ปัญหาใน NP แต่ไม่อยู่ในค่าเฉลี่ย -P / โพลี

คาร์พ-ลิปตัน Theoemระบุว่าหากแล้วทรุดP_2} ดังนั้นสมมติว่าการแยกระหว่างและไม่มีปัญหาสมบูรณ์จะเป็นโพลี} $\mathsf{NP} \subset \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma^P_2}$ $\mathsf{\Sigma^P_2}$ $\mathsf{\Sigma^P_3}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P/poly}$

ฉันสนใจคำถามต่อไปนี้:

สมมติว่า $\mathsf{PH}$ ไม่ยุบหรือสมมติว่ามีข้อสันนิษฐานที่สมเหตุสมผลในความซับซ้อนของโครงสร้างสิ่งที่ยากต่อค่าเฉลี่ย $\mathsf{NP}$ ปัญหาได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่โกหกใน $\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$ (ถ้ามี)?

ความหมายของ $\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$ สามารถพบได้ในความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยและกรณีที่เลวร้ายที่สุดกรณีที่ซับซ้อน ขอขอบคุณที่ซึโยชิสำหรับการชี้ให้เห็นว่าที่จริงผมจำเป็นต้องใช้ $\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$ แทน $\mathsf{P/poly}$ โพลี}

ฉันคิดว่ามีปัญหาเช่น (เวอร์ชันการตัดสินใจ) FACTORINGหรือDLOGซึ่งคาดเดาว่าอยู่ใน $\mathsf{NP} - \mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$ แต่การคาดเดานั้นไม่ได้รับการพิสูจน์ตาม การแยกระหว่างคลาสความซับซ้อน (โปรดแก้ไขฉันหากฉันผิด)

— MS Dousti
แหล่งที่มา

(1) ฉันไม่คิดว่าการสันนิษฐานว่าลำดับชั้นพหุนามไม่ยุบเป็นที่ทราบกันว่ามีปัญหาอย่างหนักต่อค่าเฉลี่ยใน NP มาตรา 18.4 ของรัฐอรอราและบารัค:“ […] แม้ว่าเรารู้ว่าถ้า P = NP ดังนั้นพหุนามพหุนาม PH ทรุดลงถึง P […] เราไม่มีผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับความซับซ้อนของกรณีโดยเฉลี่ย”

— Tsuyoshi Ito

(2) P / poly ในคำถามเป็นคำถามปกติที่มีความซับซ้อนของกรณีที่แย่ที่สุดหรือคุณกำลังพิจารณาอะนาล็อกของเคสเฉลี่ยหรือไม่ หากเป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุดคุณจำเป็นต้องใช้ทั้ง DistP ≠ DistNP และNP⊈P / โพลีเพื่อให้มีปัญหาดังกล่าวและหากการระงับเหล่านี้แสดงว่าปัญหาที่สมบูรณ์ของ DistNP ทุกประการเป็นไปตามข้อกำหนดเนื่องจากปัญหา DistNP NP-complete ถ้าเราทิ้งการกระจายสัญญาณ

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: ขอบคุณมาก คุณมีประเด็นเกี่ยวกับ P / poly-case ที่แย่ที่สุดเทียบกับ case-average ในความคิดที่สอง (เกี่ยวกับปัญหาดั้งเดิม) ฉันคิดว่าฉันต้องตีความ P / poly เป็นชั้นเรียนเฉลี่ย

— MS Dousti

ฉันอ่านการแก้ไข 3 ตามลำดับปัญหาดังกล่าวมีอยู่ถ้าหาก DistNP ⊈ Average-P / poly และถ้า DistNP ⊈ค่าเฉลี่ย -P / โพลีแล้วทุกปัญหา DistNP-สมบูรณ์จะอยู่นอกค่าเฉลี่ย -P / โพลีเนื่องจากค่าเฉลี่ย -P / โพลีถูกปิดภายใต้การลดลง (ระหว่างปัญหาการกระจาย) แต่บางทีคุณกำลังขอปัญหาที่เป็นธรรมชาติมากขึ้นภายใต้สมมติฐานที่แข็งแกร่ง

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: ขอบคุณ คุณสามารถแสดงความคิดเห็นเป็นคำตอบเพื่อที่ฉันจะยอมรับได้หรือไม่?

— MS Dousti

นี่เป็นรุ่นที่ปรับปรุงเล็กน้อยของความคิดเห็นทั้งสองของฉันเกี่ยวกับคำถามที่รวมกัน

เรา จำกัด ความสนใจของเราต่อปัญหาการแจกจ่ายในDistNP (aka (NP, คำนวณโดย P) เพื่อความเรียบง่าย จากนั้นคุณกำลังมองหาปัญหาใน DistNP ∖ค่าเฉลี่ย -P / โพลี ตามปกติแล้วปัญหาดังกล่าวจะเกิดขึ้นหาก DistNP ⊈ Average-P / poly เท่านั้น และถ้า DistNP ⊈ค่าเฉลี่ย -P / โพลีแล้วทุกปัญหา DistNP-สมบูรณ์จะอยู่นอกค่าเฉลี่ย -P / โพลีเนื่องจากค่าเฉลี่ย -P / โพลีถูกปิดภายใต้การลดขนาดตัวพิมพ์โดยเฉลี่ย

(เมื่อพิจารณาถึงคลาสที่ใหญ่กว่า SampNP (aka (NP, P-samplable) ) แทน DistNP จะไม่เปลี่ยนสถานการณ์มากนักเนื่องจาก DistNP ⊆ค่าเฉลี่ย -P / โพลีถ้าหาก SampNP ⊆เฉลี่ย -P / โพลีนี่คือค่าโดยตรง ข้อสรุปของผลลัพธ์โดย Impagliazzo และ Levin [IL90] ว่าปัญหาการกระจายตัวใน SampNP ทุกกรณีสามารถลดลงได้โดยเฉลี่ยสำหรับปัญหาการกระจายใน DistNP)

ฉันไม่ทราบว่าข้อสันนิษฐานตามธรรมชาติหมายถึง DistNP ⊈ Average-P / poly การสันนิษฐานว่าลำดับชั้นพหุนามไม่ยุบไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าเป็นผลที่ตามมาที่ DistNP-Average-P ตามมาตรา 18.4 ของ Arora และ Barak [AB09]:“ […] แม้ว่าเราจะรู้ว่าถ้า P = NP จากนั้นลำดับชั้นพหุนาม PH ยุบไปที่ P […] เราไม่ได้ผลลัพธ์แบบอะนาล็อกสำหรับความซับซ้อนของกรณีโดยเฉลี่ย”

อ้างอิง

[AB09] Sanjeev Arora และ Boaz Barak ความซับซ้อนในการคำนวณ: วิธีการที่ทันสมัย , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2009

[IL90] Russell Impagliazzo และ Leonid A. Levin ไม่มีวิธีที่ดีกว่าในการสร้างอินสแตนซ์ NP ที่ยากกว่าการเลือกแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอ ในการประชุมวิชาการประจำปีครั้งที่ 31 เรื่องรากฐานของวิทยาการคอมพิวเตอร์ , 812–821, ตุลาคม 2533 http://dx.doi.org/10.1109/FSCS.1990.89604

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา