบาทในการเพิ่มประสิทธิภาพ | S |

— Suresh Venkat

ทางเลือกของฟังก์ชั่นเป็นตัวกำหนด VC-Dimension ของ S ปัญหาคือการหาคลาสของฟังก์ชั่นที่มีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

— Aaron Roth

ฉันเห็น. แปลว่า "พื้นที่เชิงเรขาคณิต" ดังนั้นคุณจะได้รับชุดของช่วง (f ทำหน้าที่เป็นฟังก์ชันพิเศษ) และคุณต้องการการรวบรวมย่อยที่ใหญ่ที่สุดของมิติ VC ที่มีขอบเขต

— Suresh Venkat

ปัญหาอื่น ๆ ในการตอบคำถาม: C นำเสนออย่างไร? เรารู้ว่าขนาดที่เป็นไปได้สูงสุดของ

คือ

โดย Sauer's Lemma และการเขียนฟังก์ชันแม้แต่หนึ่งฟังก์ชันใน

ต้องใช้

บิต

S

$S$

O (2^{n k})

$O(2^{nk})$

C

$C$

n

$n$

— Suresh Venkat

C

$C$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n \times k}

$2^{n\times k}$

k

$k$

C

$C$

คำตอบ:

$n^{1-\epsilon}$ $k=1$ $n$

$P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

$k=1$ $(V, \mathcal{S})$ $U \subseteq V$ $(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

$\mathcal{S}$

คำตอบเดิม

$k=1$ $S$ $S$ $n^{1-\epsilon}$ $\Theta(n)$

$A$ $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

$G=(V, E)$ $H=(X, S)$ $X = V \uplus E \uplus \{0\}$ $0$ $v$ $G$ $T_v$ $S$

{v} \cup {e ∣ e is an edge incident to v} .

$\{v\} \cup \{e \mid e \textrm{ is an edge incident to }v\}.$

$\{T_v\}_{v \in U}$ $U$ $G$

แต่สำหรับปัญหาดั้งเดิม (ครั้งแรก) ดูเหมือนว่าจะต้องมีความคิดอีกมาก ... ดูน่าสนใจ!

— daveagp
แหล่งที่มา

งานที่เกี่ยวข้องบางอย่างที่เกี่ยวข้อง: การประมาณมิติ VC เอง (นับประสาการค้นหาการจัดเก็บย่อยขนาดใหญ่ที่มีขอบเขตมิติ VC จำกัด ) เพียงอย่างเดียวในการแสดงของคุณคือ LOGNP-complete (LOGNP เป็น NP ถูก จำกัด ให้บันทึก n บิตของ nondeterminism นอกจากนี้ยังมีงานที่เกี่ยวข้องเล็กน้อยเกี่ยวกับการประมาณค่าและประมาณ VC-มิติเมื่องานนำเสนอของช่วงพื้นที่มีขนาดกะทัดรัดมากขึ้น (ดูการอ้างอิงภายในเช่นกัน)

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา